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专题1　有理数及其运算
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
题型一　有理数的分类
【典例1】 将下列各数填在相应的横线上。
－3.8，－20%，4.3，－，42，0，－，－32。
整数： ；
分数： ；
正数： ；
负数： 。
【变式1】 若m表示任意的有理数，则下列式子中，一定表示负数的是( )
A. －m B. －m2
C. －m2－1 D. －(m－1)2
题型二　数轴、相反数、绝对值、倒数
【典例2】 下列说法中，正确的是( )
A. －1的倒数是1
B. 两个数比较，绝对值大的反而小
C. －a不一定是负数
D. 符号相反的两个数互为相反数
【点悟】 (1)互为相反数的两个数的和等于0。
(2)0没有倒数。
(3)绝对值的几何意义为该数在数轴上的对应点到原点的距离。
【变式2－1】 如图，在数轴上用①，②，③，④注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是( )
变式2－1图
A.① B.② C.③ D.④
【变式2－2】 如图，数轴上每一小段的长度为1，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为a，b，c，d。
变式2－2图
(1)若a与d互为相反数，则c= 。
(2)若|b|＞|d|，则c 0(填“＞”“＜”或“=”)，此时在a，b，c，d中，可能互为相反数的是 。
题型三　有理数的大小比较
【典例3】 把32，(－2)3，0，，－(2－5)，＋(－1)表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)。
　
【变式3－1】 a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示。把a，－a，b，－b，0按照由小到大的顺序排列，正确的是( )
变式3－1图
A.－b＜－a＜0＜b＜a
B.－a＜b＜0＜－b＜a
C.－a＜－b＜0＜b＜a
D.－b＜－a＜0＜a＜b
【变式3－2】 绝对值不大于3的整数共有 个。
题型四　有理数的运算
【典例4】 计算：
(1)－12－(－4.2)；
(2)－99×36；
(3)－81÷÷(－16)；
(4)－32×。
【变式4－1】 用分配律计算，去括号后正确的是( )
A.－
B.－
C.－
D.－
【变式4－2】 计算：
(1)－12 026×(－5)＋|－4|＋；
(2)－33＋×(－24)；
(3)(－370)×＋0.25×24.5－5×(－25%)。
题型五　有理数的应用
【典例5】 某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下：
到达 地点 起点 A B C D E F G H I J
前进 方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北
所走 路程 /km 0 10 4 6 2 5 12 3 9 10 7
　　(1)J地与起点之间的距离为多少千米？
　　(2)若汽车每千米耗油0.12升。这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升(精确到0.1升)？
【变式5】 一件商品的原售价为2 000元，销售时先提价10%，再降价10%，则现在的售价与原售价相比( )
A.提高了20元 B.减少了20元
C.提高了10元 D.没有变化
题型六　近似数与科学记数法
【典例6】 某自动控制器的芯片中含有2 020 000 000 个晶体管，数据2 020 000 000用科学记数法可表示为( )
A.0.202×1010 B.2.02×109
C.20.2×108 D.2.02×1010
【点悟】 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数。在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。
【变式6】 近似数3.60×105精确到 位。
1.的倒数是( )
A.
C.－ D.－
2.在数2，－2，，－中，最小的为( )
A.－2 B. C.－ D.2
3.某市冬季中的一天，中午12时的气温是－3 ℃，经过6小时气温下降了7 ℃，那么当天18时的气温是( )
A.10 ℃ B.－10 ℃
C.4 ℃ D.－4 ℃
4.下列说法中，正确的是( )
A.有理数的绝对值一定比0大
B.有理数的相反数一定比0小
C.如果一个数的相反数与绝对值相等，那么这个数是0
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
5.若(a－2)2＋|b＋3|=0，则ab= 。
6.某电商平台元旦期间的销售额最终定格在14.3亿元。数据14.3亿用科学记数法表示为 。
7.把下列各数填入相应的横线：
－5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)，。
有理数： ；
正数： ；
负数： ；
分数： 。
8.用简便方法计算：
(1)×24；
(2)－×(－112)＋×34×23。
9.下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。
计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。
解：原式=1－÷(－11)　第1步
=1－÷(－11)　第2步
=1－　第3步
=。　第4步
(1)上述解法中，从第 步开始出现错误。
(2)请写出本题的正确解法。
10.以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示。设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O。
第10题图
(1)若点A所表示的数是－1，则点C所表示的数是 。
(2)若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值。
(3)若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值。
11.数轴上表示整数的点称为整点。某数轴以1 cm为1个单位长度，若在这个数轴上随意画出一条长为50 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是( )
A.50 B.51
C.49或50或51 D.50或51
12.计算：÷|24－(－3)2|×(－5)= 。
13.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则2 026的位置在第 行第 个。
第13题图
14.根据以下素材，探索完成任务。
哪种积分方式得分更高？
素材1 某班级利用积分制鼓励每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，下表是小明某周每天完成的情况(以10题为标准，超出记为正，少做记为负)： 时间星期一星期二星期三星期四星期五题量/道＋2－1－3＋4＋1
素材2 积分有两种计算方式： 方式A：实行固定积分制，每完成1道题奖励10积分。 方式B：实行多劳多得制，积分按日计算，每完成1道题得9积分，若当天超出10道，则超出部分每道额外得12积分；若当天不足10道，则每少1道扣5积分。
问题解决
任务1 (1)该周小明做题最多的一天比最少的一天多完成 道题。
任务2 (2)该周小明共完成多少道计算题？
任务3 (3)请判断该周用哪种积分计算方式对小明更有利(通过计算说明理由)。
15.如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为－4，C为线段AB的中点。动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒。
(1)点C表示的数是 。
(2)当t= 秒时，点P到达点A处。
(3)点P表示的数是 (用含字母t的代数式表示)。
(4)当t的值为多少时，线段PC的长为2个单位长度？
第15题图专题1　有理数及其运算
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
题型一　有理数的分类
【典例1】 将下列各数填在相应的横线上。
－3.8，－20%，4.3，－，42，0，－，－32。
整数：　42，0，－32　；
分数：　－3.8，－20%，4.3，－，－　；
正数：　4.3，42，－　；
负数：　－3.8，－20%，－，－32　。
【点悟】 整数和分数统称有理数，整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数。
【变式1】 若m表示任意的有理数，则下列式子中，一定表示负数的是(　C　)
A. －m B. －m2
C. －m2－1 D. －(m－1)2
题型二　数轴、相反数、绝对值、倒数
【典例2】 下列说法中，正确的是(　C　)
A. －1的倒数是1
B. 两个数比较，绝对值大的反而小
C. －a不一定是负数
D. 符号相反的两个数互为相反数
【点悟】 (1)互为相反数的两个数的和等于0。
(2)0没有倒数。
(3)绝对值的几何意义为该数在数轴上的对应点到原点的距离。
【变式2－1】 如图，在数轴上用①，②，③，④注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是(　C　)
变式2－1图
A.① B.② C.③ D.④
【变式2－2】 如图，数轴上每一小段的长度为1，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为a，b，c，d。
变式2－2图
(1)若a与d互为相反数，则c=　－1　。
(2)若|b|＞|d|，则c　＜　0(填“＞”“＜”或“=”)，此时在a，b，c，d中，可能互为相反数的是　c与d　。
【解析】 (2)若|b|＞|d|，则原点在BD中点的右侧，此时点C显然在原点左侧，故c＜0。
因为原点在BD中点的右侧，所以a，b，c都是负数，|a|＞|d|。
又因为|b|＞|d|，所以a和d，b和d不可能互为相反数。
而d可能是正数，当原点位于CD的中点处时，c和d互为相反数。
综上所述，在a，b，c，d中，可能互为相反数的是c和d。
题型三　有理数的大小比较
【典例3】 把32，(－2)3，0，，－(2－5)，＋(－1)表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)。
解：32=9，(－2)3=－8，，－(2－5)=3，＋(－1)=－1。
在数轴上表示如答图所示：
典例3答图
按从小到大的顺序排列为(－2)3＜＋(－1)＜0＜＜－(2－5)＜32。
　　【点悟】 (1)比较两个有理数的大小，通常使用以下法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
(2)比较多个有理数的大小，通常借助数轴，数轴上右边的数总比左边的大。
【变式3－1】 a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示。把a，－a，b，－b，0按照由小到大的顺序排列，正确的是(　B　)
变式3－1图
A.－b＜－a＜0＜b＜a
B.－a＜b＜0＜－b＜a
C.－a＜－b＜0＜b＜a
D.－b＜－a＜0＜a＜b
【解析】 由数轴得，b＜0＜a，|b|＜|a|，
所以0＜－b＜a，－a＜b＜0，
所以－a＜b＜0＜－b＜a。
【变式3－2】 绝对值不大于3的整数共有　7　个。
【解析】 绝对值不大于3的整数有－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个。
题型四　有理数的运算
【典例4】 计算：
(1)－12－(－4.2)；
(2)－99×36；
(3)－81÷÷(－16)；
(4)－32×。
解：(1)原式==－24＋11.6=－12.4。
(2)原式=×36=－3 600＋=－3 599。
(3)原式=－36×÷(－16)
=－16÷(－16)=1。
(4)原式=－9××(－15＋15)=0。
【点悟】 进行有理数的混合运算时，要注意明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行；如有括号，先进行括号里的运算。
【变式4－1】 用分配律计算，去括号后正确的是(　D　)
A.－
B.－
C.－
D.－
【变式4－2】 计算：
(1)－12 026×(－5)＋|－4|＋；
(2)－33＋×(－24)；
(3)(－370)×＋0.25×24.5－5×(－25%)。
解：(1)原式=－1×(－5)＋4－
=5＋4－
=8。
(2)原式=－27－×24＋×24－×24
=－27－16＋12－15=－46。
(3)原式=370×0.25＋0.25×24.5＋5.5×0.25
=(370＋24.5＋5.5)×0.25=400×0.25=100。
题型五　有理数的应用
【典例5】 某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下：
到达 地点 起点 A B C D E F G H I J
前进 方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北
所走 路程 /km 0 10 4 6 2 5 12 3 9 10 7
　　(1)J地与起点之间的距离为多少千米？
　　(2)若汽车每千米耗油0.12升。这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升(精确到0.1升)？
解：(1)规定向北为正，向南为负，
则路程为(＋10)＋(－4)＋(＋6)＋(＋2)＋(－5)＋(＋12)＋(－3)＋(＋9)＋(－10)＋(＋7)
=10－4＋6＋2－5＋12－3＋9－10＋7
=24(千米)。
答：J地与起点之间的距离为24千米。
(2)(10＋4＋6＋2＋5＋12＋3＋9＋10＋7)×0.12=68×0.12=8.16≈8.2(升)。
答：一共耗油8.2升。
【点悟】 (1)用正数和负数表示具有相反意义的量，列式计算。
(2)合理运用运算律，能使运算过程简便。
【变式5】 一件商品的原售价为2 000元，销售时先提价10%，再降价10%，则现在的售价与原售价相比(　B　)
A.提高了20元 B.减少了20元
C.提高了10元 D.没有变化
【解析】 2 000×(1＋10%)×(1－10%)－2 000=－20(元)，即现在的售价与原售价相比减少了20元。
题型六　近似数与科学记数法
【典例6】 某自动控制器的芯片中含有2 020 000 000 个晶体管，数据2 020 000 000用科学记数法可表示为(　B　)
A.0.202×1010 B.2.02×109
C.20.2×108 D.2.02×1010
【点悟】 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数。在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。
【变式6】 近似数3.60×105精确到　千　位。
【解析】 因为题目中3.60中0所在的数位是千位，
所以3.60×105精确到千位。
1.的倒数是(　A　)
A.
C.－ D.－
2.在数2，－2，，－中，最小的为(　A　)
A.－2 B. C.－ D.2
3.某市冬季中的一天，中午12时的气温是－3 ℃，经过6小时气温下降了7 ℃，那么当天18时的气温是(　B　)
A.10 ℃ B.－10 ℃
C.4 ℃ D.－4 ℃
4.下列说法中，正确的是(　D　)
A.有理数的绝对值一定比0大
B.有理数的相反数一定比0小
C.如果一个数的相反数与绝对值相等，那么这个数是0
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
5.若(a－2)2＋|b＋3|=0，则ab=　－6　。
6.某电商平台元旦期间的销售额最终定格在14.3亿元。数据14.3亿用科学记数法表示为　1.43×109　。
7.把下列各数填入相应的横线：
－5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)，。
有理数：　－5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)　；
正数： ，＋1.5，－(－6)，　；
负数：　－5，－30%　；
分数： ，＋1.5，－30%　。
8.用简便方法计算：
(1)×24；
(2)－×(－112)＋×34×23。
解：(1)原式=×24－×24－×24
=4－18－15
=－29。
(2)原式=×112－×34×23
==12。
9.下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。
计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。
解：原式=1－÷(－11)　第1步
=1－÷(－11)　第2步
=1－　第3步
=。　第4步
(1)上述解法中，从第　1　步开始出现错误。
(2)请写出本题的正确解法。
解：(2)原式=－1－÷(－2－9)
=－1－÷(－11)
=－1－
=－1＋
=－。
10.以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示。设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O。
第10题图
(1)若点A所表示的数是－1，则点C所表示的数是　3　。
(2)若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值。
(3)若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值。
解：(2)若点A和B所表示的数互为相反数，则原点O在刻度5的位置，
由点O表示0，1 cm代表0.5个单位长度可得，点A，B，C所表示的数分别为－1.5，1.5，2.5，
所以p=－1.5＋1.5＋2.5=2.5。
(3)因为点C，O之间的距离为4厘米，
所以点O在直尺刻度6或刻度14的位置。
①当点O在刻度6的位置时，同(2)可得点A，B，C所表示的数分别为－2，1，2，
所以p=－2＋1＋2=1；
②当点O在刻度14的位置时，同理可得点A，B，C所表示的数分别为－6，－3，－2，
所以p=－6＋(－3)＋(－2)=－11。
综上所述，p的值为1或－11。
11.数轴上表示整数的点称为整点。某数轴以1 cm为1个单位长度，若在这个数轴上随意画出一条长为50 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是(　D　)
A.50 B.51
C.49或50或51 D.50或51
【解析】 若线段AB的端点恰好与整点重合，则线段AB刚好盖住51个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住50个整点，则线段AB盖住的整点个数是50或51。
12.计算：÷|24－(－3)2|×(－5)=　－3　。
【解析】 原式=÷|24－9|×(－5)=9÷15×(－5)=－3。
13.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则2 026的位置在第　46　行第　1　个。
第13题图
【解析】 寻找规律得，前1行共有1个数，前2行共有1＋3=4=22 个数，前3行共有1＋3＋5=9=32 个数，…，前n 行共有1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)=n2 个数。
因为2 025=452，所以2 026在第46行。
又因为第46行的数从左到右依次排列，
所以2 026的位置在第46行第1个。
14.根据以下素材，探索完成任务。
哪种积分方式得分更高？
素材1 某班级利用积分制鼓励每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，下表是小明某周每天完成的情况(以10题为标准，超出记为正，少做记为负)： 时间星期一星期二星期三星期四星期五题量/道＋2－1－3＋4＋1
素材2 积分有两种计算方式： 方式A：实行固定积分制，每完成1道题奖励10积分。 方式B：实行多劳多得制，积分按日计算，每完成1道题得9积分，若当天超出10道，则超出部分每道额外得12积分；若当天不足10道，则每少1道扣5积分。
问题解决
任务1 (1)该周小明做题最多的一天比最少的一天多完成　7　道题。
任务2 (2)该周小明共完成多少道计算题？
任务3 (3)请判断该周用哪种积分计算方式对小明更有利(通过计算说明理由)。
解：(2)10×5＋(2－1－3＋4＋1)
=50＋3
=53(道)。
答：该周小明实际完成53道计算题。
(3)用方式B对小明更有利。理由如下：
方式A：53×10=530(分)；
方式B：53×9＋(2＋4＋1)×12＋(－1－3)×5
=477＋7×12－4×5
=477＋84－20
=541(分)。
因为530＜541，
所以用方式B对小明更有利。
15.如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为－4，C为线段AB的中点。动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒。
(1)点C表示的数是　1　。
(2)当t=　5　秒时，点P到达点A处。
(3)点P表示的数是　－4＋2t　(用含字母t的代数式表示)。
(4)当t的值为多少时，线段PC的长为2个单位长度？
第15题图
解：(1)[6＋(－4)]÷2=2÷2=1。
故点C表示的数是1。
(2)[6－(－4)]÷2
=10÷2
=5(秒)，
所以当t=5秒时，点P到达点A处。
(4)若点P在点C左边，
－4＋2t=1－2，
解得t=1.5；
若点P在点C右边，
－4＋2t=1＋2，
解得t=3.5。
综上所述，当t=1.5或3.5时，线段PC的长为2个单位长度。

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