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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（ ）
A． B． C． D．
解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意；
选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意；
选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确；
选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意．
2．（本题3分）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（ ）
A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形
C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形
解：∵菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，
∴若四边形不是平行四边形，则一定不是菱形、矩形、正方形，因此选项B、C、D都一定正确．
∵梯形是只有一组对边平行的四边形，不属于平行四边形，
∴不是平行四边形的四边形可能是梯形，也可能是其他四边形，
因此“四边形不是梯形”的说法不一定正确．
3．（本题3分）下列四个命题，假命题是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
解：A、对角线相等的菱形符合正方形的判定定理，是正方形，故A是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形符合正方形的判定定理，是正方形，故B是真命题，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故C是真命题，不符合题意；
D、一组对角相等且一组对边相等的四边形不能判定为平行四边形，命题为假，故D符合题意．
4．（本题3分）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
5．（本题3分）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由翻折的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
6．（本题3分）如图，在正方形中，对角线与相交于点，、分别为、上一点，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
解：四边形是正方形，与相交于点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
7．（本题3分）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴.
8．（本题3分）如图，点 为正方形 内一点，，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形 是正方形，
∴ ，，
∴ ，，
∴.
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为__________________．
解：如图，设与交于点，
是点关于的对称点，
，，
，
四边形是正方形，
，，
在中，，，
，，
，，
在中，，则，
则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
．
10．（本题3分）如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________．
解：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
．
11．（本题3分）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点，为对角线上一点，连接并延长到点，使得，连接，，则________，的最小值为________．
解：在正方形中，，，
又∵，
∴为的中位线，
∴，
∴；
如图，作点关于直线的对称点，连接、，
则，，
且，
∴，
即的最小值为．
12．（本题3分）如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是直角三角形，
∵点为的中点，
∴．
13．（本题3分）如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______．
解：如图所示，
根据正方形的性质可得，，，
∴，，
∴，
∴，
，
∵在中，，
∴
即
∵正方形A的面积比正方形C的面积小6，
∴，
∵，
∴，
∴，正方形A的面积为4．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论．
(1)证明：∵四边形为等腰梯形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
∵、、分别是、、的中点，
∴、分别为的中位线，
∴，，且，，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)结论：等腰梯形的高是底边的一半．
理由：连接，
∵，，
∴，
∴是梯形的高，
又∵四边形是正方形，
∴，
∴为直角三角形，
又∵是的中点，
∴，
即等腰梯形的高是底边的一半．
15．（本题7分）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：．
证明：∵正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
16．（本题8分）已知：正方形中，点在边上，点在边上（点、不与正方形的顶点重合），连接、，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，若，当线段长为整数时，直接写出线段的长．
(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，连接，过点作的平行线，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
由勾股定理可得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即
∵线段长为整数，
∴或或或．
17．（本题8分）已知：如图，在中，D是边的中点，E是延长线上的点，且，连接，F是线段的中点，连接、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求证：四边形是正方形．
(1)证明：∵D是边的中点，F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，，即，
又∵，E是延长线上的点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
(2)证明：如图，连接，交于点O，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴、互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
∴，
∵F是线段的中点，，
∴，
又∵，
∴在中，即，
即，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形是正方形．
18．（本题9分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求线段的长．
(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
（2）解：∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（本题11分）阅读与思考
下面是小庄同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
邻等对补四边形【概念理解】一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“邻等对补四边形”．例如，如图1，在四边形中，，则四边形是邻等对补四边形．【问题解决】如图2，在四边形中，平分，求证：四边形是邻等对补四边形．证明：过点分别作交的延长线于点，作于点．……
任务：
(1)下面3种特殊平行四边形中，一定是邻等对补四边形的是__________（填序号）．
①菱形 ②矩形 ③正方形
(2)补全【问题解决】中的证明过程．
(3)如图3，在中，，在右侧作一点，连接，使得四边形是邻等对补四边形，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
（1）解：①菱形的对角相等，邻边相等，对角相加不一定等于，不符合“邻等对补四边形”的定义；
②矩形四个角为直角，邻边不相等，不符合“邻等对补四边形”的定义；
③正方形四个角为直角，邻边相等，对角相加等于，符合“邻等对补四边形”的定义；
(2)证明，过点分别作交的延长线于点，作于点，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是邻等对补四边形．
(3)如图，四边形即为所求
20．（本题12分）在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形一条角平分线的垂直平分线与这个角的两边相交，所得交点和这条角平分线的两个端点为顶点的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与填空：
(1)如图，中，平分，交于点 ，用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线与 ，分别交于点 ，点 ，与交于点 ，连接，（不写作法，保留作图痕迹）：
(2)在（1）的条件下，求证：四边形 是菱形．
证明： 平分，
① ．
，且与交于点 ，
．
，
．
② ．
平分，
．
四边形 是 ③ ．
四边形 是菱形．
进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是 ④ ．
(1)如图，分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接 分别交 、于点E、F，交于点O，再连接、；
、即为所求；
(2)①；②；③平行四边形；④正方形
由角平分线的定义得，再由全等三角形的性质得 ，由题意知：四边形 是菱形，，∴菱形是正方形，
即直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是正方形．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.3正方形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（ ）
A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形
C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形
3．（本题3分）下列四个命题，假命题是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
4．（本题3分）如图，在正方形内侧作等边，连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（本题3分）如图，在正方形中，对角线与相交于点，、分别为、上一点，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，点 为正方形 内一点，，连接 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在正方形中，是上一点，是点关于的对称点．若，，则的面积为__________________．
10．（本题3分）如图，将含的直角三角形放在正方形中，，直角顶点在对角线上，斜边经过的中点O，点M，N分别在边，上，则的度数是___________．
11．（本题3分）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点，为对角线上一点，连接并延长到点，使得，连接，，则________，的最小值为________．
12．（本题3分）如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________．
13．（本题3分）如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论．
15．（本题7分）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：．
16．（本题8分）已知：正方形中，点在边上，点在边上（点、不与正方形的顶点重合），连接、，．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，若，当线段长为整数时，直接写出线段的长．
17．（本题8分）已知：如图，在中，D是边的中点，E是延长线上的点，且，连接，F是线段的中点，连接、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求证：四边形是正方形．
18．（本题9分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求线段的长．
19．（本题11分）阅读与思考
下面是小庄同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
邻等对补四边形【概念理解】一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“邻等对补四边形”．例如，如图1，在四边形中，，则四边形是邻等对补四边形．【问题解决】如图2，在四边形中，平分，求证：四边形是邻等对补四边形．证明：过点分别作交的延长线于点，作于点．……
任务：
(1)下面3种特殊平行四边形中，一定是邻等对补四边形的是__________（填序号）．
①菱形 ②矩形 ③正方形
(2)补全【问题解决】中的证明过程．
(3)如图3，在中，，在右侧作一点，连接，使得四边形是邻等对补四边形，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
20．（本题12分）在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形一条角平分线的垂直平分线与这个角的两边相交，所得交点和这条角平分线的两个端点为顶点的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论．请根据以上信息完成以下作图与填空：
(1)如图，中，平分，交于点 ，用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线与 ，分别交于点 ，点 ，与交于点 ，连接，（不写作法，保留作图痕迹）：
(2)在（1）的条件下，求证：四边形 是菱形．
证明： 平分，
．
，且与交于点 ，
．
，
．
．
平分，
．
四边形 是 ．
四边形 是菱形．
进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是 ．
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