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1.3 乘法公式 暑期专项练习2025-2026学年北师大版
七年级数学下册
一、单选题
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．已知长方形的长为，宽为，且满足，若以长方形的长和宽为边分别作正方形，且两个正方形的面积和为37，即，则长方形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
3．计算的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
4．计算等于（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，应用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
7．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律．
根据数表规律得的展开式中第二项是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，有正方形，现将放在的内部得图1（图中阴影部分是正方形），将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1，图2中阴影部分的面积分别为，关于甲、乙的说法．甲，正方形和的面积和是；乙：正方形的面积差为．判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
10．以下是小明同学化简的解题过程：
原式（第一步）
（第二步）
．（第三步）
小明同学开始出错的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定
二、填空题
11．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________．
12．若，，则的值是________．
13．一个长方形的面积是，其长为，用含有的整式表示它的宽为________．
14．是完全平方式，则的值是___________．
15．如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________．
三、解答题
16．已知a，b满足，求下列各式的值：
(1)
(2)
17．如图1，这是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形．
(1)图2中阴影部分的面积为 或 ；
(2)观察图2，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图①所示的大正方形．
(1)【观察发现】请用两种不同的方法表示出中阴影部分的面积，可得到的等量关系为______；
(2)【问题解决】
①已知，，则xy的值为______；
②已知，求的值；
(3)【拓展应用】将正方形和正方形按如图②所示摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分的面积．
20．借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢？请举例说明你的思考．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C D C B B C A
1．A
【详解】解：.
2．A
【分析】求长方形的面积，即求的值，利用完全平方公式变形，结合已知条件即可计算出，得到结果．
【详解】解：依题意，长方形的面积为，
∵，且，，
∴，
整理得 ，
即，
，
即长方形的面积为．
3．C
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
4．C
【详解】解：．
5．D
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
6．C
【详解】解：∵，
∴，
∴.
7．B
【分析】根据平方差公式的结构特征，即两个因式相乘时，有一项相同，另一项互为相反数，依次判断各选项即可．
【详解】解：选项A中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除A；
选项B中，符合平方差公式结构；
选项C中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除C；
选项D中，两项都相同，不符合平方差公式结构，排除D．
8．B
【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项．
【详解】解：由图可得，，
将，代入得：，
化简得，，
的展开式中第二项是．
故选：．
9．C
【分析】根据图形列出算式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可得，，，然后进行化简计算即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
∵图1中阴影部分是边长为的正方形，
∴面积为，
图2中阴影部分的面积为，
即，
∵，
∴，
即，
∴正方形、正方形的面积和为，
因此甲的说法正确；
∵，而，
∴，
∵，而，
∴，
∴正方形、正方形的面积差为，
因此乙的说法正确；
故选：C．
10．A
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式，去括号法则，合并同类项法则逐步骤检查小明的计算，找出最先出错的步骤．
【详解】解：正确的解题过程为
原式
，
∴小明同学开始出错的步骤是第一步．
11．
【分析】本题考查列代数式，整式混合运算．
设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可．
【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，，
∴
．
故答案为：．
12．6
【分析】利用进行求解即可．
【详解】解：
，
，，
，
，
．
13．
【分析】根据长方形面积公式推得宽等于面积除以长，对面积的多项式利用平方差公式因式分解后，进行整式除法运算即可得到结果.
【详解】由长方形面积公式可得 将面积，长代入得利用平方差公式对分子因式分解，得 ，代入得（其中）.
故答案为：.
14．
【分析】根据完全平方式的结构特征，将给定多项式与完全平方公式对比，得到关于的方程，求解方程即可得到的值．
【详解】解：∵ ，且是完全平方式，
∴，
解得．
15．5
【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解．
【详解】解：
，
，个位为，
，个位为，
，个位为，
，个位为，
，个位为，
，个位为，
……，
以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环，
，
的个位数字与的个位数字相同，为，
∴的个位数字为，即的个位数字是．
16．(1)
(2)3
【分析】（1）根据完全平方公式可得，，两式相减即可求出答案；
（2）根据（1）所求求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
得，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴．
17．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）分别用正方形面积公式和大正方形面积减四个长方形面积表示即可；
（2）根据（1）所得代数式求解即可；
（3）根据（2）所得等式求解即可．
【详解】（1）解：图2中阴影部分的面积用正方形面积公式表示为，
图2中阴影部分的面积用大正方形面积减四个长方形面积表示为；
（2）解：由（1）可知，；
（3）解：由（2）所得等式可知，，
，，
．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）用两种方式表示阴影面积即可解答；
（2）①直接利用（1）得结论求解即可；②设，，则，然后再利用（1）的结论求解即可；
（3）由题意可得：，再求得，利用（1）的结论可得；再利用完全平方公式可求得，最后代入求S即可．
【详解】（1）解：如图①中阴影部分的一种表示为：；另一种为：，则．
（2）解：①由（1）可得：，
所以，
∴，
∵，，
∴．
②设，，则，
由（1）知，
∴．
（3）解：由图②可知，阴影部分的面积为
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴．
20．可以，例如多项式乘单项式 可以通过长方形面积直观解释，
如图，
大长方形的面积利用公式法计算为，利用割补法计算两个小长方形和两个正方形面积之和计算大长方形面积为，
∴．
【详解】略
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