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第3章 实数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列实数中的无理数是(　C　)
A. B.3.14 C.
2.若 =2，则a的值为(　B　)
A.－4 B.4 C.2 D.
3.在0，，1， 这四个数中，最小的是(　A　)
A.0 B. C.1 D.
4.如图，在数轴上表示数－的点可能是(　B　)
A.E B.F C.P D.Q
5.下列各式中，正确的是(　D　)
A.=±3 B.=±
C.=－3 D.±=±9
6.下列说法正确的是(　B　)
A.9是81的算术平方根，即±=9
B.5是(－5)2的算术平方根，即 =5
C.±6是36的平方根，即 =±6
D.－2是4的负的平方根，即=－2
7.已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为(　B　)
A.1 dm B. dm C. dm D. dm
8.素材一：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。根据这个定义，是a的一个平方根，因此()2=a。素材二：我们见到的长方形纸有不同的幅面大小，比如报纸大小的A2纸，
试卷大小的A3纸，练习册大小的A4纸，生字本大小的A5纸，字典大小的A6纸。问题：已知A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍……以此类推，A2纸的长边是A6纸的长边的(　D　)
A.2倍 B.2×倍 C.3倍 D.4倍
【解析】 因为A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍，所以A2纸的长边是A4纸的长边的×=()2=2倍，同理，A4纸的长边是A6纸的长边的2倍，所以A2纸的长边是A6纸的长边的4倍。
9.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=(a＋b≥0)，如：3*2=，那么15*(6*3)=(　A　)
A. B.3 C. D.1
10.如图，画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点A1处，记点A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记点A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为(　A　)
A.－1 B.＋1 D.－
【解析】 由题意知点A1表示的数是，
所以点B1表示的数是2，所以A1B1=2－，
则点A2表示的数是2＋2－=4－。
因为2＜4－＜3，所以点B2表示的数为3，所以A2B2=－1。
同理可得A3B3=2－，A4B4=－1，…，A7B7=2－；A8B8=－1。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)4的算术平方根是　2　；27的立方根是　3　。
12.(3分)用[x]表示不大于x的最大整数，如[2.1]=2，[－4.5]=－5，则[]－5的值是　－2　。
【解析】 因为3＜＜4，
所以[]=3，所以[]－5=3－5=－2。
13.(3分)如果一个正数的立方根等于它的算术平方根，那么这个数为　1　。
14.(3分)要生产一种体积为36π立方分米的球形容器，这种球形容器的半径是　3　分米(球的体积公式为V=πR3，其中R是球的半径)。
【解析】 由题意，得R3=V÷=36π÷=27(立方分米)，
所以R==3(分米)。
15.(3分)已知实数a，b满足 |a＋－7|＋(b＋3－)2=0，则a＋b=　4　。
【解析】 由题意，得a=7－，b=－3，所以a＋b=7－－3=4。
16.(3分)已知x是整数，当|x－|取最小值时，x的值是　5　。
【解析】 因为，
所以5＜＜6。
因为5.52=30.25，
所以5.5＞，
所以5＜＜5.5，
所以与最接近的整数是5，
所以当|x－|取最小值时，整数x的值是5。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)计算：
(1)(4分)|－1|＋；
(2)(4分)－12 027＋－|－2|。
解：(1)原式=1＋3－4=0。
(2)原式=－1＋1＋(－2)－(2－)=－1＋1－2－2＋－4。
18.(8分)已知下列各数，回答问题：
－，0， ，π，－， 。
(1)(4分)在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“＜”连接。
(2)(4分)这几个数中介于－2与－1之间的数有　2　个。
解：(1)=0.5，－=－1，
属于非负数的有0，，π，，
表示在数轴上如答图所示。
第18题答图
所以0＜＜π。
(2)介于－2与－1之间的数有－，－，共2个。
19.(8分)已知a是121的算术平方根，(b－1)3=－64。求：
(1)(4分)a，b的值。
(2)(4分)的平方根。
解：(1)因为a是121的算术平方根，
所以a==11。
因为(b－1)3=－64，
所以b－1=－4，
所以b=－3。
(2)因为a=11，b=－3，
所以2(a＋b)=2×(11－3)=2×8=16，
所以=4。
因为4的平方根是±2，
所以的平方根是±2。
20.(8分)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9。
(1)(6分)小正方形的边长为 　，它在　2　和　3　这两个连续整数之间。
(2)(2分)请求出图中阴影部分的面积。(结果保留根号)
解：(1)因为小正方形的面积为6，
所以小正方形的边长为。
因为4＜6＜9，
所以2＜＜3，
所以它在2和3这两个连续整数之间。
(2)阴影部分的面积为×(3－)=3－6。
21.(8分)根据表格回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121
(1)(2分)112.36的算术平方根是　10.6　，118.81的平方根是　±10.9　。
(2)(3分)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a。
(3)(3分)物体自由下落的时间t(s)与下落高度h(m)之间的关系是t2=。现有一个物体从530 m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间(结果精确到0.1 s)？
解：(2)若介于10.1与10.3之间，则a介于102.01与106.09之间，
满足条件的正整数a的值有103，104，105，106。
(3)当h=530 m时，t2=≈108.16，且t＞0，所以结合表格可知t=10.4 s。
22.(10分)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根。华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘。你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的方法试一试。
(1)(6分)①(2分)由103=1 000，1003=1 000 000，因为1 000＜32 768＜1 000 000，所以可以确定是　两　位数。
②(2分)由32 768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数是　2　，划去32 768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，可以确定的十位上的数是　3　。
③(2分)所以=　32　。
(2)(4分)已知13 824是一个整数的立方，请仿照上述方法计算。
解：(2)由103=1 000，1003=1 000 000，
1 000＜13 824＜1 000 000，
所以10＜＜100，
所以是两位数。
因为只有个位数是4的数的立方个位数是4，
所以的个位上的数是4。
划去13 824后面的三位数824得到13。
因为23=8，33=27，而8＜13＜27，
所以20＜＜30，
所以=24。
23.(10分)木工李师傅现有一块面积为144 m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料。
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3∶2。
李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请说明如何裁剪；若不可行，请说明理由(参考数据：≈4.47)。
解：方案一可行。
因为正方形胶合板的面积为144 m2，
所以正方形胶合板的边长为=12(m)。
如答图所示，沿着EF裁剪。
因为BC=EF=12 m，所以只要使BE=CF=10(m)就满足条件(方案一裁剪方法不唯一)。
第23题答图
方案二不可行。理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为3x(m)、宽为2x(m)，则3x·2x=120，所以x=。
因为≈4.47，所以所裁剪长方形的长为3x≈13.41 m。
又因为13.41＞12，所以方案二不可行。
24.(12分)同学们通过学习教材中的内容，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
(1)(4分)图1用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形，则大正方形的边长为 　dm，图2中点M表示的数为　－　。
(2)(5分)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1。
①(3分)求图3中正方形ABCD的面积和边长。
②(2分)如图4，若点A在数轴上表示的数是－1，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，与数轴的正半轴相交于点E，则点E所表示的数是　－1＋　。
(3)(3分)请在如图5所示的网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在小方格的顶点上(每个网格小正方形的边长为1个单位长度)。
图1　 图2　 图3
图4　　 图5
解：(1)图1中大正方形的边长为，
所以图2中点M表示的数为－。
(2)①正方形ABCD的面积是4×4－4××1×3=10，
故边长为。
②因为正方形ABCD的边长为，
所以AE=AB=，
所以点E表示的数比－1大，即点E表示的数为－1＋。
(3)如答图所示。
第24题答图第3章 实数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列实数中的无理数是( )
A. B.3.14 C.
2.若 =2，则a的值为( )
A.－4 B.4 C.2 D.
3.在0，，1， 这四个数中，最小的是( )
A.0 B. C.1 D.
4.如图，在数轴上表示数－的点可能是( )
A.E B.F C.P D.Q
5.下列各式中，正确的是( )
A.=±3 B.=±
C.=－3 D.±=±9
6.下列说法正确的是( )
A.9是81的算术平方根，即±=9
B.5是(－5)2的算术平方根，即 =5
C.±6是36的平方根，即 =±6
D.－2是4的负的平方根，即=－2
7.已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为( )
A.1 dm B. dm C. dm D. dm
8.素材一：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。根据这个定义，是a的一个平方根，因此()2=a。素材二：我们见到的长方形纸有不同的幅面大小，比如报纸大小的A2纸，
试卷大小的A3纸，练习册大小的A4纸，生字本大小的A5纸，字典大小的A6纸。问题：已知A2纸的长边是A3纸的长边的倍，A3纸的长边是A4纸的长边的倍……以此类推，A2纸的长边是A6纸的长边的( )
A.2倍 B.2×倍 C.3倍 D.4倍
9.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=(a＋b≥0)，如：3*2=，那么15*(6*3)=( )
A. B.3 C. D.1
10.如图，画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上的点A1处，记点A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记点A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续，则A8B8的长为( )
A.－1 B.＋1 D.－
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)4的算术平方根是 ；27的立方根是 。
12.(3分)用[x]表示不大于x的最大整数，如[2.1]=2，[－4.5]=－5，则[]－5的值是 。
13.(3分)如果一个正数的立方根等于它的算术平方根，那么这个数为 。
14.(3分)要生产一种体积为36π立方分米的球形容器，这种球形容器的半径是 分米(球的体积公式为V=πR3，其中R是球的半径)。
15.(3分)已知实数a，b满足 |a＋－7|＋(b＋3－)2=0，则a＋b= 。
16.(3分)已知x是整数，当|x－|取最小值时，x的值是 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)计算：
(1)(4分)|－1|＋；
(2)(4分)－12 027＋－|－2|。
18.(8分)已知下列各数，回答问题：
－，0， ，π，－， 。
(1)(4分)在如图所示的数轴上表示上述各数中的非负数(标在数轴上方，无理数标出大致位置)，并把它们用“＜”连接。
(2)(4分)这几个数中介于－2与－1之间的数有 个。
19.(8分)已知a是121的算术平方根，(b－1)3=－64。求：
(1)(4分)a，b的值。
(2)(4分)的平方根。
20.(8分)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9。
(1)(6分)小正方形的边长为 ，它在 和 这两个连续整数之间。
(2)(2分)请求出图中阴影部分的面积。(结果保留根号)
21.(8分)根据表格回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11
x2 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 121
(1)(2分)112.36的算术平方根是 ，118.81的平方根是 。
(2)(3分)若介于10.1与10.3之间，求满足条件的正整数a。
(3)(3分)物体自由下落的时间t(s)与下落高度h(m)之间的关系是t2=。现有一个物体从530 m高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间(结果精确到0.1 s)？
22.(10分)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根。华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘。你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的方法试一试。
(1)(6分)①(2分)由103=1 000，1003=1 000 000，因为1 000＜32 768＜1 000 000，所以可以确定是 位数。
②(2分)由32 768的个位上的数是8，可以确定的个位上的数是 ，划去32 768后面的三位数768得到32，因为33=27，43=64，可以确定的十位上的数是 。
③(2分)所以= 。
(2)(4分)已知13 824是一个整数的立方，请仿照上述方法计算。
23.(10分)木工李师傅现有一块面积为144 m2的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料。
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为120 m2的长方形装饰材料，且其长、宽之比为3∶2。
李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请说明如何裁剪；若不可行，请说明理由(参考数据：≈4.47)。
24.(12分)同学们通过学习教材中的内容，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度与小正方形的边长相同)，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，通过探究回答以下问题：
(1)(4分)图1用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形，则大正方形的边长为 dm，图2中点M表示的数为 。
(2)(5分)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题：
如图3，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1。
①(3分)求图3中正方形ABCD的面积和边长。
②(2分)如图4，若点A在数轴上表示的数是－1，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，与数轴的正半轴相交于点E，则点E所表示的数是 。
(3)(3分)请在如图5所示的网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在小方格的顶点上(每个网格小正方形的边长为1个单位长度)。
图1　 图2　 图3
图4　　 图5

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