资源简介

1.1　集　合
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于(　　)
A.{0，1，2} B.{1，2，8}
C.{2，8} D.{0，1}
2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于(　　)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.
3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　)
A.1 B.0 C.2 D.0或1
5.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a等于(　　)
A.2 B.1 C. D.-1
6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{2，3} D.[2，3]
7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　)
A.A∩B=
B.A (A∪B)
C.( UA)∪A=U
D.( UA)∪( UB)= U(A∩B)
10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M= ，则实数p的可能取值为(　　)
A.0 B.-3 C.3 D.
11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1A.集合A={-1，0，1，2，3}
B.集合A的非空真子集的个数是62
C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞)
D.若A∩B= ，则m的取值范围是(-∞，-2)
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则 UA=　　　　.
13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-114.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则
(1)集合A2(6)中的元素个数为　　　　；
(2)若A6(p)中的元素个数为56，则p的值为　　　　.
[每小题5分，共10分]
15.(2020·浙江)设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x下列命题正确的是(　　)
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素
16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N={2，3，6}，则 UN表示的6位字符串为　　　　　　；
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.
1.1　集　合
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B等于(　　)
A.{0，1，2} B.{1，2，8}
C.{2，8} D.{0，1}
答案　D
解析　B={x|x3=x}={x|x(x2-1)=0}={0，-1，1}，故A∩B={0，1}.
2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则 U(M∪N)等于(　　)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.
答案　A
解析　方法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}，
N={…，-1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以 U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，
即 U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.
3.(2025·淄博模拟)已知集合A={e，log0.20.3，20.2}，集合B={x|x(1-x)>0}，则A∩B的子集的个数为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案　B
解析　因为集合B={x|x(1-x)>0}={x|0且e>1，01，可得A∩B={log0.20.3}，
所以A∩B的子集的个数为2.
4.(2026·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　)
A.1 B.0 C.2 D.0或1
答案　D
解析　当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意；
当a≠0时，则ax2-2x+1=0满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1.
综上，实数a的值为0或1.
5.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a等于(　　)
A.2 B.1 C. D.-1
答案　B
解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；
若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意.
综上所述，a=1.
6.(2026·保定模拟)如图，已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={1，2，3}，B={x∈Z|(x+2)(x-1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{2，3} D.[2，3]
答案　C
解析　由(x+2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，所以B={-2，-1，0，1}，
又全集U={-2，-1，0，1，2，3}，A={1，2，3}，所以图中阴影部分表示的集合为A∩( UB)={2，3}.
7.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案　C
解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，
则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%.
8.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　B
解析　当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；
当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知A，B是全集U的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是(　　)
A.A∩B=
B.A (A∪B)
C.( UA)∪A=U
D.( UA)∪( UB)= U(A∩B)
答案　BCD
解析　如图所示，A∩B≠ ，A选项错误；
A (A∪B)，( UA)∪A=U，( UA)∪( UB)= U(A∩B)，BCD选项正确.
10.已知A={x|x2+px+1=0}，M={x|x>0}，若A∩M= ，则实数p的可能取值为(　　)
A.0 B.-3 C.3 D.
答案　ACD
解析　当A= 时，Δ=p2-4<0，解得-2当A≠ ，即p≤-2或p≥2时，此时方程x2+px+1=0的两个根x1，x2需满足小于等于0，
则x1x2=1>0，x1+x2=-p<0，得p>0，
∴p≥2，
综上，p>-2.
11.(2025·聊城模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0，A={y|y=[x]，-1.1A.集合A={-1，0，1，2，3}
B.集合A的非空真子集的个数是62
C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m的取值范围是[3，+∞)
D.若A∩B= ，则m的取值范围是(-∞，-2)
答案　BCD
解析　当-1.1当-1≤x<0时，y=[x]=-1，
当0≤x<1时，y=[x]=0，
当1≤x<2时，y=[x]=1，
当2≤x<3时，y=[x]=2，
当3≤x≤3.2时，y=[x]=3，
所以A={-2，-1，0，1，2，3}，集合A的非空真子集有26-2=62(个)，故A错误，B正确；
若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以m≥3，C正确；
若A∩B= ，当B= 时，m<-10；
当B≠ 时，解得-10≤m<-2.
综上，m<-2，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·上海改编)已知全集U={x|2≤x≤5}，集合A={x|2≤x<4}，则 UA=　　　　.
答案　{x|4≤x≤5}
解析　根据补集的含义知 UA={x|4≤x≤5}.
13.(2025·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1答案　
解析　因为A为非空集合，则a-1<2a+3，
解得a>-4， RB={x|x<-2或x>4}，
若A∩( RB)=A，则A ( RB)，
则2a+3≤-2或a-1≥4，
解得a≤-或a≥5，
综上所述，实数a的取值范围为.
14.(2025·六盘水模拟)定义集合An={(a1，a2，…，an)|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A={1，2}，则A2={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}.把集合An中满足条件a1+a2+…+an=p的元素组成的集合记为An(p)，即An(p)={(a1，a2，…，an)|a1+a2+…+an=p，a1，a2，…，an∈A}.已知集合A={1，2，3，4，5，6}，则
(1)集合A2(6)中的元素个数为　　　　；
(2)若A6(p)中的元素个数为56，则p的值为　　　　.
答案　(1)5　(2)9或33
解析　(1)集合A2(6)中的元素满足a1＋a2＝6，且a1，a2∈A，列举满足条件的(a1，a2)组合，共有5种，A2(6)＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}，即集合中有5个元素．
(2)A6(p)中的元素满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝p，且a1，a2，a3，a4，a5，a6∈A，
等价于求方程a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝p的正整数解的个数，
应用隔板法，解的个数为，
由＝56，得p＝9，经检验，此时必有a1，a2，a3，a4，a5，a6∈A，符合题意．
令bi＝7－ai，则bi∈A，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝p可化为(7－b1)＋(7－b2)＋(7－b3)＋(7－b4)＋(7－b5)＋(7－b6)＝p，
得b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝42－p，
所以A6(p)＝A6(42－p)，
当p＝9时，42－p＝33，故A6(33)＝56，
综上，p的值为9或33.
[每小题5分，共10分]
15.(2020·浙江)设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：
①对于任意的x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；
②对于任意的x，y∈T，若x下列命题正确的是(　　)
A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素
答案　A
解析　由题意，①令S={1，2，4}，则T={2，4，8}，
此时，S∪T={1，2，4，8}，有4个元素；
②令S={2，4，8}，则T={8，16，32}，
此时S∪T={2，4，8，16，32}，有5个元素；
③令S={2，4，8，16}，则T={8，16，32，64，128}，
此时，S∪T={2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.
综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；
由③可知A正确.
16.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若N={2，3，6}，则 UN表示的6位字符串为　　　　　　；
(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.
答案　(1)100110　(2)4
解析　(1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，
所以 UN={1，4，5}，所以 UN表示的6位字符串为100110.
(2)因为集合A∪B表示的字符串为011011，
所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，
所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，
即满足条件的集合A的个数为4.

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