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2025—2026学年七年级下册期末检测卷03
数 学
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C． D．
2．锂电铜箔是锂电池负极活性物质的载体和集流体，轻薄化是其主要技术演进方向．我国企业研发制造的厚度为的锂电铜箔，是目前全球能够实现量产的最薄锂电铜箔．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角所占的百分数分别为，，，，则这四个扇形中，圆心角最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两家超市1～8月的月利润情况如图所示，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲超市的月利润逐月减少 B．4～8月乙超市的月利润逐月减少
C．3月甲、乙两家超市的月利润相等 D．6月甲、乙两家超市的月利润相差最大
5．已知关于、的方程组的解满足，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
6．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（ ）
A．9 B．6 C．12 D．8
7．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如 ，按照这个规定，方程的解为（ ）
A．0 B．0或2 C．无解 D．2
9．发展新能源汽车是当下汽车工业发展的大趋势，本土重点企业长安新能源汽车工厂在年月推出重磅车型“ ”，一经上市就成爆款，已知“ ”本月生产的“纯电动车型”比“混动车型”多辆．已知每辆纯电动车需配组电池，混动车需配组电池，且本月电池使用总量为组．设纯电动车生产辆，混动车生产辆，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ）
A．6 B．64 C．15 D．20
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．为了了解岭南学校中学生对建立班级生物角的看法，对该校初一（3）班42名学生进行调查，该抽样调查的总体是_______，样本是_______．
12．若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________．
13．如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________．
14．若 ，则 __________
15．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____．
16．某校为了解七年级学生每天课外阅读时长的情况，随机抽取了七年级60名学生，并绘成了如图所示的频数分布直方图，图中每组数据包含左边界值，不包含右边界值，已知在本次调查中，阅读时长在分钟的学生人数占调查总人数的，则阅读时长在40分钟及以上的学生人数为_______人．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程组：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中，．
19．随着通信技术的迅猛发展，沟通方式多样、便捷，某大学设计调查问卷随机调查了部分学生最喜欢的沟通方式，每个学生只填一份调查问卷且只选一种，收集整理调查结果后，得到下列两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
(1)此次调查的学生人数共有多少人？
(2)在扇形统计图中，求出短信部分所对应扇形圆心角的度数和m的值．
(3)该校共有6000名大学生，根据调查结果估计喜欢微信或电话沟通的学生共多少人？
20．已知：如图，直线与直线分别相交于点E，F，射线平分交于点G，．求证：．
21．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）；
(3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______．
22．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？
(3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况．
23．观察下列等式，并回答问题．
；
；
；
…
华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的_____倍；
(2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除．
24．已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形．
(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
(2)根据（1）中的结论，若，，求的值；
(3)拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B B B A D D
1．C
根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，根据定义逐一判断即可．
解：A、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意；
B、与没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意；
C、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角，符合题意；
D、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意．
2．B
解：．
3．D
整个圆的圆心角总和为，先确定最大占比，再用总圆心角度数乘对应占比，即可得到最大圆心角的度数．
解：∵整个圆的圆心角总和为，四个扇形圆心角的占比分别为，，，，
∴占比最大的圆心角对应占比为，
∴最大圆心角度数为：．
4．D
本题考查了折线统计图基础及其应用，由折线统计图，分别得出甲、乙两家超市1～8月的月利润，据此判断每个选项的结论正确与否，选出结论错误的选项即可．
解：由折线统计图中甲超市1～8月的月利润的变化趋势，可以看出甲超市的月利润逐月减少，故选项A的结论正确．同理可得选项B的结论正确．因为甲、乙两家超市1～8月的月利润情况的折线统计图在3月处交于一点，所以3月甲、乙两家超市的月利润相等．故选项C的结论正确．由折线统计图，分别得出甲、乙两家超市1～8月的月利润，可得1月甲、乙两家超市的月利润相差最大，故选项D的结论错误．
故选：D．
5．B
将方程组两个方程相加整理得到的表达式，结合已知条件建立关于k的一元一次方程即可求解．
解：，
由得，，
，
解满足，
解得：．
6．B
根据题意可得，，再由完全平方公式，可得，即可求解．
解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为．
7．B
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数．
解：，
则，，
由于a、b为整数，
则所有整数因子对满足有：、、、、、、、，
当、，，
当、，，
当、，，
当、，，
当、，，
当、，，
当、，，
当、，，
则不同的m值为5、7、、，共4个，
故选：B．
8．A
本题考查的是解分式方程，实数的大小比较，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况求解：当时和当时，分别得到分式方程，求解并检验即可得到答案．
解：当，即时，
，
，
去分母得：，
解得：，不符合题意，舍去；
当，即时，
，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
综上所述，方程的解为．
故选：A．
9．D
设纯电动车生产辆，混动车生产辆，根据题意可得， ，即可列出方程组．
解：设纯电动车生产辆，混动车生产辆，
∵生产的“纯电动车型”比“混动车型”多辆，
∴，
又∵每辆纯电动车需配组电池，混动车需配组电池，且本月电池使用总量为组，
∴ ，
∴可列方程组为．
10．D
的展开式系数对应杨辉三角的第行，按规律推出的所有系数即可得到目标项的系数．
解：∵由题意可知，杨辉三角中下一行每个系数（两端的1除外）等于上一行相邻两个系数之和，对应的系数即第5行系数为，
∴对应的第6行系数为：，即；
∴对应的第7行系数为：，即；
又∵展开式按降幂排列时，为第4项，对应系数为20．
11． 岭南学校全体中学生对建立班级生物角的看法 初一（3）班42名学生对建立班级生物角的看法
根据抽样调查中总体与样本的定义，结合题干调查目的确定对应总体和样本即可．
解：本题研究对象为岭南学校中学生对建立班级生物角的看法，因此总体是岭南学校全体中学生对建立班级生物角的看法．
样本是从总体中抽取的用于调查的部分个体，本题抽取的调查对象为初一（3）班42名学生对建立班级生物角的看法，因此样本是初一（3）班42名学生对建立班级生物角的看法．
12．
将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解．
解：关于、的二元一次方程组的解为，
∴，
∴①+②得，，
∴，
∴．
13．/140度
过点P作，则，根据平行线的性质得，，进而即可求解．
解：如图，过点P作，
，
，
，，
，，
，，
．
14．
设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可．
解：设，
∵
∴，
∴
．
15．/
本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解．
解：设另一个因式为，则．
∴．
∴对于常数项，，解得；
对于一次项系数，，代入得，解得．
∴另一个因式为．
故答案为：．
16．17
本题考查了调查与统计的相关计算．根据时长在分钟的学生人数占调查总人数的，可得时长在分钟的学生人数，由此得到时长在分钟及以上的学生人数．
解：七年级名学生，阅读时长在分钟的学生人数占调查总人数的，
∴时长在分钟的学生人数为（人），
∴阅读时长在分钟及以上的学生人数为（人），
故答案为：17．
17．(1)
(2)
（1）解：
将①代入②，得
去括号、合并同类项：，即
解得：
将代入①，得
∴ 方程组的解为
（2）
由②得：
将代入①，得
去括号、合并同类项：，即
解得：
将代入，得
∴ 方程组的解为
18．
根据多项式除以单项式法则计算除法，将多项式乘以多项式变形后利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开，然后合并同类项，最后代值计算即可．
解：
，
当，时，原式．
19．(1)此次调查的学生人数共有200人
(2)短信部分所对应扇形圆心角的度数为，m的值为32
(3)估计喜欢微信或电话沟通的学生共4800人
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据喜欢微信沟通的人数和所占的百分比，可以计算出此次调查的学生人数；
（2）用乘以喜欢短信沟通的人数所占的百分比即可求出短信部分所对应扇形圆心角的度数，用喜欢电话沟通的人数除以总人数即可求出m的值；
（3）用总人数乘以样本中喜欢微信或电话沟通的学生人数所占的百分比即可．
（1）解：（人），
答：此次调查的学生人数共有200人；
（2）解：短信部分所对应扇形圆心角的度数为，，
∴，
答：短信部分所对应扇形圆心角的度数为，m的值为32；
（3）解：（人），
答：估计喜欢微信或电话沟通的学生共4800人．
20．见解析
根据角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明．
解：∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)②
(2)
(3)
（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可；
（2）由化简解答即可；
（3）先将分式化为，根据为正整数，且分式值为整数，得到，即可得出结果．
（1）解：①，是“和谐分式”；
②是整式，不是“和谐分式”；
③，是“和谐分式”；
④，是“和谐分式”；
（2）解：．
（3）解：，
∵为正整数，且分式值为整数，
∴是整数，
∴，
∴．
22．(1)m的值为80，n的值为60；
(2)该商场可获利1100元；
(3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个．
（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；
（3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：m的值为80，n的值为60；
（2）解：根据题意得：，
∴，
∴．
答：该商场可获利1100元；
（3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个，
根据题意得：，
整理得：，
又∵a、b均为正整数，
∴或或或，
∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个；
答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个．
23．(1)43
(2)
见解析
（1）利用平方差公式法进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算后判断即可.
（1）解：，
∴的结果是3的43倍；
（2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为，
∴
∵为整数，
∴为整数，
∴能被整除
即与的平方差能被3整除．
24．(1)
(2)
(3)
（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可；
（）利用（1）的等量关系解答即可求解；
（）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解．
（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，正方形的边长为，，
∵，，
∴，
即，
∵长方形的面积为，即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
∴．
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