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第5章 一元一次方程 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列方程中，属于一元一次方程的是( )
A.x－2=3 B.1＋=6
C.x2＋x=1 D.x－3y=0
2.下列变形中，不正确的是( )
A.若a－3=b－3，则a=b B.若，则a=b
C.若a=b，则 D.若ac=bc，则a=b
3.下列解方程的过程中，移项正确的是( )
A.由5＋x=18，得x=18＋5
B.由5x＋=3x，得5x－3x=
C.由x＋3=－x－4，得x＋x=－4－3
D.由3x－4=6x，得3x＋6x=4
4.在解方程3x＋=2－时，去分母，得( )
A.45x＋3(x－1)=30＋5(2x－1)
B.45x＋3(x－1)=30－5(2x－1)
C.15x＋(x－1)=6－(2x－1)
D.45x＋3(x－1)=2－5(2x－1)
5.在解方程=1，对该方程进行变形时，正确的是( )
A.=100 B.=1
C.=100 D.=10
6.已知a=，b=m－。若a与b互为相反数，则m的值为( )
A. B.－ C.－ D.－
7.小华同学在解方程5x－1=(　　)x＋11时，把“(　　)”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为( )
A.x=－1 B.x=1 C.x=－3 D.x=3
8.古代数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲仍发长安。问几何日相逢？”大意：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安。现乙先出发2日，甲才从长安出发。问多久后甲乙相逢？设乙出发x日后，甲乙相逢，则可列方程( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
9.“智取九宫格”游戏的规则是：九宫格中，在除了已经填写的三个数之外的每一个方格中填入一个数，使每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和均等于m。小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为( )
A.8 B.15 C.27 D.39
10.有两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元。小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品。若各自付款，能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是( )
A.100元 B.75元
C.75元或100元 D.85元或100元
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)若代数式x－5与2x－1的值相等，则x的值为 。
12.(3分)已知关于x的一元一次方程2x＋m=5x的解为x=2，则m= 。
13.(3分)对于任意有理数a，b，定义新运算“※”：a※b=a(a－b)＋1，如2※5=2×(2－5)＋1=－5。若3※x=5※(x－1)，则x的值为 。
14.(3分)某商品的进价为每件100元，老板为购进新货对该商品进行清仓处理，按标价打八折售出后每件亏损了8元，则该商品的标价为每件 元。
15.(3分)已知一个棱长为8 cm的正方体铁块。
(1)(1.5分)如图，把铁块放入装满水的圆柱形容器中(容器的底面直径和高度均为20 cm)，则溢出水的体积为 cm3。
(2)(1.5分)若把铁块放入装有4 cm高的水的正方体容器中(容器的棱长为20 cm)，则水面升高 cm。
16.(3分)刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了。”则王老师今年 岁。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)解下列方程：
(1)(4分)x－(x－1)=2(x－1)；
(2)(4分)－1。
18.(8分)已知关于x的方程3(x－2)=x－1的解比的解小，求a的值。
19.(8分)《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？”大意：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱。问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题。
20.(8分)某校为了举办科技文化艺术节活动，需制作一批模型，请来师徒两人。已知师傅单独完成需10天，徒弟单独完成需15天。
(1)(2分)师徒两人合作需要 天完成。
(2)(6分)现由师傅先做1天，再师徒两人合作，问：还需多少天可以完成这项工作？
21.(8分)小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州。假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度为14 km/h，从宜昌到荆州的速度为10 km/h，从奉节到荆州的水上距离约为350 km，经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h。根据题目中的假设，回答下列问题：
(1)(4分)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？
(2)(4分)李白能在一日(24 h)之内从白帝城到达江陵吗？请说明理由。
22.(10分)我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为－1，我们就称这两个方程为“互反方程”。例如：方程2x=1与方程x＋2=0为“互反方程”。
(1)(2分)判断方程2x－1=5与2(x＋1)=1－x是否为“互反方程”，并说明理由。
(2)(4分)若关于x的两个方程=x＋1与5=3(2－a)－4x为“互反方程”，求a的值。
(3)(4分)已知m为整数，若关于x的方程＋x=的解是整数，且其与方程m2=6x＋7为“互反方程”，请直接写出所有可能的m的值。
23.(10分)元旦期间，各大商场开展促销活动，其中甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示：
商场 优惠活动
甲 全场商品按标价的六折销售。
乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券(比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，冲抵现金的部分不再送券)。
丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的满减优惠(比如：某顾客购物220元，他只需付款220－2×50=120元)。
根据以上信息，解答以下问题：
(1)(4分)三个商场同时出售一件标价为390元的上衣和一条标价为360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择哪家商场？请完成下表：
商场 甲商场 乙商场 丙商场
实际付款/元
从实惠的角度，李先生应选择 商场购买。
(2)(3分)李先生发现在甲、乙两商场出售的同款标价为280元的上衣和标价为200多元(不足300元)的裤子，最后付款额是一样的，求这条裤子的标价。
(3)(3分)丙商场又推出“先打折，再满100减50元”的活动，周先生买了一件标价为400元的上衣，付款后却发现竟然比只参加满减活动时多付了10元钱，问丙商场先打了多少折后再满减？
24.(12分)数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换。请阅读下列素材，完成探究任务。
【素材1】机灵小组绘制了一条数轴(如图1)，其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c。已知a，b，c满足|a＋4|＋(c＋8)2=－|b－6|。
【素材2】笨笨小组把如图1中的数轴在点A和点B处各折一下，形成了如图2所示的“折线数轴”，其中点A和点B之间的部分(包括点A和点B)叫作“滑梯坡面”。
【任务1】(1)(3分)在【素材1】中，a= ，b= ，c= 。
【任务2】(2)(4分)折叠如图1的数轴，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数。
【任务3】(3)(5分)点D落在“滑梯坡面”上，距B点6个单位长度。现在动点P，Q同时开始运动：点P从点C出发，以4个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以5个单位长度/秒的速度运动至点B，再以2个单位长度/秒的速度运动至终点A。点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度运动至终点B。当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动。AQ，PQ分别表示点Q到点A，点P的距离，当点P在“滑梯坡面”上运动时，满足2AQ=3PQ，若从运动开始算起，此时点P的运动时间为t秒，请求出t的值。第5章 一元一次方程 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列方程中，属于一元一次方程的是(　A　)
A.x－2=3 B.1＋=6
C.x2＋x=1 D.x－3y=0
2.下列变形中，不正确的是(　D　)
A.若a－3=b－3，则a=b B.若，则a=b
C.若a=b，则 D.若ac=bc，则a=b
3.下列解方程的过程中，移项正确的是(　C　)
A.由5＋x=18，得x=18＋5
B.由5x＋=3x，得5x－3x=
C.由x＋3=－x－4，得x＋x=－4－3
D.由3x－4=6x，得3x＋6x=4
4.在解方程3x＋=2－时，去分母，得(　B　)
A.45x＋3(x－1)=30＋5(2x－1)
B.45x＋3(x－1)=30－5(2x－1)
C.15x＋(x－1)=6－(2x－1)
D.45x＋3(x－1)=2－5(2x－1)
5.在解方程=1，对该方程进行变形时，正确的是(　B　)
A.=100 B.=1
C.=100 D.=10
6.已知a=，b=m－。若a与b互为相反数，则m的值为(　B　)
A. B.－ C.－ D.－
【解析】 由题意，得＋m－=0，解得m=－。
7.小华同学在解方程5x－1=(　　)x＋11时，把“(　　)”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为(　D　)
A.x=－1 B.x=1 C.x=－3 D.x=3
【解析】 设“(　　)”处的数字为a，
由题意，得5x－1=－ax＋11，
把x=2代入，得10－1=－2a＋11，
解得a=1，
所以原方程为5x－1=x＋11，解得x=3。
8.古代数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲仍发长安。问几何日相逢？”大意：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安。现乙先出发2日，甲才从长安出发。问多久后甲乙相逢？设乙出发x日后，甲乙相逢，则可列方程(　D　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
9.“智取九宫格”游戏的规则是：九宫格中，在除了已经填写的三个数之外的每一个方格中填入一个数，使每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和均等于m。小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为(　D　)
A.8 B.15 C.27 D.39
【解析】 设九宫格中最中间的数为x。
因为第1列中间的数与第2行最左侧的数重合，
所以16＋4=7＋x，所以x=13。
同理，由第3列的和与对角线上的3个数之和相等，得右下角的数为4＋13－7=10，
所以m=16＋13＋10=39。
10.有两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元。小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品。若各自付款，能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是(　D　)
A.100元 B.75元
C.75元或100元 D.85元或100元
【解析】 设所购商品的标价是x元，分两种情况讨论：
①所购商品的标价小于90元，
则x－20＋x=150，
解得x=85；
②所购商品的标价大于90元，
则x－20＋x－30=150，
解得x=100。
综上所述，所购商品的标价是85元或100元。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)若代数式x－5与2x－1的值相等，则x的值为　－4　。
12.(3分)已知关于x的一元一次方程2x＋m=5x的解为x=2，则m=　6　。
13.(3分)对于任意有理数a，b，定义新运算“※”：a※b=a(a－b)＋1，如2※5=2×(2－5)＋1=－5。若3※x=5※(x－1)，则x的值为　10.5　。
【解析】 因为3※x=5※(x－1)，
所以3(3－x)＋1=5[5－(x－1)]＋1。
去括号，得9－3x＋1=30－5x＋1。
移项，得－3x＋5x=30＋1－9－1。
合并同类项，得2x=21。
两边同除以2，得x=10.5。
14.(3分)某商品的进价为每件100元，老板为购进新货对该商品进行清仓处理，按标价打八折售出后每件亏损了8元，则该商品的标价为每件　115　元。
【解析】 设该商品的标价为每件x元，
由题意，得100－80%x=8，
解得x=115，
即该商品的标价为每件115元。
15.(3分)已知一个棱长为8 cm的正方体铁块。
(1)(1.5分)如图，把铁块放入装满水的圆柱形容器中(容器的底面直径和高度均为20 cm)，则溢出水的体积为　512　cm3。
(2)(1.5分)若把铁块放入装有4 cm高的水的正方体容器中(容器的棱长为20 cm)，则水面升高 　cm。
【解析】 (1)8×8×8=512(cm3)，
所以溢出水的体积为512 cm3。
(2)设水面升高后的高度为x(cm)。
由题意，得8×8·x＋20×20×4=20×20·x，
解得x=，则x－4=，
所以水面升高 cm。
16.(3分)刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了。”则王老师今年　31　岁。
【解析】 设王老师比刘俊大x岁，则王老师今年(45－x)岁，刘俊今年(3＋x)岁。
由题意，得(45－x)－(3＋x)=x，
解得x=14，所以45－x=31，
即王老师今年31岁。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)解下列方程：
(1)(4分)x－(x－1)=2(x－1)；
(2)(4分)－1。
解：(1)去分母，得3x－(x－1)=4(x－1)。
去括号，得3x－x＋1=4x－4。
移项，合并同类项，得－2x=－5。
两边同除以－2，得x=。
(2)去分母，得5(3x－1)=3(4x＋2)－15。
去括号，得15x－5=12x＋6－15。
移项，合并同类项，得3x=－4。
两边同除以3，得x=－。
18.(8分)已知关于x的方程3(x－2)=x－1的解比的解小，求a的值。
解：解方程3(x－2)=x－1，得x=。
由题意，得方程的解为x==5，
所以，
解得a=1。
19.(8分)《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？”大意：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱。问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题。
解：设合伙人数为x，
由题意，得400x－3 400=300x－100，
解得x=33，
所以400x－3 400=9 800(钱)。
答：合伙人数为33，金价为9 800钱。
20.(8分)某校为了举办科技文化艺术节活动，需制作一批模型，请来师徒两人。已知师傅单独完成需10天，徒弟单独完成需15天。
(1)(2分)师徒两人合作需要　6　天完成。
(2)(6分)现由师傅先做1天，再师徒两人合作，问：还需多少天可以完成这项工作？
解：(1)=6(天)。
(2)设还需x天可以完成这项工作，根据题意，得=1，
解得x=5。
答：还需5天可以完成这项工作。
21.(8分)小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州。假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度为14 km/h，从宜昌到荆州的速度为10 km/h，从奉节到荆州的水上距离约为350 km，经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h。根据题目中的假设，回答下列问题：
(1)(4分)奉节到宜昌的水上距离是多少千米？
(2)(4分)李白能在一日(24 h)之内从白帝城到达江陵吗？请说明理由。
解：(1)设奉节到宜昌的水上距离为x(km)，
根据题意，得=1，
解得x=210。
答：奉节到宜昌的水上距离为210千米。
(2)=15＋14=29(h)。
因为29＞24，
所以李白不能在一日之内从白帝城到达江陵。
22.(10分)我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为－1，我们就称这两个方程为“互反方程”。例如：方程2x=1与方程x＋2=0为“互反方程”。
(1)(2分)判断方程2x－1=5与2(x＋1)=1－x是否为“互反方程”，并说明理由。
(2)(4分)若关于x的两个方程=x＋1与5=3(2－a)－4x为“互反方程”，求a的值。
(3)(4分)已知m为整数，若关于x的方程＋x=的解是整数，且其与方程m2=6x＋7为“互反方程”，请直接写出所有可能的m的值。
解：(1)方程2x－1=5的解为x=3，
方程2(x＋1)=1－x的解为x=－。
因为3×=－1，
所以方程2x－1=5与2(x＋1)=1－x为“互反方程”。
(2)方程=x＋1的解为x=－2，
－1÷(－2)=，
所以方程5=3(2－a)－4x的解为x=，
将x=代回方程，得5=3(2－a)－4×，
5=6－3a－2，
－5＋3a=4－3a，
6a=9，
解得a=。
(3)方程＋x=的解为x=。
因为m为整数，且也为整数，
所以m＋2=±1，±3，
所以m=－5，－3，－1，1。
当m=－5时，原方程的解为x=－1，方程m2=6x＋7的解为x=3，－1×3≠－1，不满足题意；
当m=－3时，原方程的解为x=－3，方程m2=6x＋7的解为x=，－3×=－1，满足题意；
当m=－1时，原方程的解为x=3，方程m2=6x＋7的解为x=－1，－1×3≠－1，不满足题意；
当m=1时，原方程的解为x=1，方程m2=6x＋7的解为x=－1，－1×1=－1，满足题意。
综上所述，m=－3或1。
23.(10分)元旦期间，各大商场开展促销活动，其中甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如下表所示：
商场 优惠活动
甲 全场商品按标价的六折销售。
乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券(比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，冲抵现金的部分不再送券)。
丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的满减优惠(比如：某顾客购物220元，他只需付款220－2×50=120元)。
根据以上信息，解答以下问题：
(1)(4分)三个商场同时出售一件标价为390元的上衣和一条标价为360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择哪家商场？请完成下表：
商场 甲商场 乙商场 丙商场
实际付款/元 450 450 400
从实惠的角度，李先生应选择　丙　商场购买。
(2)(3分)李先生发现在甲、乙两商场出售的同款标价为280元的上衣和标价为200多元(不足300元)的裤子，最后付款额是一样的，求这条裤子的标价。
(3)(3分)丙商场又推出“先打折，再满100减50元”的活动，周先生买了一件标价为400元的上衣，付款后却发现竟然比只参加满减活动时多付了10元钱，问丙商场先打了多少折后再满减？
解：(2)设这条裤子的标价为x元，
根据题意，得0.6(280＋x)=280＋x－200，
解得x=220。
答：这条裤子的标价为220元。
(3)设丙商场先打了y折后再满减。
当y≥7.5时，400×－50×3－(400－50×4)=10，
解得y=9；
当5≤y＜7.5时，400×－50×2－(400－50×4)=10，
解得y=7.75(舍去)。
答：丙商场先打了九折后再满减。
24.(12分)数学活动课上，同学们将数轴进行折叠变换。请阅读下列素材，完成探究任务。
【素材1】机灵小组绘制了一条数轴(如图1)，其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c。已知a，b，c满足|a＋4|＋(c＋8)2=－|b－6|。
【素材2】笨笨小组把如图1中的数轴在点A和点B处各折一下，形成了如图2所示的“折线数轴”，其中点A和点B之间的部分(包括点A和点B)叫作“滑梯坡面”。
【任务1】(1)(3分)在【素材1】中，a=　－4　，b=　6　，c=　－8　。
【任务2】(2)(4分)折叠如图1的数轴，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数。
【任务3】(3)(5分)点D落在“滑梯坡面”上，距B点6个单位长度。现在动点P，Q同时开始运动：点P从点C出发，以4个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以5个单位长度/秒的速度运动至点B，再以2个单位长度/秒的速度运动至终点A。点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度运动至终点B。当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动。AQ，PQ分别表示点Q到点A，点P的距离，当点P在“滑梯坡面”上运动时，满足2AQ=3PQ，若从运动开始算起，此时点P的运动时间为t秒，请求出t的值。
解：(2)方法一：设与点A重合的点所表示的数为x，
根据题意，得，
解得x=2，
所以与点A重合的点所表示的数为2。
方法二：点B与点C的距离为6－(－8)=14，
14÷2=7，6－7=－1，
所以折痕经过的点表示的数是－1，
－1－(－4)=3，－1＋3=2，
所以与点A重合的点所表示的数为2。
(3)从运动开始算起，点P到达点A经过的时间：|－8－(－4)|÷4=1(秒)，
点P到达点B经过的时间：1＋|－4－6|÷5=3(秒)，
点P返回A经过的时间：3＋|－4－6|÷2=8(秒)，
点Q到达点B经过的时间：6÷1=6(秒)，
又由2AQ=3PQ，得AQ＞PQ，
所以1＜t≤6。
因为点B表示的数为6，BD=6，且点B在点D的右侧，
所以点D表示的数为0。
当1＜t≤3时，点P表示的数为－4＋5(t－1)=5t－9，点Q表示的数为t，
根据题意，得2[t－(－4)]=3|5t－9－t|，
即2(t＋4)=3(9－4t)或2(t＋4)=3(4t－9)，
解得t=或t=(舍去)；
当3＜t≤6时，点P表示的数为6－2(t－3)=12－2t，点Q表示的数为t，
根据题意，得2[t－(－4)]=3|12－2t－t|，
即2(t＋4)=3(12－3t)或2(t＋4)=3(3t－12)，
解得t=(舍去)或t=(舍去)。
综上所述，t的值为。

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