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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（ ）．
A． B． C． D．
解：已知四边形是平行四边形，对各选项逐一判断如下：
选项：平行四边形对边相等，是平行四边形固有性质，添加该条件不能判定是矩形，故选项不符合题意；
选项：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，因此添加可判定是矩形，故选项符合题意；
选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，因此添加不能判定是矩形，故选项不符合题意；
选项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，因此添加不能判定是矩形，故选项不符合题意.
2．（本题3分）菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直
解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意；
、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意；
、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意；
、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意．
3．（本题3分）如图，在中，，点为的三等分点，连接，点分别为的中点，连接，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：在中，为的中点，，
，
在中，为的中点，
，
为的三等分点，
设，则，
，
解得
∴，
，
∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
．
4．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（ ）

A． B． C． D．
解：∵在矩形中，，，
∴，，，
∵对角线的垂直平分线分别交、于点、，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即的长为．
5．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ 　 ）
A．3 B．2 C． D．
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在中，，
如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，如图，
∴，
∴，
∴的最小值为．
6．（本题3分）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接交于点，
矩形，
，，，，，
，，
，
，
，
．
7．（本题3分）如图，在矩形中，连接，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交、于点E、F，连接、，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵ 四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
∴．
8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接 交 于点 ，
∵四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵，，
∴点 的坐标为，
∵，
∴点 的坐标为，即．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为，若，则______．
解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴
解得，
∴．
10．（本题3分）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________．
解：如图，过点作交于点，
由折叠的性质知，，，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（本题3分）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______．
解：∵四边形是长方形，
，
由折叠的性质，得，
∵，
∴，
又，
在中，，
，
解得，
．
12．（本题3分）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____．
解：∵矩形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴.
13．（本题3分）在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______．
解：如图，设，交于点O，取的中点E，连接交于点G，
∵为的重心，
∴，
∴，
∵是矩形，
∴，
∴．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上．
(1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即点即为所求．
（2）解：∵四边形是矩形，，
，．
，
，
，
．
，
，
设，则，
在中，，，
由勾股定理得，
，解得，
即．
15．（本题7分）如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称．
(1)连接、，求证：四边形是菱形；
(2)若，，求点、之间的距离．
(1)证明：如图，连接交于点，
四边形是矩形，
，，，
，
点与点关于对称．
垂直平分，
，，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是矩形，
，
由（1）得，又，
是等边三角形，
，
∵四边形是菱形，
，，，
，
，
点、之间的距离为．
16．（本题8分）如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的周长．
(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，，
∵是的中点，∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得，
∴，即为的中点，
∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的周长．
17．（本题8分）如图、菱形 的对角线 、 相交于点 、 是的中点，点， 在上，、
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求和的长．
(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴ 是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴，
∴，
∵ 是 的中点，
∴；
由（1）知，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（本题9分）如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)填空：①__________；（用含 的代数式表示）
②__________；
(2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？
（1）解：①由题意得；
②如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，；
（2）解： Q在 上运动时间为，
∵，
∴Q运动时间最长为，
当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，Q在 边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
∵即，
∴只需，
由题意得，，，，
∴，
解得；
②四边形是平行四边形，如图所示：
∵，
∴只需，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
解得．
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．
19．（本题11分）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点
(1)求证：；
(2)若，求矩形的面积．
(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴ ；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．（本题12分）【探究与证明】
【探究】某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，探究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法：
（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．
【证明】请根据上述过程完成下列问题：
(1)连接，如图2．请直接写出：______；
(2)请判断和的数量关系，并说明理由；
(3)乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请证明四边形是菱形．
（1）解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
，
∴，
∴是等边三角形，
，
由折叠的性质得：；
（2）解：∵，
，
；
(3)证明：∵，四边形是矩形，
，
，，
是等边三角形，
，
由折叠得，，
，
四边形是菱形．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.2矩形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（ ）．
A． B． C． D．
2．（本题3分）菱形具有且矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直
3．（本题3分）如图，在中，，点为的三等分点，连接，点分别为的中点，连接，已知，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ 　 ）
A．3 B．2 C． D．
6．（本题3分）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在矩形中，连接，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交、于点E、F，连接、，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为，若，则______．
10．（本题3分）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________．
11．（本题3分）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______．
12．（本题3分）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____．
13．（本题3分）在矩形中为的重心，如果，那么它的对角线的长是______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上．
(1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
15．（本题7分）如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称．
(1)连接、，求证：四边形是菱形；
(2)若，，求点、之间的距离．
16．（本题8分）如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的周长．
17．（本题8分）如图、菱形 的对角线 、 相交于点 、 是的中点，点， 在上，、
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求和的长．
18．（本题9分）如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)填空：①__________；（用含 的代数式表示）
②__________；
(2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？
19．（本题11分）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点
(1)求证：；
(2)若，求矩形的面积．
20．（本题12分）【探究与证明】
【探究】某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，探究了新人教版八年级下册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法：
（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段．
【证明】请根据上述过程完成下列问题：
(1)连接，如图2．请直接写出：______；
(2)请判断和的数量关系，并说明理由；
(3)乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请证明四边形是菱形．
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