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21.2.1 直接开平方法
和因式分解法
21.2.1 直接开平方法
和因式分解法
第1课时 直接开平方法
1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程；（重点）
2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
试一试
解下列方程：
=4
你是怎样解的？
对于此题，有这样的解法：
方程 x2 = 4，
意味着x是4的平方根，所以x = ±，
即x = ±2.
这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1 = 2，x2 = -2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
(1) x2 - 2 = 0；
(2) 16x2 - 25 = 0.
解：(1) 移项，得x2 = 2，
直接开平方，得 x = ± ，
即x1 = ，x2 = - .
(2) 移项，得 16x2 = 25，
方程两边都除以 16，得x2 = ，
直接开平方，得 x = ±
即x1 = ，x2 = - .
例1
直接开平方法的一般步骤：
移项，左边是未知数的平方，右边是非负数的形式；
开平方，将方程转化为两个一元二次方程；
解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
方程=p的根：
(1)p>0，方程x2=p有两个互为相反数的实数根 x1=-，x2= .
(2)p=0，方程有两个相等的实数根x1=x2=;
(3)p<0，方程无实数根.
例2 用直接开平方法解下列方程:
(1) (2x+3)2=9;
解：(1)直接开平方，得
2x+3=±3
即2x+3=3
或2x+3 =－3
∴ x=0或x= －3
∴x1= 0, x2= －3
(2)直接开平方，得
（3x－4)=±(4x－3)
即3x－4=4x－3
或3x－4 =(4x－3)
∴ － x=1或7x=7
∴x1= －1, x2=1
形式中，把平方看成一个整体，通过开平方，得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程.
转化为两个一元一次方程
降次
开方
(2) (3x－4)2=(4x－3)2 .
1. 用直接开平方法解下列方程：
(1)2x -32=0;(2)4(x-3) -25 =0.
【分析】本题的4个方程变形后可以用直接开平方法
求解.(1)方程变形为x =16;(2)方程变形为(x-3) =.
2.计算
(1) 5(x+3)2－25=0; (2) 3(x-1)2=6;
，
，
解析 把一元二次方程转化为或的形式，再用直接开平方法求解.
，
(3) (4)
当≥0时，
当＜0时，方程无实数解.
直接开平方法
直接开平方
直接开平方
a2=b2
两边分别开平方
21.2.1 直接开平方法
和因式分解法
第2课时 因式分解法
1.学会用因式分解法解简单的一元二次方程；（重点）
2.了解用因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
复 习 导 入
1.解一元二次方程的基本思路是什么
2.解一元二次方程的方法有什么？
降次
直接开平方法
还有没有其他解一元二次方程的方法呢？
解：将方程左边用平方差公式分解因式，得
(x-1)(x+1)=0，
必有x - 1= 0 或 x + 1=0.
分别解这两个一元一次方程，得x1＝1，x2＝-1.
解方程：x2-1=0
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
例1 解下列方程：
(2) 5x（x-3） = 10（x-3）.
(1) 3x2 + 2x = 0；
解：(1) 方程左边分解因式，得
x(3x＋2) = 0.
∴ x = 0或 3x＋2 = 0.
得 x1 = 0，x2 = -
(2) 移项，得
5x（x-3）-10（x-3） = 0.
方程左边分解因式，得
5(x－3)(x－2)= 0.
∴ x－3= 0或x－2= 0.得
x1 = 3，x2 = 2.
因式分解法的基本步骤
一移——方程的右边 = 0；
二分——方程的左边因式分解；
三化——方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
试写出一个一元二次方程，要求它的两个根为x1 = 2，x2 = 3。符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？
例2 用适当的方法解方程：
(1)3x(x+5)=5(x+5); (2)(5x+1) =1.
解：(1)化简(3x-5)(x+5)=0.
即3x-5=0或x+5=0.
∴x1=,x2=-5.
分析:（1）该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
（2）方程一边以平方形式出现，另一边是常数,可直接用开平方法.
（2）开平方，得
5x+1=±1.
解得x1=0,x2=-.
1.解下列方程：
解：(1)因式分解，得
∴
x－2 = 0或 x＋1= 0,
得x1=2，x2= -1.
(x－2)(x＋1) = 0.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
得
∴2x＋1=0或2x－1=0,
(1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
解：(3)化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
= 0.
得x1=x2=1.
(4)因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x - 11 ) = 0.
∴2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0，
得
（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0.
概念
因式分解法
当右边=0时，将方程左边因式分解.
如果a·b=0，那么a=0或b=0.
原理
步骤
因式分解常见的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c)；
a2±2ab+b2=(a±b)2；
a2-b2=(a+b)(a-b).
一移、二分、三化、四解.

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