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2025-2026学年下学期八年级期末押题试卷
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数
3．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．4.5 C．6 D．3.5
5．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，7，8 D．1，3，
6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
7．如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ）
A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分
C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分
8．如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ）
A．5 B．3 C．8 D．4
9．如图，某景区有一个矩形花坛，两条对角线、相交于点，已知，较短边，园艺工人计划沿着对角线铺设一条穿过矩形花坛中心的小路，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．代数式中，的取值范围是_____．
12．已知是方程的两个实数根，则代数式的值为__________．
13．数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________．
14．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________．
15．如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________．
16．如图，在正方形中，E为边上一点，连接、，点M为中点，点O为中点，连接，点K为中点，连接，若，，则______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
．．．．．．
(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________；
(2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明；
(3)利用（2）中的规律计算：．
20．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套．
(1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率；
(2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？
21．某校为了解七，八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七，八年级学生进行了测试，现从七，八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析：
数据收集：
七年级：82，83，78，89，96，98，84，65，73，72，85，70，85，92，93
八年级：93，77，88，85，73，88，90，79，94，88，69，56，93，90，82
数据整理：
分数段
七年级 1 4 4
八年级 2 3 5 5
数据分析：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 83 85
八年级 83 88 88
根据以上信息，解答下列问题：
(1)___________，___________；
(2)请从中位数的角度推断哪个年级的测试成绩较好；
(3)该校七，八年级均有600名学生，测试成绩在分的学生可以获得奖励，估计七，八年级可以获得奖励的学生人数．
22．如图，在菱形中，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接，若，，求的长．
23．如图，在中，在上，连接．
(1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分；
(2)如图2，连接，在上，若，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长．
24．如图①，正方形中，对角线和相交于点O，E是正方形的边下方一点，连接，已知，且．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)如图②，连接，求证：．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A D C D A B B
1．B
中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是中心对称图形，故B符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．不是中心对称图形，故D不符合题意．
2．B
本题考查统计量的实际意义，解题关键是明确不同统计量的作用，利用中位数的位置特征判断排名．
解：∵总共有9名学生，且所有学生成绩各不相同，将成绩从高到低排序后，第5名的成绩就是这组数据的中位数，
∴该同学想要知道自己是否进入前5名，只需将自己的成绩与中位数比较，即可得出结论，
因此需要了解这9名学生成绩的中位数．
3．C
二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可．
解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；
∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式；
∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式；
∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；
∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式；
综上，符合条件的二次根式共3个．
4．A
过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系．
如图，过点作平行四边形边的垂线，
根据平行四边形的性质：，且，
设点到的距离为，点到的距离为，
则平行四边形中，与之间的总高为，
平行四边形面积满足： ，
阴影部分为和，面积和为 ，
因此阴影部分面积为4．
5．D
判断是否能构成直角三角形，只需先确定最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方即可．
解：选项A，∵，，，∴不能构成直角三角形；
选项B，∵，，，∴不能构成直角三角形；
选项C，∵，，，∴不能构成直角三角形；
选项D，∵，，即，∴能构成直角三角形．
6．C
本题考查一元二次方程根与系数的关系与代数式求值．先根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可．
解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根，且，，，
∴ ，，
∴．
7．D
根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可．
解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意；
、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意．
8．A
根据作图可得平分，三线合一，得到为的中点，根据三角形的中位线定理，即可得出结果.
解：由作图可知：平分，
∵，
∴，即为的中点，
∵点F为的中点，
∴是的中位线，
∴.
9．B
由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
10．B
根据菱形的性质得出直角三角形和相等的边，利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边中线定理求解．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
由勾股定理得，
∵，且，
∴．
11．且
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解后取公共范围，即可得到的取值范围．
解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且．
12．69
根据根与系数的关系，得到，，然后将所求代数式变形为，进而计算即可．
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
13．任何不小于16的数
本题考查了中位数，掌握中位数的计算方法是解题的关键．
根据数据可知，中位数是第三个数和第四个数的平均值，判断出第三个数和第四个数，判断出所处的位置，即可求解．
解：一共6个数，且中位数为，
按大小排列，第三个数字和第四个数字之和为，
当时，第四个数为，第三个数不大于，和小于，不符合题目要求；
当时，第三个数为，第四个数为，和小于，不符合题目要求；
当时，第三个数为，第四个数为或，和等于，符合题目要求；
当时，第三个数为，第四个数为，和等于，符合题目要求；
综上所述，可知．
故答案为：任何不小于的数．
14．
过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
当时，有最小值，
此时，．
15．3
根据平行四边形的性质可得，再根据中点的定义判定是的中位线，利用三角形中位线定理计算即可.
解：四边形是平行四边形，
；
点，点分别是，的中点，
是的中位线；
.
16．
连接，利用勾股定理求得的长，再由直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线定理即可求解．
解：如图，连接，
在正方形中，，
由勾股定理得，
∵点M为中点，
∴，
∵点O为中点，点K为中点，
∴为的中位线，
∴．
17．(1)
(2)
（1）化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质，乘除法化简每个式子，然后求解即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：
，
．
18．(1)，
(2)，
（1）解：，
原方程因式分解可得：，
开平方得，
移项得，
，；
（2）解：，
∵，
∴，
则，
所以，．
19．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）对二次根式进行通分、化简，最终开方得到整式或分式形式，并观察规律得出下一个等式的表达形式.
（2）通过观察等式的分子、分母、结果的变化规律，用含的代数式表示第个等式，并进行分式的混合运算，化简得出结论．
（3）利用前面的规律，将多个二次根式的乘积转化为分式的连乘，通过 “中间项全部抵消” 的连锁约分简化计算，得到答案．
（1）解：根号内的分子为：是连续奇数，第个为，
根号内的分母为：，第个为，
等式右边为：，第个为，
∴第个等式为：，即；
（2）解：根号内的分子：是连续奇数，
∴第个为，
根号内的分母：，
∴第个为，
等式右边:，
∴第个为，
∴第个等式为：，
证明：左边，
为正整数，
，
原等式成立；
（3）解：，
，
根据（2）中结论可得，
上式．
20．(1)
(2)销售价应定为元
本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用．
（1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可.
（2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可.
（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为；
（2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又要尽可能让顾客得到实惠，
取，
答：该品牌边刷套装的销售价应定为元．
21．(1)6；84
(2)八年级成绩较好，见解析
(3)360人
（1）根据给出的数据，得出时m的值；根据中位数的定义得n的值；
（2）比较两个年级的平均数、众数和中位数即可；
（3）用样本估计总体．
（1）解：七年级成绩在中的有：82、83、89、84、85、85，共6个，
所以；
七年级的成绩从小到大排列：65、70、72、73、78、82、83、84、85、85、89、92、93、96、98，排在中间的数是：84，
所以；
（2）解：平均数相同，八年级成绩的中位数大于七年级，说明八年级分数不低于88分的比较多，
八年级成绩较好；
（3）解：（人），
故估计七，八年级可以获得奖励的学生人数为360人．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)2
（1）由菱形的性质可得，则，由题意可得，再利用即可证明；
（2）由菱形的性质并结合全等三角形的性质即可得证；
（3）根据菱形的性质和直角三角形的性质计算即可得出结果．
（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵四边形为菱形，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分；
（2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出；
（3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可．
（1）证明：中，，，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
中，，，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：，
，
又，
．
，，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，，
由作法，可知，，，，，
又由（2），得，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，，
又，
∴，即，
解得．
24．(1)等边三角形，见解析
(2)见解析
（1）根据正方形的性质得到，结合已知得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可证明；
（2）过点A作交的延长线于点F，可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，再证明即可．
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴是等边三角形；
（2）证明：如图，过点A作交的延长线于点F，
∴
∵为等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴为等腰直角三角形，，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
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