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专题2　实数
题型一　平方根、算术平方根与立方根
【典例1】 已知一个正数m的平方根分别为2n＋1和4－3n。
(1)求m的值。
(2)若|a－1|＋(b－n)2=0，则a＋b的平方根是多少？
解：(1)因为正数m的平方根为2n＋1和4－3n，正数m的平方根互为相反数，
所以2n＋1＋4－3n=0，
所以n=5，
所以2n＋1=11，
所以m=112=121。
(2)因为|a－1|＋(b－n)2=0，
所以a－1=0，b－n=0，
所以a=1，b=n=5，
所以a＋b=1＋5=6，
所以a＋b的平方根是±。
【点悟】 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
【变式1－1】 下列说法中，正确的是(　C　)
A.27的立方根是±3
B.的平方根是±4
C.100的算术平方根是10
D.立方根等于平方根的数只有1
【变式1－2】 已知2x＋2和x－5是一个正数的平方根，则x=　－7或1　。
【解析】 由题意，得2x＋2=x－5或2x＋2＋x－5=0，
解得x=－7或x=1。
【变式1－3】 已知2a－1的平方根是±3，4a＋2b＋1的立方根是3，求a－b的算术平方根。
解：因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1=9，所以a=5。
又因为4a＋2b＋1的立方根是3，
所以4×5＋2b＋1=27，
所以b=3，
所以a－b=5－3=2，
所以a－b的算术平方根是。
题型二　实数的概念与分类
【典例2】 下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类：－，0，0.3，，18，，1.21，3.141 59，1.21，，－。
(1)请你帮他们填空：
有理数：　0，0.3，，18，，1.21，3.141 59，1.21，　；
无理数：　－，－　；
自然数：　0，18，　。
王老师评讲的时候说，每一个无限循环小数都属于有理数，而且都可以化为分数。比如将0.3化为分数：设x=0.3，则10x=3.3，10x－x=3，所以x=，即0.3=。
(2)将1.21化为分数，即1.21= 　。
【点悟】 (1)实数分为有理数和无理数。有理数分为整数和分数；无理数是无限不循环小数，分为正无理数和负无理数。
(2)无理数的三种常见形式：①开方开不尽的数；②特殊结构的数；③含π的数。
【变式2－1】 下列实数中，属于无理数的是(　D　)
A.－2 B.
C.
【变式2－2】 有下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的。
②无理数是开方开不尽的数。
③负数没有立方根。
④16的平方根是±4，用式子表示为=±4。
⑤若某数的绝对值、相反数、平方根都是它本身，则这个数是0。
其中正确的是(　D　)
A.①② B.②④
C.③④ D.①⑤
题型三　实数的相反数、倒数与绝对值
【典例3】 求下列各数的相反数与绝对值。
2.5，－，－－2，0。
解：它们的相反数分别为－2.5，，2－，0。
它们的绝对值分别为2.5，，2－，0。
【点悟】 实数a的相反数是－a；正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数。
【变式3－1】 下列说法中，错误的是(　C　)
A.－的相反数是
B.－3的绝对值是3－
C.－2的倒数与的算术平方根相等
D.－343的立方根是－7
【变式3－2】 (1)相反数等于它本身的数是　0　；
(2)倒数等于它本身的数是　±1　；
(3)平方根等于它本身的数是　0　；
(4)算术平方根等于它本身的数是　0和1　；
(5)立方根等于它本身的数是　±1和0　。
题型四　实数的估算与大小比较
【典例4】 在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足(a－10)2＋|b－|=0。
(1)x表示a＋b的整数部分，y表示a＋b的小数部分，则x=　11　，y= －1　。
(2)点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC。若在数轴上有一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数。
解：(1)因为(a－10)2＋|b－|=0，
所以a=10，b=，
所以a＋b=10＋。
因为1＜3＜4，所以1＜＜2，
所以1＋10＜＋10＜2＋10，
即11＜10＋＜12，
所以a＋b的整数部分为11，即x=11，a＋b的小数部分为10＋－11=－1，即y=－1。
(2)设点C在数轴上表示的数为c。
分情况讨论：
①当点C在AB 的延长线上时，BC=－c，AC=10－c。
又因为AC=2BC，
所以10－c=2，
所以c=2－10；
②当点C在AB之间时，BC=c－，AC=10－c。
又因为AC=2BC，
所以10－c=2(c－)，
所以c=。
综上所述，点C所表示的数为2－10或。
【点悟】 实数比较大小的方法有：
(1)依据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数相比较，绝对值大的数大；两个负数相比较，绝对值大的数反而小”来比较大小。
(2)数形结合法：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
(3)平方法：对任意正实数a，b，a2＞b2 a＞b。
(4)作差法：对任意实数a，b，a－b＞0 a＞b；a－b＜0 a＜b。
【变式4－1】 数轴上A，B，C，D，E五个点的位置如图所示，则表示实数的点在(　C　)
变式4－1图
A.点A与点B之间 B.点B与点C之间
C.点C与点D之间 D.点D与点E之间
【解析】 因为0.72=0.49＞0.4＞0.36=0.62，所以表示实数的点在点C与点D之间。
【变式4－2】 (1)比较大小：和0.5。
(2)根据(1)的结论计算：
。
解：(1)－0.5=。
因为5＞4，所以＞2，所以＞0，
所以＞0.5。
(2)因为＞0.5＞0.4，
所以原式=－0.5－－0.5－＋0.4
=－0.1。
题型五　实数的运算
【典例5】 计算：
＋|1－|＋。
解：原式=7－3＋－1＋。
【点悟】 实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左至右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
【变式5－1】 若有理数a，b满足(a－2)＋b－3=0，则ab的平方根是　±　。
【变式5－2】 计算：
(1)－|1－|＋；
(2)(－2)2－；
(3)2(x－1)3＋16=0，求x的值；
(4)(3x＋2)2－4=4，求x的值。
解：(1)原式=5－＋1－2－2
=2－。
(2)原式=4－－3
=－。
(3)2(x－1)3＋16=0，
2(x－1)3=－16，
(x－1)3=－8，
x－1=－2，
x=－1。
(4)(3x＋2)2－4=4，
(3x＋2)2=8，
(3x＋2)2=16，
3x＋2=4或3x＋2=－4，
x=或x=－2。
1.在实数，－3，0，，3.141 5，π，，2.121 221 222 1…(两个“1”之间依次多一个“2”)中，无理数的个数是(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.在实数－2，0，，2中，属于负数的是(　A　)
A.－2 B.0 C. D.2
3.在1，－2，0，这四个数中，最大的是(　D　)
A.1 B.－2 C.0 D.
4.满足m＞|－1|的整数m的值可能是(　A　)
A.3 B.2 C.1 D.0
5.在下列等式中，正确的是(　D　)
A. =± B. =－1
C. =－3 D.
6.若两个连续的整数a，b满足a＜＜b，则的值为 　。
7.的相反数是 　，绝对值是 　。
8.计算：
(1)－22＋23× ；
(2)×(3＋)－2＋|－3|；
(3)|2－|－16＋× 。
解：(1)原式=－4＋8×－(－3)
=－4＋2＋3=1。
(2)原式=2×(3＋)－2＋3
=6＋2－2＋3
=9。
(3)原式=－2－1＋4×
=－8。
9.已知3a＋1的两个平方根分别是7－m和2－2m，9＋b的立方根是2。求：
(1)m，a，b的值。
(2)7a－b的平方根。
解：(1)根据题意可知，3a＋1的两个平方根分别是7－m和2－2m，
所以7－m=－(2－2m)，
7－m=－2＋2m，
3m=9，解得m=3，
所以3a＋1=(7－m)2=(7－3)2=16，
解得a=5。
因为9＋b的立方根是2，
所以9＋b=23，解得b=－1，
故m，a，b的值分别是3，5，－1。
(2)因为a=5，b=－1，
所以7a－b=7×5－(－1)=36。
又因为36的平方根为±6，
所以7a－b的平方根为±6。
10.用篱笆在空地上围成一个绿化场地，使其面积为48 m2，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地。试问：选用哪一种方案围成的场地所需的篱笆短？请说明理由。
解：围成圆形场地所需的篱笆短。理由如下：
若围成正方形场地，则正方形的边长为≈6.9(m)，
所以正方形的周长为4×6.9=27.6(m)；
若围成圆形场地，则圆的半径为≈3.9(m)，
所以圆的周长为2π×3.9≈24.5(m)。
24.5＜27.6。
答：选用圆形场地所需的篱笆短。
11.如图，A，B是数轴上两点，AB=2，点B在点A的右侧，点A表示的数为－，设点B表示的数为m。
(1)实数m的值是　－＋2　。
(2)求|m－2|－|1－m|的值。
(3)在数轴上C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋4|与(d－4)2互为相反数，求2c＋5d的平方根。
第11题图
解：(2)由数轴可知，0＜m＜1，
所以m－2＜0，1－m＞0，
所以|m－2|－|1－m|=2－m－(1－m)=2－m－1＋m=1。
(3)由|2c＋4|与(d－4)2互为相反数，可得|2c＋4|＋(d－4)2=0。
又因为|2c＋4|， (d－4)2均为非负数，
所以2c＋4=0且d－4=0，即c=－2，d=4，
所以2c＋5d=2×(－2)＋5×4=－4＋20=16。
又因为16的平方根为±4，
所以2c＋5d的平方根为±4。
12.下列说法中，正确的是(　C　)
A.两个无理数的和一定是无理数
B.两个无理数的积一定是无理数
C.有理数与无理数的和一定是无理数
D.有理数与无理数的积一定是无理数
13.如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点P和点Q(点P在点Q的右侧)，则点Q表示的数为　1－　。
第13题图
【解析】 由网格图，易知阴影正方形的面积是9－4××2×1=5，
则正方形的边长AB=。
又因为点B表示数1，BQ=AB=，
所以点Q表示的数是1－。
14.如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数。已知2a＋9是27的立方根。
第14题图
(1)求a，b的值及线段AB的长。
(2)点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x。
①请用含x的代数式表示线段BP的长。
②当x取何值时，BP=2AP？
解：(1)因为2a＋9是27的立方根，
所以2a＋9==3，则a=－3。
因为a，b互为相反数，
所以b=－a=3，
所以AB=3－(－3)=6。
(2)①因为点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x，
所以线段BP=3－x。
②当点P在点A右侧时，
AP=x－(－3)=x＋3。
因为BP=2AP，
所以3－x=2(x＋3)，解得x=－1；
当点P在点A左侧时，
AP=－3－x。
因为BP=2AP，
所以3－x=2(－3－x)，解得x=－9。
综上所述，当x=－1或－9时，BP=2AP。
15.(1)若=m＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，则m=　2　，n= －2　。
(2)若8－a=b－，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a＋b|－(b－1)的值。
(3)若2－=p＋q，其中p是整数，且0＜q＜1，求p－q的值。
解：(2)因为8－a=b－，
所以=a＋b－8。
因为5＜＜6，a是整数，且0＜b＜1，
所以a－8=5，b=－5，
所以a=13，
所以|a＋b|－(b－1)
=13＋－5－＋5＋1
=14。
(3)因为2＜＜3，
所以－3＜－＜－2，
所以－1＜2－＜0，
所以p=－1，
所以2－=－1＋q，
所以q=3－，
所以p－q=－1－3＋－4。
16.在期末复习的过程中，七(1)班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧。
(1)若一个数x的立方等于－8，请求出x的值。
(2)请利用整体思想和方程思想进行解题。
①若(1)中的x的值也是关于x的一元一次方程x－3=5x－p的解，则关于y的一元一次方程(y－8)－3=5(y－8)－p的解为y=　6　。
②在如图1所示的图形中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形的四个顶点上的数字之和相等，现将①中x，y的值填入如图所示的位置，则(a－b)＋(d－c)的值是多少？
第16题图1
(3)在(2)的条件下，在如图2所示的数轴上，将x，y所表示的数的对应点分别记作A，B。已知点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动；点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在A，B两点之间做往返运动。P，Q两点同时开始运动，当点Q第一次返回到点B时，两点同时停止运动。若记数轴的原点为O，则点P运动几秒后OQ=2OP？
第16题图2
解：(1)因为(－2)3=－8，
所以x=－2。
(2)①由题意，得方程x－3=5x－p的解为x=－2，
利用整体思想，得方程(y－8)－3=5(y－8)－p中y－8=－2，解得y=6。
②因为每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形的四个顶点上的数字之和相等，而x=－2，y=6，
所以a－2＋m=b＋6＋m，d＋n－2=c＋6＋n，即a－b=6＋m＋2－m=8，d－c=6＋n－n＋2=8，
所以(a－b)＋(d－c)=8＋8=16。
(3)设运动时间为t秒。分两种情况讨论：
①当0≤t≤2时，OP=2－t，OQ=|6－4t|，
所以|6－4t|=2(2－t)，解得t=1或；
②当2＜t≤4时，OP=t－2，OQ=|－2＋4(t－2)|=|4t－10|，
所以|4t－10|=2(t－2)，解得t=3或。
综上所述，点P运动1秒或秒或秒或3秒后OQ=2OP。专题2　实数
题型一　平方根、算术平方根与立方根
【典例1】 已知一个正数m的平方根分别为2n＋1和4－3n。
(1)求m的值。
(2)若|a－1|＋(b－n)2=0，则a＋b的平方根是多少？
【变式1－1】 下列说法中，正确的是( )
A.27的立方根是±3
B.的平方根是±4
C.100的算术平方根是10
D.立方根等于平方根的数只有1
【变式1－2】 已知2x＋2和x－5是一个正数的平方根，则x= 。
【变式1－3】 已知2a－1的平方根是±3，4a＋2b＋1的立方根是3，求a－b的算术平方根。
题型二　实数的概念与分类
【典例2】 下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类：－，0，0.3，，18，，1.21，3.141 59，1.21，，－。
(1)请你帮他们填空：
有理数： ；
无理数： ；
自然数： 。
王老师评讲的时候说，每一个无限循环小数都属于有理数，而且都可以化为分数。比如将0.3化为分数：设x=0.3，则10x=3.3，10x－x=3，所以x=，即0.3=。
(2)将1.21化为分数，即1.21= 。
【变式2－1】 下列实数中，属于无理数的是( )
A.－2 B.
C.
【变式2－2】 有下列说法：
①实数和数轴上的点是一一对应的。
②无理数是开方开不尽的数。
③负数没有立方根。
④16的平方根是±4，用式子表示为=±4。
⑤若某数的绝对值、相反数、平方根都是它本身，则这个数是0。
其中正确的是( )
A.①② B.②④
C.③④ D.①⑤
题型三　实数的相反数、倒数与绝对值
【典例3】 求下列各数的相反数与绝对值。
2.5，－，－－2，0。
【变式3－1】 下列说法中，错误的是( )
A.－的相反数是
B.－3的绝对值是3－
C.－2的倒数与的算术平方根相等
D.－343的立方根是－7
【变式3－2】 (1)相反数等于它本身的数是 ；
(2)倒数等于它本身的数是 ；
(3)平方根等于它本身的数是 ；
(4)算术平方根等于它本身的数是 ；
(5)立方根等于它本身的数是 。
题型四　实数的估算与大小比较
【典例4】 在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足(a－10)2＋|b－|=0。
(1)x表示a＋b的整数部分，y表示a＋b的小数部分，则x= ，y= 。
(2)点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC。若在数轴上有一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数。
【变式4－1】 数轴上A，B，C，D，E五个点的位置如图所示，则表示实数的点在( )
变式4－1图
A.点A与点B之间 B.点B与点C之间
C.点C与点D之间 D.点D与点E之间
【变式4－2】 (1)比较大小：和0.5。
(2)根据(1)的结论计算：
。
题型五　实数的运算
【典例5】 计算：
＋|1－|＋。
【变式5－1】 若有理数a，b满足(a－2)＋b－3=0，则ab的平方根是 。
【变式5－2】 计算：
(1)－|1－|＋；
(2)(－2)2－；
(3)2(x－1)3＋16=0，求x的值；
(4)(3x＋2)2－4=4，求x的值。
1.在实数，－3，0，，3.141 5，π，，2.121 221 222 1…(两个“1”之间依次多一个“2”)中，无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.在实数－2，0，，2中，属于负数的是( )
A.－2 B.0 C. D.2
3.在1，－2，0，这四个数中，最大的是( )
A.1 B.－2 C.0 D.
4.满足m＞|－1|的整数m的值可能是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
5.在下列等式中，正确的是( )
A. =± B. =－1
C. =－3 D.
6.若两个连续的整数a，b满足a＜＜b，则的值为 。
7.的相反数是 ，绝对值是 。
8.计算：
(1)－22＋23× ；
(2)×(3＋)－2＋|－3|；
(3)|2－|－16＋× 。
9.已知3a＋1的两个平方根分别是7－m和2－2m，9＋b的立方根是2。求：
(1)m，a，b的值。
(2)7a－b的平方根。
10.用篱笆在空地上围成一个绿化场地，使其面积为48 m2，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地。试问：选用哪一种方案围成的场地所需的篱笆短？请说明理由。
11.如图，A，B是数轴上两点，AB=2，点B在点A的右侧，点A表示的数为－，设点B表示的数为m。
(1)实数m的值是 。
(2)求|m－2|－|1－m|的值。
(3)在数轴上C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋4|与(d－4)2互为相反数，求2c＋5d的平方根。
第11题图
12.下列说法中，正确的是( )
A.两个无理数的和一定是无理数
B.两个无理数的积一定是无理数
C.有理数与无理数的和一定是无理数
D.有理数与无理数的积一定是无理数
13.如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点P和点Q(点P在点Q的右侧)，则点Q表示的数为 。
第13题图
14.如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数。已知2a＋9是27的立方根。
第14题图
(1)求a，b的值及线段AB的长。
(2)点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x。
①请用含x的代数式表示线段BP的长。
②当x取何值时，BP=2AP？
15.(1)若=m＋n，其中m是整数，且0＜n＜1，则m= ，n= 。
(2)若8－a=b－，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a＋b|－(b－1)的值。
(3)若2－=p＋q，其中p是整数，且0＜q＜1，求p－q的值。
16.在期末复习的过程中，七(1)班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧。
(1)若一个数x的立方等于－8，请求出x的值。
(2)请利用整体思想和方程思想进行解题。
①若(1)中的x的值也是关于x的一元一次方程x－3=5x－p的解，则关于y的一元一次方程(y－8)－3=5(y－8)－p的解为y= 。
②在如图1所示的图形中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形的四个顶点上的数字之和相等，现将①中x，y的值填入如图所示的位置，则(a－b)＋(d－c)的值是多少？
第16题图1
(3)在(2)的条件下，在如图2所示的数轴上，将x，y所表示的数的对应点分别记作A，B。已知点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动；点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在A，B两点之间做往返运动。P，Q两点同时开始运动，当点Q第一次返回到点B时，两点同时停止运动。若记数轴的原点为O，则点P运动几秒后OQ=2OP？
第16题图2

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