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22.3.3 相似三角形的性质
1.相似三角形中的对应线段比值的推导；（重点）
2.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.（难点）
复 习 导 入
判定两个三角形相似的简便方法有哪些？
定义法
平行法
判定定理1、2、3.
问题1 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' .
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°.
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴==k.
相似三角形的对应边上的高的比等于相似比.
类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比也等于相似比.
因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的性质定理1：
问题2 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
A
B
C
A'
B'
C'
如果△ABC∽△A' B' C' ，相似比为k，那么
因此，AB＝k·A' B' ，BC＝k·B' C' ，CA＝k·C' A'
从而
相似三角形周长的比等于相似比.
相似多边形周长的比等于相似比.
归纳
同理得：
问题3 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD和A' D' ．
∵△ABC∽△A' B' C'，
归纳
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
′
∴==k.
问题4 如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k，它们面积的比是多少？
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
归纳 相似多边形面积比等于相似比的平方.
例 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC 的周长是24，面积是48，求△DEF 的周长和面积．
A
B
C
D
E
F
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF，
又∵∠D＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为
∴△DEF 的周长与△ABC 的周长的比是， ∴△DEF 的周长为12.
1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为(　　)
A
2．已知△ABC∽△A′B′C′，对应边上的中线的比为2：，且BC边上的高是5，则B′C′边上的高为________．
7.5
3．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且 FH ＝6，则EA 的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．5
A
4．如果两个相似三角形的周长之比为1∶4，那么它们对应角的平分线之比为________．
1∶4
5．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE
＝∠ACD＋∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC.
（2）解：∵△ABC∽△DEC，
S△ABC∶S△DEC＝4∶9，
∴=,∴=.
又∵BC＝6，∴CE＝9.
性质1
相似三角形性质
对应高，中线，角平分线的比等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比
性质2
性质3
相似三角形面积的比等于相似比的平方
谢谢

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