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22.3.2 相似三角形的判定
22.3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
1.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）
2.经历相似三角形的判定定理1的探究过程.（难点）
复 习 导 入
三角形全等的判定方法有哪些？
1.观察学生与老师的直角三角板（30° 与 60°），会相似吗？测量测量，得出你的猜想.
2.两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°，75° .
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗？
这两个三角形是相似的
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD=A1B1，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B1，
∴∠ADE=∠B1.
又∵ AD=A1B1，∠A=∠A1，
∴△ADE ≌△A1B1C1，
∴△A1B1C1∽△ABC.
C
A
A1
B
B1
C1
D
E
已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1,
求证：△ABC∽△A1B1C1.
三角形相似的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A1，∠B=∠B1，
∴ △ABC ∽ △A1B1C1.
符号语言：
C
A
B
A1
B1
C1
归纳：
A
B
C
A'
B'
C'
例1 如图，在Rt△ABC和Rt△A' B' C' 中，∠C=∠C’都是直角，∠A=∠A' .求证：△ABC∽△A' B' C' .
证明： ∵∠C=∠C' =90°，
∠A=∠A' ，
∴△ABC∽△A' B' C' .
（两角分别相等的两个三角形相似）
此例告诉我们，两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.
例2 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
证明:
∵DE∥BC
∴∠AED=∠C
又∵EF∥AB
∴∠A=∠CEF
∴△ADE∽△EFC
1．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是(　　)
A．有一个角是40°的两个等腰三角形 B．两个等腰直角三角形
C．有一个角为100°的两个等腰三角形 D．两个等边三角形
A
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
B
3．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件：________________________，使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)
返回
∠B＝∠ACD(答案不唯一)
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC，AB＝12，AD＝8，CD＝15，则DB＝________．
10
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABD≌△BCE；
(2)△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
解:（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∠ABD＝∠BCE＝60°.
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)．
(2)△EAF与△EBA相似．
由(1)得△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝∠EAF.
又∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA.
定义
相似三角形
三组对应边成比例，三组对应角分别相等
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
推论
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
22.3.2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理2,3
1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.（难点）
观察右图，如果有一点 E 在边 AC 上移动，那么点 E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢？
图中 △ADE 与△ABC 的一组边 AD 和 AB 的长度的比值为 .将点 E 由点 A 开始在 AC 上移动，可以发现当 AE = AC 时，△ADE 与△ABC 似乎相似. 此时 = ____.
A
B
C
D
下面我们来证明上述猜想.
已知：如图，在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A =∠A1， .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，
并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
证明：在边 AB 或它的延长线上截取 AD = A1B1，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，则
△ADE∽△ABC， .
∵ ，AD = A1B1，
∴AE = A1C1.
又∵∠A =∠A1，AD = A1B1，
∴△ADE ≌△A1B1C1.
∴△ABC ~△A1B1C1.
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
相似三角形的判定定理2
C
A
B
A′
B′
C′
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
例1 如图，已知AE=54，BE=45，CE=30，FE=36.求证：△AEB ∽△FEC .
证明：∵ = = 1.5,
= = 1.5,
∴ = .
又∵∠AEB＝∠FEC，
∴△AEB∽△FEC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
54
30
36
45
E
A
F
C
B
在下图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数. 画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？
A
B
C
A1
B1
C1
两个三角形对应角均相等，两个三角形相似.
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
三边成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定定理3
C
A
B
A′
B′
C′
符号语言：
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
例2 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm.求证;△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵ = = ,
= = ,
= =.
∴
∴△ABC ∽△ABC ( 三边成比例的两个三角形相似 ).
1．能判定△ABC∽△DEF的条件是(　　)
D
2．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1、、，乙三角形木框的三边长分别为5、、，则甲、乙两个三角形木框(　　)
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断
A
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10.
求证：△ADE∽△ACB.
返回
证明：∵AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，求证：△ABC∽△DEF.
定理2
相似三角形
的判定定理
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3
三边对应成比例的两个三角形相似.

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