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(共16张PPT)
22.3.1 相似三角形
22.3 相似三角形
1. 理解并掌握相似三角形的定义；（重点）
2. 理解判定三角形相似的常用结论，并能利用常用结论解决问题.（难点）
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我们就说△ABC与△A' B' C' ______，记作__________________，那么比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比，△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A' B' C' 中，如果∠A=∠A' , ∠B=∠B' ,∠C=∠C' ,
△ABC∽△A' B' C'
相似
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反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且 .
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似.
(1)判定两个三角形相似的条件：对应边成比例，对应角相等；
(2)两三角形相似又为解题提供了条件.
归纳1：
归纳2：
(1)相似比的值与两个三角形的前后顺序有关．
(2)相似比为1的两个相似三角形为全等三角形．反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
全等三角形是相似三角形的特例
如图，DE为△ABC 的中位线，△ADE和△ABC是相似三角形吗
A
B
C
E
D
思路点拨：根据中位线定理，有DE//BC，DE=BC.
由此可知
∠ADE = ∠ABC，∠AED =∠ACB，∠A =∠A；
=.
即△ADE和△ABC的三角对应相等、三条边对应成比例.
因此△ADE和△ABC是相似三角形，相似比k=.
如果只有DE//BC这个条件，是否同样也能得到△ADE和△ABC相似的结论呢
A
B
C
E
D
思路点拨：显然∠ADE = ∠ABC，∠AED =∠ACB，∠A =∠A.
又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得
=通过度量，还可以发现，
因而有△ADE∽△ABC.
我们可以用演绎推理证明这一结论.
已知：如图，DE//BC，并分别交AB、AC于点D、E.
求证：△ADE∽△ABC.
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
∴ = ( 平行线分线段成比例 )，
∴ = =.
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形 DFCE 是平行四边形，
∴DE = FC.
∴ .
又∵∠ADE =∠B，∠AED =∠C，∠A =∠A，
∴△ADE∽△ABC ( 相似三角形的定义 ).
证明：∵DE // BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C，
(平行线分线段成比例)，
过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F，
F
如图，DE ∥ BC，△AED 与△ABC 是否还是相似的？请说明理由.
A
B
C
E
D
仍然相似.
理由如下：如图，在AB上截取AF=AE，过点F作FG//DE交AC于点G，
F
G
∵FG//DE ∴∠AFG=∠E，∠AGF=∠D，
又 AF=AE， ∴△AFG≌ △AED,
又∵△AFG∽△ABC,
∴ △AED∽△ABC,
平行于三角形一边的直线，和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交所构成的三角形与原三角形相似.
由此，可以得到下面常用的结论：
例 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点，DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长.
A
B
C
E
D
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC ( 平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形和原三角形相似 )，
∴
∴BC =3DE =15.
1．命题正确的是(　　)
A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等边三角形都相似 D．以上都不对
C
2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(　　)
A．28° B．32° C．42° D．52°
C
3．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AC·CD
返回
A
4．如图，点M是 ABCD的边CD上的一点，BM 的延长线交AD的延长线于点N，则图中相似的三角形有(　　)
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
A
5．如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.
(1)求证：△AOB≌△DOC；
（1）证明：∵OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，
∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC(AAS)．
(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．
(2)解：由题知，BE＝BC＋CE＝4.
∵△AOB≌△DOC，∴CD＝AB＝2.
∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边的比等于相似比；
相似三角形
当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

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