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21.1 认识一元二次方程
1.知道一元二次方程的概念、一般形式，能找出二次项系数、一次项系数、常数项.（重点）
2.能从实际问题中抽象出一元二次方程.（难点）
学校图书馆去年年底有图书 5 万册 ,预计到明年年底增加到 7. 2 万册. 求这两年的年平均增长率.
解:设这两年的年平均增长率为 x.
已知去年年底的图书数是 5 万册 ,则今年年底的图 书数是 5(1 + x) 万册.
同样 , 明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1 + x)倍 ,即 5(1 + x) (1 + x) = 5(1 + x)2 ( 万册) .
可列得方程 5(1 + x)2 = 7. 2 ,
整理可得 5x2 + 10x - 2. 2 = 0.
观察
x2＋10x－900＝0
5x2＋10x－2.2＝0
一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？
思考
共同特点：(1) 都是整式方程；
(2) 这里的未知数x的最高次数是2.
显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么它们与一元
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a，b，c是已知数，a≠ 0 )
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数，
bx 称为一次项， b 称为一次项系数，
c 称为常数项.
例1 （1）已知下列方程:①ax2＋bx＋c＝0；②＝2；③x2＋y＝0；
④2x(x－1)＝1；⑤x2＝4；⑥x＋3＝5.其中一定是关于x的一元
二次方程的是　④⑤　.(只填序号)
（2）方程x2－3＝2x(x＋1)的一般形式为　x2＋2x＋3＝0　，
二次项系数为　1　，一次项系数为　2　，常数项为　3　.
④⑤
x2＋2x＋3＝0
1
2
3
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ，b = 0时，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ，c = 0时，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
定义：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做
一元二次方程的根.
例2 已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得
将 x = 3 代入方程 x2+ax+a=0，
得
32 + 3a + a = 0
解得
见根就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法.
例3 已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个根，求m的值.
解:∵x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个根，
∴22＋2m＋2＝0，
解得m＝－3.
例4 三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个
相等的矩形(每一个矩形的面积都是35)拼
成如图所示的一个大正方形，利用所给的
数据，能得到的方程是____________．
x(x＋2)＝35
方法归纳交流　列方程表示实际问题中的等量关系的一般步骤:
①明确题意，引入合适的未知数；
②分析题目中的已知量与未知量之间的数量关系，
列出相应的代数式；
③根据　等量关系　列出方程.
等量关系
1.关于x的方程是一元二次方程，则
m= ，此时该一元二次方程为 ，一次
项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 .
2.已知关于x的方程的一个解是x=3，则实数k的值
为 .
3.把方程化为一般形式（二次项系数为正数）
为 .
3
3
4
-1
1
4．已知实数a是一元二次方程x2－2 023x＋1＝0的根，求代数式a2－2 022a － 的值．
解：∵a是一元二次方程x2－2 023x＋1＝0的根，
∴a2－2 023a＋1＝0，
∴a2－2 022a＝a－1，a2＋1＝2 023a，
∴a2－2 022a－ ＝a－1－ ＝a－1－a＝－1.
5.根据下列问题，列出关于未知数 x 的方程.
(1)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？
解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，得
(2)一商店销售某款篮球，每个盈利40元，每天可以销售20个．经调查发现，每降价1元，每天可多销售2个．若该商店想要每天盈利1200元，且最大可能让利顾客，则每个篮球应降价多少元？
解：设每个篮球应降价x元，
由题意得
(40－x)(20＋2x)＝1 200
定义
一元二次
方程
①是整式方程
②只含一个未知数
③未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
一般形式
列出一元二次方程解决实际问题
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
审→设→找→列

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