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专题3　代数式
题型一　列代数式
【典例1】 已知O，A，B，C四点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，且AC=1，OA=OB。若点C表示的数为x，则点B所表示的数为(　B　)
典例1图
A.－(x＋1) B.－(x－1)
C.x＋1 D.x－1
【解析】 因为AC=1，点C表示的数为x，
所以点A表示的数为x－1。
因为O为原点，OA=OB，所以点B表示的数为－(x－1)。
【点悟】 列代数式时，在语言叙述的数量关系中，先读到的一般应先写，不同级的运算中，若要优先低级运算，则要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来。
【变式1－1】 如图，在数轴上从左往右依次有四点A，B，C，D，对应的数分别为a，b，c，d，且C为AD的中点，BD=2AB。若3b＋c＋d=5，则a=　2－d　(用只含d的代数式表示)。
变式1－1图
【解析】 因为C为AD的中点，
所以c=，即a＋d=2c。
又因为BD=2AB，所以d－b=2(b－a)，即d=3b－2a。
又因为3b＋c＋d=5，所以d=－3b－c＋5，
两式相加，得2d=－2a－c＋5，
所以c=－2a－2d＋5，
则a＋d=2(－2a－2d＋5)，
整理，得a=2－d。
【变式1－2】 九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成(如图1)，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环(如图2)，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，整个九连环的宽度为b，则一个圆环的直径可以表示为 　(用含a，b的代数式表示)。
变式1－2图
题型二　求代数式的值
【典例2】 如果代数式4y2－2y＋5的值为1，那么代数式2y2－y＋1的值为(　A　)
A.－1 B.2 C.3 D.4
【解析】 因为4y2－2y＋5=1，
所以4y2－2y=－4，所以2y2－y=－2，
所以2y2－y＋1=－2＋1=－1。
【点悟】 求代数式的值常用的有两种方法：
(1)直接代入法；
(2)整体代入法。
【变式2－1】 已知x=2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值为　21　。
【解析】 因为x=2y＋3，所以x－2y=3，所以4x－8y＋9=4(x－2y)＋9=4×3＋9=21。
【变式2－2】 如果当x=2时，代数式ax3＋bx＋4的值为8，那么当x=－2时，这个代数式的值为　0　。
【解析】 当x=2时，原式=8a＋2b＋4=8，即8a＋2b=4。
当x=－2时，原式=－8a－2b＋4=－(8a＋2b)＋4=－4＋4=0。
题型三　整式的有关概念
【典例3】 下列说法中，正确的是(　B　)
A.单项式的系数是，次数是4
B.单项式－xy2z的系数是－1，次数是4
C.单项式m的次数是1，没有系数
D.2x2＋xy2＋3是二次多项式
【解析】 单项式的系数是，次数是3，A错误。
B正确。
单项式m的次数是1，系数是1，C错误。
2x2＋xy2＋3是三次多项式，D错误。故选B。
【点悟】 (1)在确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键。注意π是数，应作为系数；确定系数时要带上符号。
(2)几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数。
【变式3】 下列说法中，正确的是(　C　)
A.单项式是整式，整式也是单项式
B.25与x5是同类项
C.单项式－πx3y的系数是－π，次数是4
D.＋2是一次多项式
题型四　同类项
【典例4】 已知2xn＋1y3与x4y3是同类项，则n的值是(　B　)
A.2 　B.3 C.4 D.5
【点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项。注意同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。还要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关。
【变式4】 下列各组中的两项，属于同类项的是(　D　)
A.a与－a2 B.x2y3z与－x2y3
C.x2与y2 D.yx2与－5x2y
题型五　整式的加减
【典例5】 化简：
(1)3ab－4a＋2ab－5a；
(2)2(a2－ab)－3。
解：(1)原式=(3＋2)ab－(4＋5)a=5ab－9a。
(2)原式=2a2－2ab－2a2＋3ab=ab。
【点悟】 应用整式的加减进行化简求值，一般先去括号，再合并同类项，最后代入求值。若从已知条件中无法求出字母的值，则应观察已知条件与所要求值的代数式之间的关系，尝试通过整体代入的方法解决问题。
【变式5－1】 化简：
(1)4(2a2－b)－(2b－3a2)－2(a2－2b)；
(2)－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn]。
解：(1)原式=8a2－4b－2b＋3a2－2a2＋4b
=9a2－2b。
(2)原式=－2mn＋6m2－(m2－5mn＋5m2＋2mn)
=－2mn＋6m2－(6m2－3mn)
=－2mn＋6m2－6m2＋3mn
=mn。
【变式5－2】 先化简，再求值：2(2xy2－3x2y2)－3(－2x2y2＋xy2)，其中x=25，|y＋2|=0。
解：原式=4xy2－6x2y2＋6x2y2－3xy2
=xy2。
因为|y＋2|=0，
所以y=－2。
当x=25，y=－2时，原式=25×(－2)2=100。
【变式5－3】 已知m，x，y满足：①(x－5)2＋|m＋1|=0；②－2aby＋1与4ab5是同类项。求代数式(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)的值。
解：因为(x－5)2＋|m＋1|=0，所以x=5，m=－1。
因为－2aby＋1与4ab5是同类项，所以y=4，
所以(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)=2x2－3xy＋y2＋x2－xy＋y2=3x2－4xy＋2y2
=3×52－4×5×4＋2×42
=75－80＋32
=27。
题型六　规律探索型问题
【典例6】 如图，某校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小红在图书馆看书时，思索了一会儿，在电脑上输入密码，顺利地连接到了图书馆的无线网络。那么她输入的密码是　404888　。
典例6图
【解析】 通过观察发现，密码第一个两位数是5×8=40，第二个两位数是6×8=48，第三个两位数是40＋48=88，由此可得密码为404888。
【变式6】 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15……我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角堆垛(如图所示，顶层有1个球，下一层有3个球，再下一层有6个球)。若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为(　B　)
变式6图
A.55 B.220 C.285 D.385
【解析】 第1层：1；
第2层：3=1＋2；
第3层：6=1＋2＋3；
第4层：10=1＋2＋3＋4；
第5层：15=1＋2＋3＋4＋5；
……
所以第n层的“三角形数”为，
所以若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为1＋3＋6＋…＋55=220。
1.下列选项中的量不能用“0.9a”表示的是(　A　)
A.一条边长为a，且这条边上的高线长为0.9的三角形的面积
B.原价为a元/千克的商品打九折后的售价
C.以0.9千米/分的速度匀速行驶a分钟所经过的路程
D.一本书共a页，看了整本书的后剩下的页数
2.下列各组整式中，次数相同的一组是(　D　)
A.2t与t2 B.2t与t(t＋2)
C.t2与t＋2 D.2t与t
3.若a＞3，则化简的结果是(　A　)
A.3 B.－3
C.2a－3 D.2a＋3
4.下列说法中，正确的是(　B　)
A.－a既是单项式，也是多项式
B.x＋＋1不是多项式
C.－a表示负数
D.的系数是3a
5.如果代数式－2a＋3b＋8的值为18，那么代数式9b－6a＋2的值为(　C　)
A.28 B.－28 C.32 D.－32
【解析】 因为－2a＋3b＋8=18，所以－2a＋3b=10，
所以9b－6a＋2=3(－2a＋3b)＋2=3×10＋2=32。
6.若2xm－1y2与x2yn＋1是同类项，则m＋n=　4　。
【解析】 由题意，得m－1=2，n＋1=2，两式相加，得m＋n=4。
7.某工厂第一年的产值为a万元，第二年的产值增加了x%，则第二年的产值为　(1＋x%)a　万元。
8.先化简，再求值：
(1)2(a2b－ab)－3，其中a=，b=2；
(2)2－4ab＋a2，其中a=，b=－1；
(3)4[x2－2(y2＋xy－2)]＋2(x2＋2y2)，其中(x＋2)2＋|y＋3|=0。
解：(1)原式=2a2b－2ab－3a2b＋2ab=－a2b。
当a=，b=2时，原式=－()2×2=－6。
(2)原式=6ab－a2－4ab＋a2=2ab。
当a=，b=－1时，原式=2××(－1)=－1。
(3)原式=4(x2－2y2－2xy＋4)＋2x2＋4y2
=4x2－8y2－8xy＋16＋2x2＋4y2
=6x2－4y2－8xy＋16。
因为(x＋2)2＋|y＋3|=0，
所以x＋2=0，y＋3=0，解得x=－2，y=－3。
当x=－2，y=－3时，原式=6×(－2)2－4×(－3)2－8×(－2)×(－3)＋16=－44。
9.已知代数式A=2x2＋3xy＋2y－1，B=x2－xy＋x－。
(1)当x=y=－2时，求A－2B的值。
(2)若A－2B的值与x的取值无关，求y的值。
解：(1)A－2B=2x2＋3xy＋2y－1－2
=2x2＋3xy＋2y－1－2x2＋2xy－2x＋1
=5xy＋2y－2x，
当x=y=－2时，
A－2B=5xy＋2y－2x
=5×(－2)×(－2)＋2×(－2)－2×(－2)
=20。
(2)由(1)可知A－2B=5xy＋2y－2x=(5y－2)x＋2y，
若A－2B的值与x的取值无关，则5y－2=0，
解得y=。
10.小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题：
第10题图
(1)设小桂出生的月份为x，人口数为y，用含x，y的代数式表示小桂所说的结果。
(2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份和他家的人口数。
解：(1)由题意得，小桂所说的结果为5(2x＋10)＋y。
(2)由题意得，5(2x＋10)＋y=123，
整理，得10x＋y=73。
因为x的取值为1到12的整数，y的取值为1到9的整数，
所以y=3，则10x＋3=73，解得x=7。
答：小桂是7月份出生的，他家的人口数为3。
11.如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为(　D　)
第11题图
A.220 B.232
C.242 D.252
【解析】 观察图形知，左上角(即a所在位置)的数是1，2，3，…；左下角(即b所在位置)的数是1＋1，2＋1，3＋1，…；右上角(即22所在位置)的数是2×(1＋1)，2×(2＋1)，2×(3＋1)，…；右下角(即x所在位置)的数是(4－1)×(2＋1)，(6－1)×(3＋1)，(8－1)×(4＋1)，…。
因为22=2×11=2×(10＋1)，
所以a=10，b=11，
所以x=(22－1)×(11＋1)=252。
12.有7个如图1的边长分别为a，b的小长方形，拼成如图2的大长方形。
第12题图
(1)观察图2，请你写出a，b满足的等量关系(用含a的代数式表示b)。
(2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示(小长方形都呈水平或竖直摆放)，图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。
①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1，m2，试求的值。
②若a=3，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和。
解：(1)由题可知4a=3b，所以b=a。
(2)①阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1=4b，
m2=2(3a＋b＋2a)=10a＋2b，
所以。
②阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和=(3a＋2b)(2a＋b)－7ab。
若a=3，则b=a=4。
将a=3，b=4代入，得(3a＋2b)(2a＋b)－7ab
=(9＋8)×(6＋4)－7×3×4=86，
所以阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和为86。
13.“数形结合”是一种把“数”与“图形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题的数学思想。例如，在“数”的层面，|x－2|表示x与2的差的绝对值，而在“形”的层面，|x－2|则表示x与2两数在数轴上所对应的点之间的距离。进一步地，|x－1|＋|x＋2|可理解为在数轴上x对应的点到1和－2所对应的点的距离之和。请根据以上知识，结合数轴解决以下问题：
【新知演练】(1)|x－3|可理解为　x　与　3　在数轴上所对应的两点之间的距离。
(2)若|x＋3|=3，则x的值为　－6或0　。
【问题解决】(3)①|x－3|＋|x＋2|的最小值是　5　。
②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值为　8　。
【拓展应用】(4)如图，在一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米。A小区有居民3 000人，B小区有居民2 000人，C小区有居民1 000人。现因防疫需求，要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本。若流感样本的运输和包装成本为每千米10元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低？最低成本是多少？
第13题图
解：(3)②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|表示在数轴上x对应的点分别与－3，－6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，利用数轴，容易得出，当x表示－3时，这个距离之和取最小值，此时，|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的值为2－(－6)=8，而当x≠－3时，这个距离之和都会比8更大，即当x≠－3时，|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|＞8，则|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值是8。
(4)以市民广场O为原点，A，B，C分别为－5，1，3建立数轴，设实验室P对应的数字为x，
总运输和包装成本为30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|，易知－5≤x≤3时，总成本可能取到最小值，
当1＜x≤3时，30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|=30(x＋5)＋20(x－1)－10(x－3)=(40x＋160)元，
当－5≤x≤1时，30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|=30(x＋5)－20(x－1)－10(x－3)=200(元)。
因为1＜x≤3，
所以40x＋160＞200，
则当实验室建在A，B之间(包含点A，B)时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是200元。专题3　代数式
题型一　列代数式
【典例1】 已知O，A，B，C四点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，且AC=1，OA=OB。若点C表示的数为x，则点B所表示的数为( )
典例1图
A.－(x＋1) B.－(x－1)
C.x＋1 D.x－1
【变式1－1】 如图，在数轴上从左往右依次有四点A，B，C，D，对应的数分别为a，b，c，d，且C为AD的中点，BD=2AB。若3b＋c＋d=5，则a= (用只含d的代数式表示)。
变式1－1图
【变式1－2】 九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成(如图1)，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环(如图2)，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，整个九连环的宽度为b，则一个圆环的直径可以表示为 (用含a，b的代数式表示)。
变式1－2图
题型二　求代数式的值
【典例2】 如果代数式4y2－2y＋5的值为1，那么代数式2y2－y＋1的值为( )
A.－1 B.2 C.3 D.4
【变式2－1】 已知x=2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值为 。
【变式2－2】 如果当x=2时，代数式ax3＋bx＋4的值为8，那么当x=－2时，这个代数式的值为 。
题型三　整式的有关概念
【典例3】 下列说法中，正确的是( )
A.单项式的系数是，次数是4
B.单项式－xy2z的系数是－1，次数是4
C.单项式m的次数是1，没有系数
D.2x2＋xy2＋3是二次多项式
【变式3】 下列说法中，正确的是( )
A.单项式是整式，整式也是单项式
B.25与x5是同类项
C.单项式－πx3y的系数是－π，次数是4
D.＋2是一次多项式
题型四　同类项
【典例4】 已知2xn＋1y3与x4y3是同类项，则n的值是( )
A.2 　B.3 C.4 D.5
【点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项。注意同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。还要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关。
【变式4】 下列各组中的两项，属于同类项的是( )
A.a与－a2 B.x2y3z与－x2y3
C.x2与y2 D.yx2与－5x2y
题型五　整式的加减
【典例5】 化简：
(1)3ab－4a＋2ab－5a；
(2)2(a2－ab)－3。
【变式5－1】 化简：
(1)4(2a2－b)－(2b－3a2)－2(a2－2b)；
(2)－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn]。
【变式5－2】 先化简，再求值：2(2xy2－3x2y2)－3(－2x2y2＋xy2)，其中x=25，|y＋2|=0。
【变式5－3】 已知m，x，y满足：①(x－5)2＋|m＋1|=0；②－2aby＋1与4ab5是同类项。求代数式(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)的值。
题型六　规律探索型问题
【典例6】 如图，某校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小红在图书馆看书时，思索了一会儿，在电脑上输入密码，顺利地连接到了图书馆的无线网络。那么她输入的密码是 。
典例6图
【变式6】 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15……我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角堆垛(如图所示，顶层有1个球，下一层有3个球，再下一层有6个球)。若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为( )
变式6图
A.55 B.220 C.285 D.385
1.下列选项中的量不能用“0.9a”表示的是( )
A.一条边长为a，且这条边上的高线长为0.9的三角形的面积
B.原价为a元/千克的商品打九折后的售价
C.以0.9千米/分的速度匀速行驶a分钟所经过的路程
D.一本书共a页，看了整本书的后剩下的页数
2.下列各组整式中，次数相同的一组是( )
A.2t与t2 B.2t与t(t＋2)
C.t2与t＋2 D.2t与t
3.若a＞3，则化简的结果是( )
A.3 B.－3
C.2a－3 D.2a＋3
4.下列说法中，正确的是( )
A.－a既是单项式，也是多项式
B.x＋＋1不是多项式
C.－a表示负数
D.的系数是3a
5.如果代数式－2a＋3b＋8的值为18，那么代数式9b－6a＋2的值为( )
A.28 B.－28 C.32 D.－32
6.若2xm－1y2与x2yn＋1是同类项，则m＋n= 。
7.某工厂第一年的产值为a万元，第二年的产值增加了x%，则第二年的产值为 万元。
8.先化简，再求值：
(1)2(a2b－ab)－3，其中a=，b=2；
(2)2－4ab＋a2，其中a=，b=－1；
(3)4[x2－2(y2＋xy－2)]＋2(x2＋2y2)，其中(x＋2)2＋|y＋3|=0。
9.已知代数式A=2x2＋3xy＋2y－1，B=x2－xy＋x－。
(1)当x=y=－2时，求A－2B的值。
(2)若A－2B的值与x的取值无关，求y的值。
10.小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题：
第10题图
(1)设小桂出生的月份为x，人口数为y，用含x，y的代数式表示小桂所说的结果。
(2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份和他家的人口数。
11.如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为( )
第11题图
A.220 B.232
C.242 D.252
12.有7个如图1的边长分别为a，b的小长方形，拼成如图2的大长方形。
第12题图
(1)观察图2，请你写出a，b满足的等量关系(用含a的代数式表示b)。
(2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示(小长方形都呈水平或竖直摆放)，图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。
①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1，m2，试求的值。
②若a=3，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和。
13.“数形结合”是一种把“数”与“图形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题的数学思想。例如，在“数”的层面，|x－2|表示x与2的差的绝对值，而在“形”的层面，|x－2|则表示x与2两数在数轴上所对应的点之间的距离。进一步地，|x－1|＋|x＋2|可理解为在数轴上x对应的点到1和－2所对应的点的距离之和。请根据以上知识，结合数轴解决以下问题：
【新知演练】(1)|x－3|可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离。
(2)若|x＋3|=3，则x的值为 。
【问题解决】(3)①|x－3|＋|x＋2|的最小值是 。
②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值为 。
【拓展应用】(4)如图，在一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米。A小区有居民3 000人，B小区有居民2 000人，C小区有居民1 000人。现因防疫需求，要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本。若流感样本的运输和包装成本为每千米10元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低？最低成本是多少？
第13题图

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