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第2章 有理数的运算 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.计算－1＋2的结果是( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.下列各数中，最小的数是( )
A.－3 B.|－2| C.(－3)2 D.2×103
3.在某市国际会展中心举办的博览会为该市带动消费2.6亿元，将数据260 000 000用科学记数法表示为( )
A.2.6×107 B.2.6×108
C.2.6×109 D.2.6×1010
4.下列关于(－2)4与－24的说法中，正确的是( )
A.它们的意义相同
B.它们的结果相等
C.它们意义不同，但结果相等
D.它们意义不同，结果也不相等
5.学习完有理数的运算后，四位同学聊了起来。甲说：“一个负数乘一个负数，再减去一个负数，结果是负数。”乙说：“若一个数的绝对值等于它本身，则它乘任何数结果都是0。”丙说：“正数的倒数一定是正数，负数的倒数一定是负数。”丁说：“若几个数在运算时只包含加法和乘法，则这些数任意调换顺序，运算结果都是一样的。”说得对的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为－2，则输出的结果是( )
A.4 B.20 C.36 D.100
7.如图，若数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，则下列结论中，正确的是( )
A.|a|＞|b|
B.两数之和大于0
C.两数之积大于1
D.|a|＞b
8.下列运算错误的是( )
A.(－3)2－(－4)÷|－2|=9＋4÷2
B.22－(－1)2 025=4＋1
C.－7÷2×=7÷2×
D.×(－9)＋(－3)××2=×(－9－3－2)
9.如果规定“☆”为一种运算符号，且a☆b=ab－ba，则3☆(2☆1)的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.2
10.若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则－(－pq)2 025＋t3的值是( )
A.－63 B.65
C.－63或65 D.63或－65
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)0.061 7取近似值(精确到千分位)≈ ；近似数3.7×105精确到 位。
12.(3分)－1的倒数是 ； 的平方是。
13.(3分)计算：= 。
14.(3分)已知：==3，==10，==15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：= ；比较大小：(填“＞”“＜”或“=”)。
15.(3分)如图，量得一个纸杯的高为11 cm，6个纸杯叠放在一起的高度为13.5 cm，则10个纸杯叠放在一起的高度是 cm。
16.(3分)由于逻辑电路的限制，计算机通常利用二进制数进行计算，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数换算为若干个2n之和，写的时候按照2n，2n－1，…，21，20(注：20=1)的顺序排列，分别确定他们的系数(只能是0或1)，再把系数依次写成一串数码即可。如十进制数字19可以写为二进制数(10011)2，因为19=16＋2＋1=1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20，32可以写为二进制数(100000)2，因为32=32＋0=1×25＋0×24＋0×23＋0×22＋0×21＋0×20。根据以上法则，十进制数字88写成二进制数是( )2；猜测十进制数888写成二进制数的位数是 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)列式计算：
(1)(4分)已知3与一个数的差为－5，求这个数；
(2)(4分)一个数与－的积为，求这个数。
18.(8分)计算：
(1)(4分)－8×；
(2)(4分)(－1)2 025－[2－(－2)3]＋。
19.(8分)下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。
计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。
解：原式=1－÷(－11)…①
=1－÷(－11)…②
=1－…③
=。…④
问题：(1)(2分)上述解法中，步骤 开始出现错误(填序号)。
(2)(6分)请写出正确的解法。
20.(8分)方方在计算－3＋时，由于不小心，后面的数被墨水覆盖了。
(1)(4分)方方问了同桌圆圆，发现圆圆计算时误将－3后面的“＋”看成了“÷”，从而算得结果为7，请求出被墨水覆盖的数。
(2)(4分)请你正确计算这道题。
21.(8分)某地一星期内每天的最高气温与最低气温记录如下表。
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 6 3 9 11 11 14 13
最低气温/℃ 0 －1 －2 －2 －2 －1 1
(1)(4分)哪天的温差最大？哪天的温差最小？
(2)(4分)若将一天最高温与最低温的平均值作为当日的平均气温，将一段时间内逐日平均气温累加之和称作积温，则这一周的积温是多少摄氏度？
22.(10分)定义“*”运算：(＋3)*(＋15)=＋18，(－14)*(－7)=＋21，(－12)*(＋14)=－26，(＋12)*(－10)=－22，0*(－15)=(－15)*0=＋15，(＋13)*0=0*(＋13)=＋13。
(1)(6分)请你仔细观察上述运算，归纳“*”运算的法则：
两数进行“*”运算时，如何确定符号： ，并如何算数值： ；特别地，0和任何数进行“*”运算，结果都等于 。
(2)(4分)计算：(＋11)*[0*(－12)]。
23.(10分)根据以下素材，探索完成任务。
如何选择订购方案？
素材1 乳品店里出售的两款饮品：鲜牛奶12元/杯，酸牛奶17元/杯，另外可额外添加小料：鲜果1元/份，果仁2元/份。
素材2 某在线点餐平台进行用户推广，给每个账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张(如：单笔金额为110元的订单，实付金额为110－18=92元)。
素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备用莉莉的账号订购下午茶，经统计，7人想喝鲜牛奶，5人想喝酸牛奶。
问题解决
分析规划 任务1 (1)(3分)单笔订单购买12杯饮品，需要支付多少元？
任务2 (2)(3分)莉莉发现将鲜牛奶和酸牛奶的订单分开2笔下单更划算，只需支付 元。
确定方案 任务3 (3)(4分)莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果不是，请你给出最划算的下单方案，并计算需要支付的金额。
24.(12分)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(不等于0)的除法运算叫作除方，如3÷3÷3，(－2)÷(－2)÷(－2)÷(－2)等。类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(－2)÷(－2)÷(－2)÷(－2)记作(－2)④，读作“－2的圈4次方”。一般地，把记作，读作“a的圈n次方”。
【初步探究】(1)(2分)直接写出计算结果：4③= ，= 。
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(此处不用作答)
(2)(3分)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式。
(－3)④= ；5⑥= ；= 。
(3)(2分)想一想，将一个非零有理数写成乘方幂的形式等于 。
(4)(2分)比较大小：(－9)⑤ (－3)⑦(填“＞”“＜”或“=”)。
【灵活应用】(5)(3分)算一算：－32÷ 。第2章 有理数的运算 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.计算－1＋2的结果是(　C　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.下列各数中，最小的数是(　A　)
A.－3 B.|－2| C.(－3)2 D.2×103
3.在某市国际会展中心举办的博览会为该市带动消费2.6亿元，将数据260 000 000用科学记数法表示为(　B　)
A.2.6×107 B.2.6×108
C.2.6×109 D.2.6×1010
4.下列关于(－2)4与－24的说法中，正确的是(　D　)
A.它们的意义相同
B.它们的结果相等
C.它们意义不同，但结果相等
D.它们意义不同，结果也不相等
5.学习完有理数的运算后，四位同学聊了起来。甲说：“一个负数乘一个负数，再减去一个负数，结果是负数。”乙说：“若一个数的绝对值等于它本身，则它乘任何数结果都是0。”丙说：“正数的倒数一定是正数，负数的倒数一定是负数。”丁说：“若几个数在运算时只包含加法和乘法，则这些数任意调换顺序，运算结果都是一样的。”说得对的同学是(　C　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为－2，则输出的结果是(　D　)
A.4 B.20 C.36 D.100
7.如图，若数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，则下列结论中，正确的是(　D　)
A.|a|＞|b|
B.两数之和大于0
C.两数之积大于1
D.|a|＞b
8.下列运算错误的是(　D　)
A.(－3)2－(－4)÷|－2|=9＋4÷2
B.22－(－1)2 025=4＋1
C.－7÷2×=7÷2×
D.×(－9)＋(－3)××2=×(－9－3－2)
9.如果规定“☆”为一种运算符号，且a☆b=ab－ba，则3☆(2☆1)的值为(　D　)
A.0 B.1 C.－1 D.2
【解析】 3☆(2☆1)=3☆(21－12)=3☆(2－1)=3☆1=31－13=3－1=2。
10.若m，n互为相反数，p，q互为倒数，t的绝对值等于4，则－(－pq)2 025＋t3的值是(　C　)
A.－63 B.65
C.－63或65 D.63或－65
【解析】 由题意，得m＋n=0，pq=1，t=±4，
所以原式=－(－1)2 025＋(±4)3
=0＋1＋(±64)，
则－(－pq)2 025＋t3=－63或65。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)0.061 7取近似值(精确到千分位)≈　0.062　；近似数3.7×105精确到　万　位。
12.(3分)－1的倒数是　－　； ，－　的平方是。
13.(3分)计算：=　－　。
【解析】 原式=
=
=
=－。
14.(3分)已知：==3，==10，==15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=　4　；比较大小：(填“＞”“＜”或“=”)。
【解析】 =4。。
15.(3分)如图，量得一个纸杯的高为11 cm，6个纸杯叠放在一起的高度为13.5 cm，则10个纸杯叠放在一起的高度是　15.5　cm。
【解析】 增加一个杯子增加的高度为(13.5－11)÷(6－1)=2.5÷5=0.5(cm)，
故10个纸杯叠放在一起的高度为11＋(10－1)×0.5=15.5(cm)。
16.(3分)由于逻辑电路的限制，计算机通常利用二进制数进行计算，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数换算为若干个2n之和，写的时候按照2n，2n－1，…，21，20(注：20=1)的顺序排列，分别确定他们的系数(只能是0或1)，再把系数依次写成一串数码即可。如十进制数字19可以写为二进制数(10011)2，因为19=16＋2＋1=1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20，32可以写为二进制数(100000)2，因为32=32＋0=1×25＋0×24＋0×23＋0×22＋0×21＋0×20。根据以上法则，十进制数字88写成二进制数是(　1011000　)2；猜测十进制数888写成二进制数的位数是　10　。
【解析】 88=64＋16＋8=1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20 =(1011000)2。观察易知，若有一个十进制数a，则当2n＜a＜2n＋1时，写成的二进制数的位数就是n＋1。
29＜888＜210，
所以888写成二进制数的位数是10。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)列式计算：
(1)(4分)已知3与一个数的差为－5，求这个数；
(2)(4分)一个数与－的积为，求这个数。
解：(1)3－(－5)=3＋5=8，即这个数是8。
(2)=－=－2，即这个数是－2。
18.(8分)计算：
(1)(4分)－8×；
(2)(4分)(－1)2 025－[2－(－2)3]＋。
解：(1)原式=－8××6=－8××6=－4×6=－24。
(2)原式=－1－[2－(－8)]－1=－1－(2＋8)－1=－1－10－1=－12。
19.(8分)下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。
计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。
解：原式=1－÷(－11)…①
=1－÷(－11)…②
=1－…③
=。…④
问题：(1)(2分)上述解法中，步骤　①　开始出现错误(填序号)。
(2)(6分)请写出正确的解法。
解：(2)正确解法是：
原式=－1－÷(－2－9)=－1－÷(－11)=－1－=－1＋=－。
20.(8分)方方在计算－3＋时，由于不小心，后面的数被墨水覆盖了。
(1)(4分)方方问了同桌圆圆，发现圆圆计算时误将－3后面的“＋”看成了“÷”，从而算得结果为7，请求出被墨水覆盖的数。
(2)(4分)请你正确计算这道题。
解：(1)由题意得，被墨水覆盖的数为÷7=－=－。
(2)－3=－4。
21.(8分)某地一星期内每天的最高气温与最低气温记录如下表。
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 6 3 9 11 11 14 13
最低气温/℃ 0 －1 －2 －2 －2 －1 1
(1)(4分)哪天的温差最大？哪天的温差最小？
(2)(4分)若将一天最高温与最低温的平均值作为当日的平均气温，将一段时间内逐日平均气温累加之和称作积温，则这一周的积温是多少摄氏度？
解：(1)星期一：6－0=6(℃)。
星期二：3－(－1)=4(℃)。
星期三：9－(－2)=11(℃)。
星期四：11－(－2)=13(℃)。
星期五：11－(－2)=13(℃)。
星期六：14－(－1)=15(℃)。
星期日：13－1=12(℃)。
故星期六温差最大，星期二温差最小。
(2)(6＋0)÷2=3(℃)。
[3＋(－1)]÷2=1(℃)。
[9＋(－2)]÷2=3.5(℃)。
[11＋(－2)]÷2=4.5(℃)。
[11＋(－2)]÷2=4.5(℃)。
[14＋(－1)]÷2=6.5(℃)。
(13＋1)÷2=7(℃)。
3＋1＋3.5＋4.5＋4.5＋6.5＋7=30(℃)。
答：这一周的积温是30 ℃。
22.(10分)定义“*”运算：(＋3)*(＋15)=＋18，(－14)*(－7)=＋21，(－12)*(＋14)=－26，(＋12)*(－10)=－22，0*(－15)=(－15)*0=＋15，(＋13)*0=0*(＋13)=＋13。
(1)(6分)请你仔细观察上述运算，归纳“*”运算的法则：
两数进行“*”运算时，如何确定符号：　同号两数运算取正号，异号两数运算取负号　，并如何算数值：　把绝对值相加　；特别地，0和任何数进行“*”运算，结果都等于　这个数的绝对值　。
(2)(4分)计算：(＋11)*[0*(－12)]。
解：(2)(＋11)*[0*(－12)]
=(＋11)*(＋12)
=23。
23.(10分)根据以下素材，探索完成任务。
如何选择订购方案？
素材1 乳品店里出售的两款饮品：鲜牛奶12元/杯，酸牛奶17元/杯，另外可额外添加小料：鲜果1元/份，果仁2元/份。
素材2 某在线点餐平台进行用户推广，给每个账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张(如：单笔金额为110元的订单，实付金额为110－18=92元)。
素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备用莉莉的账号订购下午茶，经统计，7人想喝鲜牛奶，5人想喝酸牛奶。
问题解决
分析规划 任务1 (1)(3分)单笔订单购买12杯饮品，需要支付多少元？
任务2 (2)(3分)莉莉发现将鲜牛奶和酸牛奶的订单分开2笔下单更划算，只需支付　133　元。
确定方案 任务3 (3)(4分)莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果不是，请你给出最划算的下单方案，并计算需要支付的金额。
解：(1)12×7＋17×5－18=151(元)。
答：单笔订单购买12杯饮品，需要支付151元。
(2)购买鲜牛奶支付12×7－18=84－18=66(元)，
购买酸牛奶支付17×5－18=85－18=67(元)，
共需支付66＋67=133(元)。
(3)莉莉的下单方案不是最划算的方案。
最划算的方案为：
第一单：购买2杯鲜牛奶，2杯酸牛奶，实际支付12×2＋2×17－18=40(元)；
第二单：购买2杯鲜牛奶，2杯酸牛奶，实际支付12×2＋2×17－18=40(元)；
第三单：购买3杯鲜牛奶，1杯酸牛奶，再添加2元的鲜果或果仁，实际支付12×3＋17＋2－18=37(元)，
三单共需支付40＋40＋37=117(元)。
24.(12分)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数(不等于0)的除法运算叫作除方，如3÷3÷3，(－2)÷(－2)÷(－2)÷(－2)等。类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(－2)÷(－2)÷(－2)÷(－2)记作(－2)④，读作“－2的圈4次方”。一般地，把记作，读作“a的圈n次方”。
【初步探究】(1)(2分)直接写出计算结果：4③= 　，=　4　。
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(此处不用作答)
(2)(3分)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式。
(－3)④= 　；5⑥= 　；=　23　。
(3)(2分)想一想，将一个非零有理数写成乘方幂的形式等于 　。
(4)(2分)比较大小：(－9)⑤　＞　(－3)⑦(填“＞”“＜”或“=”)。
【灵活应用】(5)(3分)算一算：－32÷ 。
解：(1)4③=4÷4÷4=；
=4。
(2)(－3)④=(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)=；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5==23。
(3)==a··。
(4)(－9)⑤==－，(－3)⑦==－。
因为，
所以－＞－，
所以(－9)⑤＞(－3)⑦。
(5)－32÷=－32÷(－3)3×(－4)2=－9÷(－27)×16=。

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