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2025—2026学年七年级下册期末检测卷
数 学
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．2026年3月，中国科学院物理研究所团队创造性发展原子级制造的范德华挤压技术，首次将铋、锡、铅等金属推进到原子极限厚度的二维世界，二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一．已知头发丝直径约为0.00007米，则二维金属的厚度约为（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
3．已知数据：25，21，23，25，29，27，28，25，27，30，22，26，25，24，26，28，26，25，24，27．在列频数分布表时，如果取组距为2，那么这一组的频数是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
4．下列等式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．因式分解：，则代数式等于（ ）
A． B． C． D．
6．有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和16．若将三个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．55 B．52 C．44 D．40
7．已知方程组和有相同的解．则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．13
8．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：；；；．其中能说明纸条上下两边平行的个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．4个 D．3个
9．近年来汽车工业不断进行技术改革和升级，新能源汽车走进千家万户，与之配套的充电设施也在不断建设中．从充电设施的应用场景看，充电设施可分为私人随车配建充电桩和公共充电桩．据新能源汽车国家大数据联盟统计，2018—2023年我国充电设施累计数量情况如图所示．根据上述信息，给出下列四个结论：①2018—2023年，每年充电设施累计数量呈上升趋势；②2023年新增公共充电桩数量超过90万；③2018—2023年，每年新增的随车配建充电桩数量逐年上升；④2018—2023年，随车配建充电桩累计数量占充电设施累计数量的百分比最高的年份是2023年．其中所有正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①②③ D．①③④
10．如图，杨辉三角给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，恰好对应将的展开式中的各项系数：第行的个数，，，恰好对应着的展开式中的各项系数．依此规律，那么中的系数是（　　）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．不论，取何实数，式子的值总是________．
12．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___．
13．已知是方程的一个解，那么的值是_____．
14．因式分解：__________．
15．如图，直线和直线是两条互相平行的直线，与直线分别交于点A，点B．点C是平面内一点，满足，的平分线所在的直线与直线交于点P．若，则的度数为______．
16．如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为___________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算
(1)；
(2)
18．解分式方程：
(1)；
(2)．
19．解方程组：
(1)；
(2)．
20．某市教育局在各中学进行了论文的评比，论文的交稿时间为5月1日至30日，评委会把各中学交的论文的篇数按5天一组分组统计，绘制成下图所示的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．从左往右各小长方形的高的比为，第二组的频数为18．
(1)本次活动共有多少篇论文参加评比？
(2)哪组上交的论文数量最多？是多少？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有20篇和4篇论文获奖，则这两组哪组的获奖率高？
21．如图，已知，且，点在的延长线上，且平分．
(1)求证：；
(2)写出之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
22．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为．
(1)方程的“亲密方程”为__________；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解；
(3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
23．对于题目：“因式分解．
嘉淇给出具体解法后，又通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
嘉淇的解法： ① ② ③
嘉淇的检验： 当，时， ∵-8≠16 ∴分解因式错误
任务：
(1)嘉淇的解答是从第_______步开始出错的（填序号）；
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
24．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为，
(1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为______．
【应用】
(2)根据图②所得的公式，若，，求的值．
【拓展】
(3)如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为60平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D C C D B C
1．C
根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可．
解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到．
2．C
先求出二维金属的厚度，再用科学记数法表示即可．
解：∵二维金属的厚度相当于头发丝直径的二十万分之一，头发丝直径约为0.00007米，
∴二维金属的厚度约为．
3．D
本题考查了频数的定义；找到属于24.5～26.5这个范围的数，只有整数25和26符合条件，统计其出现次数即可．
解：数据中出现次，出现次，
频数为．
故选：D．
4．B
本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D．
解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意；
B、由于，则变形正确，符合题意；
C、当时，，原式变形错误，不符合题意；
D、当时，，原式变形错误，不符合题意；
故选：B．
5．D
本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解．
解：∵，
又∵，
∴，
故选：D．
6．C
本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可．
解：正方形，的边长各为，，
∴图1中阴影部分的面积为：，
解得：或（舍去），
图2中阴影部分的面积为，
∴，
解得：或（舍去）；
图3阴影部分的面积为：，
；
故选：C．
7．C
联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出的值．
解：根据题意联立得：，
得：，
解得：，
把代入②得，
解得：，
把代入和得：，
解得：，
．
8．D
根据平行线的判定定理逐个判断即可．
解： （对顶角相等），不能判断纸条上下两边平行，故错误；
，
纸条上下两边平行（内错角相等，两直线平行），故正确；
，，
，
纸条上下两边平行（同位角相等，两直线平行），故正确；
，
纸条上下两边平行（同旁内角互补，两直线平行），故正确．
故能说明纸条上下两边平行的条件有：，共个．
9．B
本题主要考查了条形统计图，折线统计图，解题的关键是读懂统计图，找出准确数据．
根据条形统计图和折线统计图的数据，逐项进行分析即可．
解：①根据折线统计图可知，该结论正确，符合题意；
②2023年新增公共充电桩数量为（万台），该选项结论正确，符合题意；
③根据条形统计图可知，每年增加的随车配建充电桩为：
2019年，（万台）；
2020年，（万台）；
2021年，（万台）；
2022年，（万台）；
2023年，（万台）；
该选项结论是错误的，不符合题意；
④随车配建充电桩累计数量占充电设施累计数量的百分比为：
2018年，；
2019年，；
2020年，；
2021年，；
2022年，；
2023年，；
该选项结论正确，符合题意；
正确选项为：①②④，
故选：B．
10．C
利用杨辉三角“相邻两数相加得下一行数”的规律，推导出展开后各项的系数，找到对应的第项系数．
解：据图可知，展开式的各项系数，除首末项为外，其余各项系数都为相邻两项的和，
当，各项系数为，，，，，，
当，各项系数为，，，，，，，
在中，为从左向右数第项，对应的系数为．
11．非负数
本题主要考查了因式分解的意义，利用完全平方公式将原式变形为，根据平方的非负性，得出表达式值总是非负数．
解：，
，
∵，
∴，
∴不论，取何实数，式子的值总是非负数，
故答案为：非负数．
12．5
根据频数的概念，数出数串中数字出现的次数即可求解.
解: 数串“”中，数字“”共出现次，因此“”出现的频数是.
故答案为：5.
13．
1
将代入方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值．
解：把代入方程得，
移项得:，
解得．
14．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可．
解：原式
；
故答案为：
15．或
分两种情况：点C在上方和点C在下方，分别画出示意图，讨论求解即可．
解：如图所示，当点C在上方时，过点P作，设点S为的角平分线上的一点，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点C在下方时，过点P作，设点S为的角平分线上的一点，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
16．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解．
解：由题意知，
，
，，
，
故答案为：．
17．(1)0
(2)1
（1）解：
；
（2）解：
18．(1)
(2)
（1）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可；
（2）两边同乘最简公分母化为整式方程求解，再代入公分母检验即可．
（1）解：方程两边都乘，得
，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：方程两边都乘，得
，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
19．(1)
(2)
（1）解：
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，解得，
把代入①得，解得
∴原方程组的解为．
20．(1)120篇
(2)第四组，是36篇．
(3)第六组的获奖率高
（1）根据各组小长方形高的比例设出每组频数，利用第二组的频数求出每份对应的数量，再累加所有组的频数得到论文总数；
（2）比较各组对应的份数，找出最大份数对应的组，再计算该组的频数；
（3）分别计算第四组和第六组的获奖率，再比较两者的大小．
（1）解：设从左往右各组的频数分别为，，，，，．
∵第二组的频数为18，
∴，解得，
∴，
∴本次活动共有120篇论文参加评比．
（2）解：第四组上交的论文数量最多，是（篇）．
（3）解：第四组的获奖率为，
第六组的获奖率为．
∵，
∴第六组的获奖率高．
本题考查了频数分布直方图的应用，掌握利用比例关系求各组频数、通过获奖数÷组频数计算获奖率是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
（1）根据题意得到，得出，即可得到结论；
（2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
如图，过点作，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：∵，，
∴，
如图，过点作，
由（2）知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
(3)
（1）根据“亲密方程”的定义即可得解；
（2）联立方程组，利用加减消元法求解即可；
（3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可．
（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；
（2）解：由题意得：，
得，，
即，
，
，
，
将代入得，，解得，
，
，
，
方程组的解为；
（3）解：是方程的一个解，
，
，，
．
23．(1)①
(2)
本题考查了因式分解．
（1）根据遇到负号应变号判断即可；
（2）先根据因式分解法分解因式，再计算加减，最后提取公因式即可．
（1）解：嘉淇在第①步因式分解时遇到负号未变号；
故答案为：①；
（2）解：正确的因式分解过程如下：
．
24．(1)
(2)30
(3)长为13米
本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，解题的关键是通过图形面积的不同表示方法，正确推导公式并灵活运用其变形．
（1）通过大正方形面积减去两个长方形的面积，用两种方式表示阴影部分的面积，推导完全平方和公式的变形；
（2）利用（1）中得到的公式变形，整体代入求值；
（3）结合等腰直角三角形的面积公式，设未知数后利用（1）中得到的公式变形求解线段长度．
（1）解：阴影部分的面积可表示为，也可表示为边长为的大正方形面积减去两个长为、宽为的长方形面积，即．
故答案为：．
（2）解：；
（3）解：设，．
∵ ，
∴ ，，．
由题意得
整理得
∵ ，
又∵根据图②所得的公式，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即米．
答：AC的长为13米．
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