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第6章 图形的初步知识 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　D　)
A.平板弹墨线 B.建筑工人砌墙设置参考线
C.会场摆直茶杯 D.为缩短航程将弯河道改直
2.“力箭一号”(ZK－1A)商业运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功。把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了(　A　)
A.点动成线 B.线动成面
C.面动成体 D.面面相交成线
3.如图，下列说法中，错误的是(　C　)
A.射线OA的方向是正西方向 B.射线OB的方向是东北方向
C.射线OC的方向是南偏东60° D.射线OD的方向是南偏西55°
4.若∠A=38°15'，∠B=38.15°，则(　A　)
A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A=∠B D.∠A≤∠B
5.若一个角的余角比这个角大40°，则这个角的补角的度数为(　D　)
A.25° B.115° C.145° D.155°
【解析】 设这个角为x，则其余角为90°－x。
由题意，得90°－x－x=40°，
解得x=25°，
所以这个角的补角的度数为180°－25°=155°。
6.如图，OB是∠AOC的平分线，已知∠COD=∠BOD，∠COD=17°，则∠AOD的度数为(　D　)
A.68° B.70° C.83° D.85°
【解析】 因为∠COD=∠BOD，∠COD=17°，
易知∠BOC=2∠COD=34°。
又因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠AOC=2∠BOC=68°，
所以∠AOD=∠AOC＋∠COD=85°。
7.已知点A，B，C在同一直线上，若AB=20 cm，AC=30 cm，M，N分别是线段AB，AC中点，则线段MN的长是(　D　)
A.5 cm B.5 cm或15 cm
C.25 cm D.5 cm或25 cm
【解析】 ①当点C位于AB的延长线上时，MN=(AC－AB)=5 cm；
②当点C位于BA的延长线上时，MN=(AC＋AB)=25 cm。
综上所述，线段MN的长是5 cm或25 cm。
8.在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，则重合的时刻处于(　B　)
A.9：48~9：49之间 B.9：49~9：50之间
C.9：50~9：51之间 D.9：51~9：52之间
【解析】 9时整，时针和分针夹角为90°，易知时针1 min走0.5°，分针1 min 走6°。
设9时x分，分针与时针重合，则有0.5x＋(360－90)=6x，
解得x=49，
即重合的时刻处于9：49~9：50之间。
9.如图，若将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处(两把三角尺可以在同一平面内绕点A自由旋转)，则下列结论中，一定成立的是(　C　)
A.∠BAD≠∠EAC B.∠DAC－∠BAE=45°
C.∠BAE＋∠DAC=180° D.∠DAC＞∠BAE
【解析】 因为在三角尺中，∠BAC=∠DAE=90°，
所以∠BAC－∠BAE=∠DAE－∠BAE，
即∠BAD=∠EAC，A不成立；
∠DAC－∠BAE=2∠BAD，值不固定，B不成立；
因为∠BAC=∠DAE=90°，
所以∠BAD＋∠BAE＋∠EAC＋∠BAE=180°，
即∠DAC＋∠BAE=180°，C成立；
∠DAC与∠BAE的大小关系不确定，D不成立。
故选C。
10.如图，D，E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列说法正确的是(　D　)
A.若BE－DE=0，则AE－CD=7
B.若BE－DE=2，则AE－CD=7
C.若BE－DE=4，则AE－CD=7
D.若BE－DE=6，则AE－CD=7
【解析】 由BE－DE=0，可设DE=BE=x，
所以AD=20－2x。
因为C为AD的中点，
所以AC=CD=10－x，AE=AD＋DE=20－2x＋x=20－x，
所以AE－CD=(20－x)－(10－x)=10，故A错误；
由BE－DE=2，可设DE=x，则BE=x＋2，
所以AD=20－x－(x＋2)=18－2x。
因为C为AD的中点，
所以AC=CD=9－x，AE=18－2x＋x=18－x，
所以AE－CD=(18－x)－(9－x)=9，故B错误；
由BE－DE=4，可设DE=x，则BE=x＋4，
所以AD=20－x－(x＋4)=16－2x。
因为C为AD的中点，
所以AC=CD=8－x，AE=16－2x＋x=16－x，
所以AE－CD=(16－x)－(8－x)=8，故C错误；
由BE－DE=6，可设DE=x，则BE=x＋6，
所以AD=20－x－(x＋6)=14－2x。
因为C为AD的中点，
所以AC=CD=7－x，AE=14－2x＋x=14－x，
所以AE－CD=(14－x)－(7－x)=7，故D正确。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)计算：12°36'=　12.6　°；56°33'＋23°27'=　80　°。
12.(3分)平面内三条直线两两相交，最多有　3　个交点。
13.(3分)如图，AB=2，AC=5，延长BC至点D，使BD=3BC，则AD的长为　11　。
【解析】 因为AB=2，AC=5，
所以BC=AC－AB=3，
所以BD=3BC=9，
所以AD=AB＋BD=11。
14.(3分)如图，直线AB，CD相交于点O，有下列描述：①∠1和∠2互为余角；②∠1=∠2；③∠1=∠3；④∠1＋∠4=180°。其中正确的是　③④　(填序号)。
15.(3分)5点15分，时针与分针所形成的角度是　67.5　°。
【解析】 由题意可得，每分钟时针走的度数为30°÷60=0.5°，
所以5点15分，时针与分针所形成的角度是(5－3)×30°＋15×0.5°=67.5°。
16.(3分)1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形。如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形。其中最小的正方形边长是1，则标注A的正方形的边长为 　。
【解析】 在图中标注各正方形，如答图所示。
第16题答图
设标注A的正方形的边长为x，则标注B的正方形的边长为x＋1，标注C的正方形的边长为x＋2，标注D的正方形的边长为2x＋1，标注E的正方形的边长为x＋3，标注F的正方形的边长为3x＋1，标注G的正方形的边长为(2x＋1)＋(3x＋1)－(x＋2)－(x＋3)=3x－3，标注H的正方形的边长为6x－2，标注I的正方形的边长为2x＋5，标注J的正方形的边长为9x－5或(2x＋5)＋(x＋3)－(3x－3)=11。
根据题意，得9x－5=11，
解得x=。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知∠α=76°，∠β=41°31'，求：
(1)(4分)∠β的余角。
(2)(4分)∠α的2倍与∠β的一半的差。
解：(1)90°－∠β=90°－41°31'=48°29'。
(2)因为∠α=76°，∠β=41°31'，
所以2∠α－∠β=2×76°－×41°31'=152°－20°45'30″=131°14'30″。
18.(8分)如图，已知线段AB。
(1)(4分)作图：延长AB至点C，使得BC=AB，再找出AC的中点D。
(2)(4分)根据第(1)题的图示，若AB=6 cm，求BD的长。
解：(1)如答图。
第18题答图
(2)因为AB=6 cm，BC=AB，
所以BC=3 cm。
因为D是线段AC的中点，
所以CD=AC=(AB＋BC)=×(6＋3)=(cm)，
所以BD=CD－BC=－3=(cm)。
19.(8分)如图，射线OA的方向是北偏东15.8°，射线OB的方向是北偏西40°30'，若∠AOC=∠AOB，则射线OC的方向是北偏东多少度？
解：因为∠BOD=40°30'，∠AOD=15.8°=15°48'，
所以∠AOB=∠BOD＋∠AOD
=40°30'＋15°48'
=55°78'
=56°18'。
因为∠AOC=∠AOB=56°18'，
所以∠COD=∠AOC＋∠AOD
=56°18'＋15°48'
=71°66'
=72°6'
=72.1°。
即射线OC的方向是北偏东72.1°。
20.(8分)(1)(4分)如图1，P为线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分，已知线段AB的长为12 cm，求线段CP的长。
(2)(4分)如图2，射线OP平分∠AOB，射线OC，OD把∠AOB三等分，若∠COP=θ，求∠AOB的度数(用含θ的代数式表示)。
解：(1)因为P为线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分，AB=12 cm，
所以AP=BP=AB=6 cm，
AC=CD=BD=AB=4 cm，
所以CP=AP－AC=6－4=2(cm)。
(2)因为射线OP平分∠AOB，
所以∠BOP=∠AOP=∠AOB。
因为射线OC，OD把∠AOB三等分，
所以∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB，
所以∠AOP－∠AOC=∠BOP－∠BOD，
所以∠COP=∠DOP=θ，
所以∠COD=2θ，
所以∠AOB=3∠COD=6θ。
21.(8分)如图，O是直线AB上的一个点，从点O引两条射线OC，OD，使∠BOC，∠BOD，∠AOD的度数之比为1∶2∶3。
(1)(6分)求∠BOD的度数及∠BOC余角的度数。
(2)(2分)∠AOD与∠AOC的度数之比为　3∶4　。
解：(1)因为∠BOD∶∠AOD=2∶3，∠BOD＋∠AOD=180°，
所以∠AOD=180°×=108°，∠BOD=180°×=72°。
因为∠BOC∶∠BOD=1∶2，
所以∠BOC=∠BOD=36°，
所以∠BOC的余角=90°－∠BOC=54°，
所以∠BOD的度数为72°，∠BOC余角的度数为54°。
(2)因为∠BOC=36°，
所以∠AOC=180°－∠BOC=144°。
又因为∠AOD=108°，
所以∠AOD∶∠AOC=108°∶144°=3∶4。
22.(10分)一副三角尺按如图所示的方式叠放，∠DFE=90°，∠BAC=60°，点A，F重合。为探索∠CAE与∠BAD之间的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE=30°，求得∠BAD=60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD=2∠CAE；乙：∠CAE＋∠BAD=90°；丙：∠BAD－∠CAE=30°。
(1)(4分)为验证猜想，他们再次假设∠CAE=25°，并求出∠BAD的度数，请写出求解过程。
(2)(6分)①(3分)根据(1)的结果，猜想一定错误的两位同学是　甲、乙　。
②(3分)剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由。
解：(1)当∠CAE=25°时。
因为∠BAC=60°，
所以∠BAE=∠BAC－∠CAE=60°－25°=35°。
又因为∠DFE=90°，
所以∠BAD=∠DFE－∠BAE=90°－35°=55°。
(2)①因为∠CAE=25°，∠BAD=55°，
所以∠BAD≠2∠CAE，∠CAE＋∠BAD=25°＋55°=80°，
所以甲，乙两位同学的猜想一定错误。
②丙同学的猜想正确。理由如下：
设∠CAE=α。
因为∠BAC=60°，
所以∠BAE=∠BAC－∠CAE=60°－α。
又因为∠DFE=90°，
所以∠BAD=∠DFE－∠BAE=90°－(60°－α)=30°＋α，
所以∠BAD－∠CAE=30°＋α－α=30°，
所以丙同学的猜想正确。
23.(10分)综合与探究。
问题情境：已知M，N分别是线段AC，BC的中点。
初步探究：(1)(2分)如图1，点C在线段AB上，且AC=9，BC=6，求线段MN的长。
问题解决：(2)(2分)若C为线段AB上任意一点，且AC=a，CB=b，求出线段MN的长(用含a，b的代数式表示)。
类比应用：(3)(3分)若点C在线段AB的延长线上，且AC=a，CB=b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长(用含有a，b的代数式表示)。
拓展延伸：(4)(3分)如图2，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM=m，CE=n，求线段AB的长(用含有m，n的代数式表示)。
解：(1)因为AC=9，M是AC的中点，
所以CM=AC=4.5。
因为BC=6，N是BC的中点，
所以CN=BC=3，
所以MN=CM＋CN=7.5，
所以线段MN的长度为7.5。
(2)因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，
所以MC=AC=a，CN=CB=b，
所以MN=a＋b=(a＋b)。
(3)当点C在线段AB的延长线时，如答图，
第23题答图
则AC＞BC。
因为M是AC的中点，
所以CM=AC=。
因为点N是BC的中点，
所以CN=BC=，
所以MN=CM－CN=a－b=(a－b)。
(4)因为点C，D，M分别是线段AB，AC，EB的中点，
所以AC=BC=AB，AD=CD=AC，EM=BM=EB。
因为DM=m，CE=n，
所以DC＋EM=m－n，
所以AC＋EB=2(DC＋EM)=2m－2n，
所以AB=AC＋EB＋CE=2m－2n＋n=2m－n。
24.(12分)以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处。
(1)(2分)如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=　30　°。
(2)(4分)如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由。
(3)(4分)以图1为初始位置，将三角形DOE绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当转动t秒到某个位置时(点E，D与点C在AB的同侧)，恰好有∠AOE=5∠COD，求t的值。
解：(2)OD平分∠BOC。理由如下：
因为∠BOC=60°，
所以∠AOC=180°－60°=120°。
因为OE恰好平分∠AOC，
所以∠EOC=120°÷2=60°。
又因为∠EOD=90°，
所以∠COD=∠EOD－∠EOC=90°－60°=30°，
所以∠BOD=∠BOC－∠COD=60°－30°=30°，
所以∠BOD=∠COD，
所以OD平分∠BOC。
(3)分两种情况讨论：
①如答图1，当OD在∠AOC内。
第24题答图1
因为∠AOB=∠AOE＋∠EOD＋∠BOD=180°，∠BOD=5t°，
所以∠AOE=180°－90°－5t°=90°－5t°，∠COD=∠BOD－∠BOC=5t°－60°。
又因为∠AOE=5∠COD，
所以90－5t=5(5t－60)，
解得t=13。
②如答图2，当OD在∠BOC内。
第24题答图2
同上可得∠AOE=90°－5t°，∠COD=∠BOC－∠BOD=60°－5t°，
所以90－5t=5(60－5t)，
解得t=10.5。
综上所述，t的值为13或10.5。第6章 图形的初步知识 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.在下列生活、生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有( )
A.平板弹墨线 B.建筑工人砌墙设置参考线
C.会场摆直茶杯 D.为缩短航程将弯河道改直
2.“力箭一号”(ZK－1A)商业运载火箭在酒泉卫星发射中心采用“一箭六星”的方式，成功将六颗卫星送入预定轨道，首次飞行任务取得圆满成功。把卫星看成点，则卫星在预定轨道飞行留下的痕迹体现了( )
A.点动成线 B.线动成面
C.面动成体 D.面面相交成线
3.如图，下列说法中，错误的是( )
A.射线OA的方向是正西方向 B.射线OB的方向是东北方向
C.射线OC的方向是南偏东60° D.射线OD的方向是南偏西55°
4.若∠A=38°15'，∠B=38.15°，则( )
A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A=∠B D.∠A≤∠B
5.若一个角的余角比这个角大40°，则这个角的补角的度数为( )
A.25° B.115° C.145° D.155°
6.如图，OB是∠AOC的平分线，已知∠COD=∠BOD，∠COD=17°，则∠AOD的度数为( )
A.68° B.70° C.83° D.85°
7.已知点A，B，C在同一直线上，若AB=20 cm，AC=30 cm，M，N分别是线段AB，AC中点，则线段MN的长是( )
A.5 cm B.5 cm或15 cm
C.25 cm D.5 cm或25 cm
8.在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，则重合的时刻处于( )
A.9：48~9：49之间 B.9：49~9：50之间
C.9：50~9：51之间 D.9：51~9：52之间
9.如图，若将一副三角尺的直角顶点重合放置于点A处(两把三角尺可以在同一平面内绕点A自由旋转)，则下列结论中，一定成立的是( )
A.∠BAD≠∠EAC B.∠DAC－∠BAE=45°
C.∠BAE＋∠DAC=180° D.∠DAC＞∠BAE
10.如图，D，E顺次为线段AB上的两点，AB=20，C为AD的中点，则下列说法正确的是( )
A.若BE－DE=0，则AE－CD=7
B.若BE－DE=2，则AE－CD=7
C.若BE－DE=4，则AE－CD=7
D.若BE－DE=6，则AE－CD=7
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)计算：12°36'= °；56°33'＋23°27'= °。
12.(3分)平面内三条直线两两相交，最多有 个交点。
13.(3分)如图，AB=2，AC=5，延长BC至点D，使BD=3BC，则AD的长为 。
14.(3分)如图，直线AB，CD相交于点O，有下列描述：①∠1和∠2互为余角；②∠1=∠2；③∠1=∠3；④∠1＋∠4=180°。其中正确的是 (填序号)。
15.(3分)5点15分，时针与分针所形成的角度是 °。
16.(3分)1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形。如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形。其中最小的正方形边长是1，则标注A的正方形的边长为 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知∠α=76°，∠β=41°31'，求：
(1)(4分)∠β的余角。
(2)(4分)∠α的2倍与∠β的一半的差。
18.(8分)如图，已知线段AB。
(1)(4分)作图：延长AB至点C，使得BC=AB，再找出AC的中点D。
(2)(4分)根据第(1)题的图示，若AB=6 cm，求BD的长。
19.(8分)如图，射线OA的方向是北偏东15.8°，射线OB的方向是北偏西40°30'，若∠AOC=∠AOB，则射线OC的方向是北偏东多少度？
20.(8分)(1)(4分)如图1，P为线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分，已知线段AB的长为12 cm，求线段CP的长。
(2)(4分)如图2，射线OP平分∠AOB，射线OC，OD把∠AOB三等分，若∠COP=θ，求∠AOB的度数(用含θ的代数式表示)。
21.(8分)如图，O是直线AB上的一个点，从点O引两条射线OC，OD，使∠BOC，∠BOD，∠AOD的度数之比为1∶2∶3。
(1)(6分)求∠BOD的度数及∠BOC余角的度数。
(2)(2分)∠AOD与∠AOC的度数之比为 。
22.(10分)一副三角尺按如图所示的方式叠放，∠DFE=90°，∠BAC=60°，点A，F重合。为探索∠CAE与∠BAD之间的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE=30°，求得∠BAD=60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD=2∠CAE；乙：∠CAE＋∠BAD=90°；丙：∠BAD－∠CAE=30°。
(1)(4分)为验证猜想，他们再次假设∠CAE=25°，并求出∠BAD的度数，请写出求解过程。
(2)(6分)①(3分)根据(1)的结果，猜想一定错误的两位同学是 。
②(3分)剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由。
23.(10分)综合与探究。
问题情境：已知M，N分别是线段AC，BC的中点。
初步探究：(1)(2分)如图1，点C在线段AB上，且AC=9，BC=6，求线段MN的长。
问题解决：(2)(2分)若C为线段AB上任意一点，且AC=a，CB=b，求出线段MN的长(用含a，b的代数式表示)。
类比应用：(3)(3分)若点C在线段AB的延长线上，且AC=a，CB=b，请你画出图形，并直接写出线段MN的长(用含有a，b的代数式表示)。
拓展延伸：(4)(3分)如图2，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点，M为线段EB的中点，DM=m，CE=n，求线段AB的长(用含有m，n的代数式表示)。
24.(12分)以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处。
(1)(2分)如图1，若直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE= °。
(2)(4分)如图2，将直角三角形DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请判断OD是否平分∠BOC，并说明理由。
(3)(4分)以图1为初始位置，将三角形DOE绕点O以每秒5°的速度逆时针转动，当转动t秒到某个位置时(点E，D与点C在AB的同侧)，恰好有∠AOE=5∠COD，求t的值。

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