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二次函数的图像与性质
目录
题型01 二次函数的定义（★） 1
题型02 待定系数法求二次函数解析式（★） 2
题型03 二次函数的图像与性质（★★） 4
题型04 二次函数图像与各项系数的关系（★） 10
题型05 函数图像综合（★★） 15
题型06 根据二次函数的增减性求最值（★） 17
题型07 根据二次函数的性质求参数（★★） 21
题型08 根据新函数推断其性质（★★★） 23
题型09 二次函数的平移问题（★） 30
题型10 二次函数与坐标轴交点问题（★） 32
题型11 二次函数与不等式问题（★） 34
题型12 二次函数与新定义问题（★★★★） 38
题型13 二次函数的推理与证明（★★★） 47
题型14 公共点问题（★★★） 54
题型15 定点、定值、整数点问题（★★★） 61
题型16 二次函数与一次函数综合（★★） 69
题型01 二次函数的定义（★）
1．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ．
【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可．
【解析】
∴一次项系数是9，
2．（2025·河南开封·一模）下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【解析】
、是二次函数，符合题意；
、是一次函数，不合题意；
、是反比例函数，不合题意；
、是正比例函数，不合题意；
故选：．
3．（23-24九年级上·福建龙岩·月考）已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解析】根据题意得：，解得：．
【小结】本题考查二次函数的定义，注意到是关键．
题型02 待定系数法求二次函数解析式（★）
4．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… …
… …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象经过第二、三、四象限
C．当时，的值随的值增大而增大
D．图象的对称轴是直线
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D．
【解析】将点，和代入二次函数得： ，解得，
二次函数的解析式为，
，
函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
当时，，当时，，
函数图象经过点， 位于第一象限，
函数图象经过点， 位于第三象限，
由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限，
函数图象经过点， 位于第四象限，
这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ， ，
当时，的值随的值增大而增大，
当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意．
故选：D ．
5．（2025·安徽阜阳·三模）已知，，，，若抛物线与轴有两个交点，则此抛物线可能经过（ ）
A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线与轴交点个数的判断；选项A、B、D分别将可能经过的两点代入解析式，求出、的值，再由二次函数的定义及进行判断，即可求解; 选项C.由得直线轴，即可判断；能熟练利用判断抛物线与轴交点个数是解题的关键．
【解析】
A. 点和点， ，解得，，矛盾，故不符合题意；
B.同理可求，，抛物线与轴有两个交点，故符合题意；
C.，直线轴，抛物线不可能同时经过点和点，故不符合题意；
D.同理可求，，抛物线与轴没交点，故不符合题意；
故选：B．
6．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是掌握抛物线的解析式为．
因为顶点坐标是，因此设抛物线的解析式为，由条件可以得出，代入解析式就可以求出结论．
【解析】∵图象顶点坐标为，
设函数解析式是．
∵形状与抛物线相同，且函数有最小值，
∴，因而解析式是：．
故答案为：．
7．（2023·江苏扬州·二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【解析】∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
【小结】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
题型03 二次函数的图像与性质（★★）
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：
… 0 1 5 6 …
… 14 14 23 …
则下列结论中，正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线
C．有最小值 D．若点都在抛物线上，则
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键。先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质逐项判断即可解答．
【解析】由题意可得：，解得：，
∴二次函数为．
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为在第四象限，最小值为，故A、B、 C错误，不符合题意；
又∵抛物线开口向上，对称轴是直线，，
∴，
∴，故D正确，符合题意．
故选：D．
9．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，连接，作轴于点，正方形的性质求出的长，旋转结合角的和差关系，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，即可得出结果．
【解析】连接，作轴于点，
∵正方形，边长为，
∴，
∴，
∵旋转，
∴与轴正半轴的夹角为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点落在抛物线上，
∴，
∴；
故选：D．
10．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，的取值范围为
【分析】考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．
【解析】∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，是方程的两个根，
∴，，故A选项说法正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意；
∵的对称轴为直线，
当时，，
∴时，，
∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增小，
∵时，，时，，
故直线与抛物线的交点在轴的上方，
∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论：
①；
②若，两点均在此函数图象上，则；
③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
④．
其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号）
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根据函数图象可得，得出方程的两个根为和，进而根据当时，，得出当时，，则，对称轴为直线，即可判断①②；根据与无交点即可判断③，根据根与系数的关系可得，结合，即可判断④．
【解析】根据函数图象可得，
∴方程的两个根为和，
又∵当时，，
设，当时，，
∴，，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，故①正确；
∵的函数图象的对称轴为直线，
又，关于直线对称，
∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确；
如图
与无交点，
∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确；
∵方程的两个根为和，
∴
∴
∵，，
∴
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
12．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线
(1)若求的值；
(2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果；
（2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较的大小即可．
【解析】
（1）解：∵点在抛物线上，且
∴关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线；
故；
（2），理由如下：
∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
又∵抛物线过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，在抛物线上，
∴三点到对称轴的距离分别为，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点．
(1)时，求抛物线解析式；
(2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值；
(3)当，时，求y的最小值的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用相关性质知识是解题的关键．
本题主要考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质等知识点
（1）由二次函数的性质以及已知条件可得，即；然后将代入求得即可；
（2）先求得抛物线与x轴交于，与y轴交于，直线与x轴交于，与y轴交于，易得；如图：过点P作轴交于M，于N，易证，由相似三角形的性质可得，，则，易得，最后根据二次函数的性质求解即可；
（3）先得到抛物线的解析式为，然后根据分情况解答即可．
【解析】
（1）解：∵抛物线顶点坐标为，，
∴对称轴，解得：，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式．
（2）解：∵，
∴抛物线与x轴交于，与y轴交于，
∵直线，当时，，
∴直线与x轴交于，与y轴交于，
∴，
∴，
如图：过点P作轴交于M，于N，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴
∵
∴最大值为，即点P到直线距离的最大值为．
（3）解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线可表示为，
∵抛物线过点，
∴
∴
∴，
①当时，y在时取最小值，即，
②当时，y在x＝0时取最小值即，
∵，
∴当时，y在或4时取最小值，即．
综上：求y的最小值的范围为．
题型04 二次函数图像与各项系数的关系（★）
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．点的坐标为
D．
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键．
【解析】
A．二次函数图像开口向上，故，A错误；
B．对称轴为，图像开口向上，当 时，随增大而增大，B错误；
C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确；
D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误．
故选：C．
15．（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次函数，一元二次方程，不等式的相关知识逐项判断即可．
【解析】
①抛物线开口向上，
，
当时，，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
故结论①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
则，
，
故结论②错误；
③由图象知，当时，，
，
故结论③正确；
④抛物线对称轴为直线，
，
当时，，
即：
，
∴
故结论④正确；
⑤当时，取得其最小值，此时，
而当时，，
，
整理，得：，
故结论⑤正确；
综上，正确的结论有①③④⑤，共4个，
故选：C．
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数 (a，b，c为常数，)的图像经过点，下列四个结论：①；②；③若，则对任意x，都有；④记S为函数的最小值，若恒成立，则；其中正确的有 ．
【分析】首先将代入得到，然后由得到，，即可判断①；根据题意判断出抛物线与x轴有两个交点，即可判断②；根据题意得到，，然后令，得到，即可判断③；首先得到，然后表示出，然后根据得到，然后表示出，取，，代入即可判断④．
【解析】
①∵二次函数的图像经过点，
∴，
∵，
∴，，
∴，故①正确；
②∵，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴抛物线与y轴交于负半轴，
又∵二次函数的图像经过点，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴若对任意x，都有，即，
∴令，
∴，
∴，
∴抛物线与x轴有1个交点或2个交点，
∴可能小于0，故③错误；
④∵，
∴，
∵二次函数，
∴最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴取，，
∴，故④错误．
综上所述，其中正确的有①②．
【小结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数和x轴交点问题，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
17．（2025·宁夏银川·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；
其中正确的结论有 ．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据图象可知，开口向上，得出，根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据抛物线交轴负半轴，得出，即可判断①；根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，将该点坐标代入解析式可判断②；根据抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，得出无论取何值时，总是大于或等于，即，可判断③；根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，
即可判断④．
【解析】根据图象可知，开口向上，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵抛物线交轴负半轴，
，
∴，故①错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，
将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意；
∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，
∴无论取何值时，总是大于或等于，
即，故③正确，符合题意；
根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，到的距离比到的距离小，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，
故，故④正确，符合题意．
故答案为：②③④．
题型05 函数图像综合（★★）
18．（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【解析】由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
19．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【解析】
A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
故选：B．
20．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解．
【解析】
A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意；
B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意；
C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意；
D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意．
故选：C．
21．（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据点的坐标可得，进而根据二次函数和反比例函数图象可判断的符号，再逐项判断即可求解，解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．
【解析】∵，
∴一次函数与二次函数的交点的坐标为，
，
，
∵抛物线开口向上，∴，，
∵反比例函数图象经过第一、三象限，，A、∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故A选项正确；
B、，，
又∵，∴，不成立，故B选项错误；
C、，，
，
故C选项错误；
D、由二次函数和反比例函数图象知，当时，，即，
，，
，
故D选项错误；
故选：A．
题型06 根据二次函数的增减性求最值（★）
22．（2025·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得，再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】∵点、在这个二次函数的图象上，且，
∴该函数图象的对称轴为，
∴，
∴，
∴该函数解析式为，
∵，
∴该函数图象的开口向上，
∴当时，该二次函数有最小值，
故选：A．
23．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3
C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质求解．
【解析】
根据轴对称定义得，该函数的图象不是轴对称图形，故选项A是错误的；
根据函数图象的最高点和最低点，得出函数的最大值为3，最小值为，故选项B是正确的；D是错误的；
根据图象当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，故选项C是错误的；
故选：B．
24．（2025·浙江·模拟预测）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键．
先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解．
【解析】∵，
∴当时，取最小值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8，
故选：A．
25．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可．
【解析】∵二次函数的图象关于直线对称，
∴，解得，
则二次函数，
当时，函数有最小值；
∵当时，y有最小值，∴，解得，
故选C．
26．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求b，c的值；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值．
（1）①将，代入，求出b，c的值即可；
②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可．
（2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】
（1）解：①当，时，，，
将，代入，得，解得，
②由①得，二次函数解析式为，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，
∴当时，，即，解得，（舍去），
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值为．
27．（2023·云南楚雄·二模）已知二次函数
(1)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
【分析】
（1）根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可解答；
（2）根据二次函数的性质及自变量的取值范围对分类讨论，根据的取值范围列方程即可得到的值
【解析】
（1）解：∵，
∴对称轴是，顶点坐标为；
∴当时，，
∵当时，随着的增大而增大，
∴当时，．
∵当时，随着的增大而减小，
∴当时，．
综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为；
（2）解：当时，对进行分类讨论．
①当时，即时，随着的增大而增大．
当时，，
当时，，
∴，
∴，
解得(不合题意，舍去)；
②当时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴，
当时，在时，，
∴
∴，解得， (不合题意，舍去)；
当时，在时，，
∴，
∴，解得 (不合题意，舍去)；
③当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
解得(不合题意，舍去)．
综上所述，或．
【小结】本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型07 根据二次函数的性质求参数（★★）
28．（2025·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答．
【解析】∵，
∴开口方向向下，对称轴为直线，
∵
∴函数与x轴的交点坐标为
∴开口方向向上，对称轴为直线，
抛物线与关于直线对称，
两个抛物线的对称轴相同，
即
∴
解得，
观察四个选项，唯有D选项符合题意，
故选：D．
29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键．
【解析】将点代入二次函数，得，，
二次函数的顶点坐标为，其中，
又二次函数的顶点在第三象限，，，
代入，得，，解得，
的取值范围是．
故选：A．
30．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．先利用二次函数与轴只有一个交点时判别式的性质，列出关于的方程求出的可能值，再结合图象中抛物线对称轴的位置，通过对称轴公式推断出的正负，最终确定的唯一值．
【解析】∵二次函数的图象，与轴只有一个交点，
其中，
∴
∴，
结合图象，抛物线的对称轴在轴的负半轴，
∴二次函数对称轴公式为：，
∴，
故．
31．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数．
①若此二次函数图像开口向下，则a值为
②在①条件下，若时，满足，则m的值为
【分析】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值．
①根据题意得出且，求解即可．
②根据题意得出当时，，当时，，求解即可．
【解析】∵为二次函数，
∴，
∴，
解得：或，
①若此二次函数图像开口向下，则，
∴．
②根据①知，
∴当时，，
当时，，
∵当时，满足，
∴当时，，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：3．
题型08 根据新函数推断其性质（★★★）
32．（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究．
(1)当时，
①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；
②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象求自变量的范围，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
（1）①当时，可得到和，分别得出对称轴，与坐标轴的交点，再补全函数图象，写出一条性质；②方程有四个解，将代入，得到，结合图象求得m的取值范围是；
分、两种情况讨论，结合函数图象，分别求出a的取值范围．
【解析】
（1）解：①当时，，
和，
∴两函数对称轴均为直线，
令，得，
解得，，
又的顶点坐标为，
∴和的图象在x轴和x轴上方，
补全的图象如图所示．
图象的性质：图象关于直线对称；当或时，y随着x的增大而增大等．
②方程有四个解，即，
从图象上看，就是直线与函数的图象有四个交点，所以m的取值范围是
（2）分两种情况讨论：
①当时，区域Q为函数的图象与直线围成的封闭区域，若在此区域内存在10个“整点”，由Q关于直线对称，故“整点”也呈对称分布，对称轴每侧各五个“整点”．
（ⅰ）如果对称轴右侧的“整点”为，，，，，其呈“刀把型”，如图所示．
当时，，
当时，．
由图象得，．解得．
（ⅱ）如果对称轴右侧“整点”为，，，，，其呈T型，如图所示．
当时，，
当时，．
由图象得，．解得．
②当时，与p围成的封闭区域中，“整点”分布以为中心，两边呈对称展开，如图所示，所以“整点”数均为奇数，封闭区域Q内“整点”数不存在恰好为个的情况．
综上所述，或．
33．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数．
【特例分析】
（1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象；
【性质探究】
（2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______；
【性质运用】
（3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
（4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______；
（5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______；
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键．
（1）当时，，画出图象即可；
（2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴；
（3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可；
（4）由题意可知，，从而，进而可得且；
（5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解．
【解析】
（1）当时，，图象如图所示：
（2），令，
则或2，此时，
故二次函数恒过定点和，
由对称性可知对称轴为直线，
故答案为：和，直线；
（3）由可知抛物线的顶点为，
由平移可知，
当时，解得；
当时，解得，
综上，的值为或；
（4）由题意可知，，
，
，
，从而，
即，
故答案为：且，
（5）当时，
①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，
即，解得；
②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，
即，解得，
当时，
当时，；当时，，
因为，
则，
线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，
综上所述，的取值范围为或或．
34．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数．
现有分段函数．
已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点．
(1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像；
(2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围．
【分析】本题考查了画的图象，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）依次求出分段函数中相邻两函数的交点坐标，再结合只经过函数图像的顶点求解，然后画了函数图象；
（2）结合函数图象，根据函数间的交点求解．
【解析】
（1）解：如图．，解得：或，
即两函数的交点坐标为，，
函数的对称轴为，
因为只经过函数图像的顶点，
所以函数的图象在函数的左边，
所以点为它们的交点，且在分段函数上，
所以函数必须满足；，解得：或，
即两函数的交点坐标为，，
因为只经过函数图像的顶点，
函数的对称轴为，
所以函数在函数的右边，
即在及右边，
所以此时，，解得：或，
即两函数的交点为和，
因为只经过函数图像的顶点，
所以函数的图象在函数的右边，
也在函数的对称轴为右边，
所以在的右边，
所以此时，
综上所述，可画出图象如图，
结合分段函数，可得出，，，
所以这个分段函数为
（2）如图，
结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点，
在点处，
也就是时，也有4个不同交点，
∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，
∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点．
题型09 二次函数的平移问题（★）
35．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（ ）
A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位
C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位
【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可．
【解析】∵原抛物线为，平移后为，
∴表示向左平移3个单位，
表示向下平移2个单位，
∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位．
故选：B．
36．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先将二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断平移后抛物线的顶点所在的象限即可．
【解析】，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
，
顶点在第四象限．
37．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【解析】
（）由题意可知，解得，
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
38．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上．
(1)当时，比较和的大小，并说明理由；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
【分析】
（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可；
（2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可．
本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【解析】
（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
当时，点，，
此时，，
故，，
故．
（2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，
故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，
根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为
；
故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，
由对于，都有，
故或，解得或，
故t的取值范围是或．
题型10 二次函数与坐标轴交点问题（★）
39．（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是 ．
【分析】本题主要考查二次函数图象与轴的交点情况与判别式的值之间的关系，根据抛物线与轴有两个交点，得判别式的值大于零，进而即可得到答案．
【解析】∵抛物线与轴有两个交点，
∴，解得：，
又∵，
∴且．
40．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个．
【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键．
利用根与系数的关系求出图象与x轴交点的个数，再求出函数图象与y轴的交点，即可求解．
【解析】∵，
∴二次函数的图象与x轴有2个交点，
当时，，
∴函数图象与y轴交于点，
∴图象与坐标轴的交点个数是3．
41．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ．
【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答．
【解析】∵函数与x轴只有一个交点，
∴当时，令则，
则
则
即
∴
解得或，
当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，
综上：的值为或或0．
42．（2025·湖北武汉·一模）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：
(1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，从而得出a、b、c的值，并能计算出，，的值；
（2）先求出抛物线与x轴另一个交点的坐标，再根据图象写出不等式的解集，即时，所对应的x的取值；
（3）抛物线与有两个不同的交点，根据图象求解即可．
【解析】
（1）解：由图象可知其顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
又∵图象过，∴代入得：，得，
∴，
∴，，，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
由图可知：当时，，即，
；
（2）解：由对称性得：抛物线与x轴另一个交点为，
∴不等式的解集为或；
（3）解：方程，有两个不相等的实根，相当于抛物线与有两个不同的交点，
∴．
题型11 二次函数与不等式问题（★）
43．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可．
【解析】∵直线经过点，
∴，解得，
∴直线，
∵抛物线经过点，∴，解得，
∴抛物线，
联立得，解得或，
当时，，
∴，
∴抛物线与直线相交于点和点两点，
∴当时，，
故选：B．
44．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可．
【解析】∵，解得或，
∵点，在抛物线上，且，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，
∴；
∵，∴当时，，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴，
故选：B．
【小结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
45．（2025·上海·模拟预测）在函数的学习过程中，图像始终是不可或缺的一部分，它是我们认识一个未知函数的窗口．有些时候，当遇到一些棘手的函数问题时，我们同样可以通过图像法来解决，数形结合是十分重要的一个点，不光是对于考试中应试的重要，更是对于数学学习及未来生活的重要．
例：解不等式．
解：如图所示，作出函数与的图像．
可以发现，直线与抛物线的两个交点的中间部分，抛物线的函数值大于直线的函数值，故而求出两个交点，即可解出此不等式，其解集为 ．
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象应用，熟练掌握通过函数图象求解不等式解集的方法是解题的关键．
先将不等式转化为两个函数相等的方程，求出交点横坐标，再根据函数图象确定不等式的解集．
【解析】令，
解得或，
由图象可知，当时，抛物线的函数值大于直线的函数值，
所以不等式的解集为．
46．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：．
第一步：化为一般式：；
第二步：求相应方程的根：，解得，；
第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）；
第四步：根据图象得到不等式的解集为．
根据以上方法解决问题：
(1)一元二次不等式的解集为 ；
(2)一元二次不等式的解集为 ；
(3)一元二次不等式的解集为，则 ， ；
(4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题中例题即可求解；
（）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围；
（）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可；
（）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可．
【解析】
（1）解：求相应方程的根：，解得，，
画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图，
∴根据图象得到不等式的解集为：或，
（2）解：当时，
∴，∴无实数根，
∴与轴无交点，
作二次函数的图象，如图，
∴的解集为：任意实数，
故答案为：任意实数；
（3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图，
∴的两个实数根为，，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（4）解：当时，，对实数都成立，
当时，
设，
∴，
∵不等式对实数都成立，
∴，
∴，
∴ 时，无解；
时，，
综上可知：的取值范围是，
故答案为：．
题型12 二次函数与新定义问题（★★★★）
47．（2025·上海·模拟预测）
定义 平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”．
根据定义完成下列问题．
(1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点．
①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）．
②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式．
(2)现对定义提出以下命题：
命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等．
命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择．
【分析】
（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论；
②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可；
（2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可．
【解析】
（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴，
即抛物线的表达式为，
如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧），
∴轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”，
此时，
∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为；
②由①知：轴，
∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧），
∴，，
如图，
当在下方时，则，，
当在上方时，
∵为的“特征三角形”（在的左侧），
∴，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在上方时，则，，
当在上方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
当在下方时，，
设的表达式为，过点，
∴，得：，
∴，
此时抛物线的表达式为；
综上所述，抛物线的表达式为或或或；
（2）解：命题一和命题二都成立，
故答案为：一，二；
证明：
命题一：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，且
即两抛物线二次项系数绝对值相同，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴这两个抛物线的“特征值”相等，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
命题二：设两抛物线的表达式为和，
它们的二次项系数分别和，比值为，
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为；
设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴，
联立，解得：或，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
又∵轴，
∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为，
∴，
∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等；
和，命题一的证明可以基于第（1）②小题）
∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
【小结】本题考查待定系数法确定函数解析式，抛物线与直线的交点问题，两点间的距离，勾股定理定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正方形的性质等知识，理解“特征三角形”和“特征值”是解题的关键．
48．（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答．
（2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答．
【解析】
（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，∴，即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即．
49．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【解析】
（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，解得：，，
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②由①得：函数的图象为抛物线，
令，解得：或，
∴，
将代入，则，
∴，
令，解得：或，
∵轴，
∴，
设点，如图，过点P作于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
当时，即，解得：（舍去）或；
∴，
∴；
当时，即，解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上，当时，点P的坐标为或；
③∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
50．（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键．
（1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解；
（2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解；
（3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解；
【解析】
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
题型13 二次函数的推理与证明（★★★）
51．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线E向下平移1个单位长度后得到抛物线F，记抛物线F的顶点为P，坐标原点O关于P点的对称点为Q，过点Q且平行于x轴的直线记为l，抛物线F上有一动点（位于y轴的左边），连接并延长交抛物线F于点B，过点B作平行y轴交的延长线于C点．
(1)证明：C点在直线l上；
(2)过A点作垂直l，垂足为D，证明：是等腰三角形；
(3)如图2，已知线段的端点M、N均在抛物线F上，且，线段的中点为G，当线段的长最小时，求A点的坐标．
【分析】本题考查抛物线的平移，点的坐标相关知识，直线方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）证明C点在直线l上：通过设A点坐标，求出直线与抛物线F的另一个交点B的坐标，再结合直线的方程及平行y轴的条件，得出C点纵坐标为，从而证明其在直线l上；
（2）证明是等腰三角形：根据A点坐标和的条件确定D点坐标，通过计算和，发现二者相等，即，进而证明为等腰三角形；
（3）求线段长最小时A点的坐标：利用梯形中位线定理分析长与相关点坐标的关系，结合的长度条件，得出当特定三点共线时最短，进而求出此时A点的坐标．
【解析】
（1）证明：已知抛物线E：向下平移1个单位长度后得到抛物线F，
根据抛物线平移规律“上加下减”，可得抛物线F的方程为
对于抛物线，其顶点坐标公式为，
在抛物线F：中，，，，
所以顶点P的坐标为，
因为坐标原点关于点的对称点为Q，
设Q点坐标为，则，，
解得，，
所以Q点坐标为，那么直线l的方程为，
设A点坐标为，，直线的方程为，
把代入可得，
解得，
所以直线的方程为，
联立直线与抛物线F的方程，得，
已知A点横坐标为m，设B点横坐标为n，
由韦达定理，则，
把代入抛物线F的方程可得，
所以B点坐标为，
设直线的方程为，
把代入可得，解得，
所以直线的方程为，
因为平行y轴，B点横坐标为，
把代入直线的方程，
所以C点纵坐标为，
即C点在直线l上；
（2）证明：已知，D点在直线l：上且，
所以D点坐标为，
，
，
，
对进行变形：，
所以，
则是等腰三角形；
（3）解：过G作于，
因为G是中点，M、N在抛物线F上，轴，轴，
所以是梯形的中位线．
当A、G、H三点共线时，最短，此时A点的纵坐标与G点的纵坐标相同,
设，，
由勾股定理得，
代入数据得，
因为G是MN中点，G点纵坐标为
当A、G、H三点共线时，A点纵坐标，
，
化简解得，把代入，
得．
52．（2025·安徽马鞍山·三模）已知点在关于x的二次函数的图象上．
(1)证明：；
(2)证明：当b的值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值；
(3)若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．
（ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数；
（ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把代入计算即可；
（2）先求出二次函数的顶点坐标为，然后令，将顶点坐标化为，即知顶点在函数的图象上，即得答案；
（3）（ⅰ）当时，，，可得，解不等式
得，所以或0，再代入验证，即得答案；
（ⅱ）当时，，，则，再根据函数与的环抱整点有且只有1个，即知，且，从而可得答案．
【解析】
（1）证明：点在关于x的二次函数的图象上，
把代入，得，
；
（2）证明：二次函数的顶点坐标为，
，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
即二次函数的顶点坐标为，
这表明顶点总在二次函数的图象上，
与比较系数得，，；
（3）解：（ⅰ）当时，由，得，
，
由（2）得，
当时，，，
则，
，
，
由二次函数的性质知，
或0，
当时，，，
，
；
当时，，，
，
或0；
函数与的环抱整点为，，，共有3个；
（ⅱ）由（1）（2）可知，，，
当时，，，
则，
函数与的环抱整点有且只有1个，
，且，
整数n的值为0，实数b的取值范围是．
53．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小．
【分析】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与x轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ．
（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可．
（2）将已知点代入解析式求，求出函数的解析式，然后令求值，再对进行变形化简，得出关于的表达式，最后分情况比较与的大小．
【解析】
（1）解：∵抛物线为，则抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：代入函数表达式得：，解得，
故抛物线解析式．
令，得，解得，
∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，∴，
∴
，
∴，
故．
当时，，此时；
当时，，此时．
54．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定．
(1)求函数的表达式；
(2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，反比例函数的解析式，反比例函数与正比例函数的对称性，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程根的判别式，掌握反比例函数的性质以及正确变形方程是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得，利用反比例函数系数的几何意义求得，，即可求得结论；
（2）由题意可知方程为，，变形为，可知方程一定有解或．由于时，其判别式，故方程①有两个不等的实根，而不是方程①的根，即可证得题设方程有三个不同的实数根．
【解析】
（1）解：二次函数的图象以原点为顶点，则二次函数为，
又∵过点，
，
，
反比例函数的图象与直线交于、两点，
、关于原点对称，
过、作轴的垂线，垂足分别为、．
，，
四边形面积为，
，
，
，
故；
（2），
，
，
即或．
方程一定有解，
对于可化为，
因为，其判别式，
方程有两个不等的实根，
而不是方程的根，故题设方程有三个不同的实数根．
题型14 公共点问题（★★★）
55．（2025·湖南长沙·一模）定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”．
(1)下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号）
(2)与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积；
(3)设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值．
【分析】
（1）①令，得到直线与没交点；②令，利用根的判别式判断得直线与双曲线只有一个交点；③令，利用根的判别式判断得直线与抛物线有两个不同的交点，据此即可判断；
（2）设，其中，过点作轴交直线于点，求得，求得，即的最小值为6，此时，据此求解即可；
（3）先分别求出一次函数与两个二次函数、的方程，得到一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据弦长公式得出、关于的表达式，由恒成立，将、表达式代入并整理成关于的二次函数恒大于等于的形式，根据二次函数性质，确定二次项系数大于且判别式小于等于，结合、为正整数求出、的值．
【解析】
（1）解：①令，
∵，
∴方程无解，
∴直线与没交点，
∴与互为“无交函数”；
②令，整理得，
，
∴方程有两个相等的实数根，
∴直线与双曲线只有一个交点，
∴与互为“单交函数”；
③令，整理得，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个不同的交点，
∴与互为“双交函数”；
故答案为：①；②；③；
（2）解：当时，，
∴，当时，，
∴，
∵点在的图象上，
∴设，其中，
过点作轴交直线于点，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵(当且仅当时取等)，
∴，
令，，
则(当且仅当时取等)，
∴，即的最小值为6，
此时，
∵，
∴，
经检验是原方程的解，
∴，此时；
（3）一次函数与二次函数和都互为“双交函数”
，
整理得．
设其两根为，，
由韦达定理，，
根据弦长公式．
，
整理得．
设其两根为，，由韦达定理，，
根据弦长公式．
因为对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
整理得：对一切实数恒成立．
所以，
由且为正整数，
可得．
又因为，
所以．
因为，为正整数且，
所以或．
【小结】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
56．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴有公共点．
(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．
(3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围．
【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合，整理，即作答．
（2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答．
（3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入，
得，，则或，再解得的取值范围，即可作答．
【解析】
（1）解：∵，
∴
即该函数的图象与轴有公共点；
（2）解：
∵该函数的图象经过的定点
即
∴
∴把代入，
得
∴该函数的图象经过的定点为．
（3）解：设线段的解析式为，
把点，分别代入，得，解得
∴线段的解析式为，
∵该函数的图象与线段没有公共点，
∴
整理得
把代入，
得，
把代入，
得，
则或
解得，即；或解得，即
综上：或
57．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，点为抛物线上任意一点；抛物线与轴的交点坐标为．过点作线段轴，点在点的右侧，，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)用含的代数式表示点的坐标；
(3)当线段与抛物线没有公共点时，直接写出的取值范围；
(4)当线段与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出的取值范围．
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出点P的坐标，根据轴，点在点的右侧，，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出抛物线的顶点坐标，再分别求出当恰好经过抛物线的顶点A时和当恰好在抛物线的对称轴右侧的分支上时m的值即可得到答案；
（4）求出直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，可证明当恰好经过抛物线的顶点时，点Q在直线与抛物线的另一个交点的左侧；再分别求出当点Q恰好在抛物线的图象上时和当恰好在抛物线的对称轴左侧的分支上时m的值即可得到答案．
【解析】
（1）解；∵抛物线与轴的交点坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点为抛物线上任意一点，且点的横坐标为，
∴，
∵轴，点在点的右侧，，
∴；
（3）解；∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为；
如图所示，当恰好经过抛物线的顶点A时，
则，解得或（舍去），
∴此时的横坐标为，
∴当时，与抛物线不会有交点；
如图所示，当恰好在抛物线的对称轴右侧的分支上时，
则，
解得或，
∴此时的横坐标为，
∴当时，与抛物线不会有交点；
综上所述，当或时，与抛物线不会有交点；
（4）解：如图所示，当恰好经过抛物线的顶点时，由（3）可知此时；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，
∵，
∴当时，，
∴当时，点Q在直线与抛物线的另一个交点的左侧，即此时与抛物线和一共有3个公共点；
如图所示，当点Q恰好在抛物线的图象上时，
则，解得，
如图所示，当恰好在抛物线的对称轴左侧的分支上时，
则，解得或（舍去），
∴当时，此时与抛物线和一共有3个公共点；
综上所述，当或时，与抛物线和一共有3个公共点．
【小结】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，解（3）的关键在于求出临界点对应的m的值；解（4）的关键在于确定与抛物线和一共有3个公共点的情形．
题型15 定点、定值、整数点问题（★★★）
58．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
【分析】
对于（1），根据抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，可得，求出解即可；
对于（2），过点D作轴，于点H，求出点，可得，进而得出，则都是等腰直角三角形，又，即点，再设点，分三种情况讨论：①为对角线，则的我中点重合，；②为对角线，同理，得；③为对角线，则的我中点重合，，解方程组可得答案；
对于（3），设过点的直线，则，即得直线的关系式为，进而得，再设点，则有，然后设点，可得，即可得，接下来设直线的关系式为，把点，代入可得关系式，最后直线的关系式为，故直线必过定点．
【解析】
（1）解：∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
∴，解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：过点D作轴，于点H，
在中，令，得，
∴点，可得，
∴，
∴.
∵轴，∴都是等腰直角三角形．
∵，
∴，，
∴点.
在中，令得，
∴．
设点，又点，
分三种情况讨论：
①为对角线，则的中点重合，∴，解得，
∴；
②为对角线，同理，得，解得，
∴；
③为对角线，同理，得，解得，
∴．
综上所述，点E得坐标为或或；
（3）解：直线必经过某个定点，理由如下：
设过点的直线，则，
∴，
∴直线的关系式为，
由，得.
设点，则有，
∴．
设点，
∵点，在直线上，
∴，
∴，
整理得．
设直线的关系式为，
把点，代入可得,解得，
∴直线的关系式为，
∵，
∴直线的关系式为.
∵，
∴直线的关系式为，
令得，
∴直线必过定点．
【小结】本题主要考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，理解平行四边形的判定定理是解题的关键．
59．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长．
(3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可；
（3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可．
【解析】
（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）弦的长度是定值．理由如下：
如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：，
设点的坐标为，则．
，
∴．
，
．
，
，
∴弦的长度为定值．
（3）证明：设直线的解析式为，
直线过点，
，解得：，
∴；
设，则且，
，
，
．
①当时，点在对称轴左侧，如图2，
．
，
的坐标为，
，又，
三角形是等边三角形．
②当时，在对称轴右侧，如图3，
，
，
的坐标为，
，
，又，
三角形是等边三角形．
60．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：，
这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用．
已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，．
(1)求此二次函数的解析式（也称表达式）；
(2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由．
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及代数式定值的判断．解题关键是利用二次函数对称轴性质和已知点坐标确定解析式，借助韦达定理分析根与系数关系并分情况化简代数式．
（1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴及求出．将点代入含值的二次函数表达式求出，从而确定二次函数解析式．
（2）先依据韦达定理明确、作为方程两根的关系，即与的值，以及、的值．分和两种情况，对的表达式化简计算，判断是否为定值并求值．
【解析】
（1）解：∵当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴为，
∵图象过点，∴，解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：T为定值，理由如下：
∵实数，满足，，由（1）知，，即，是方程的两个根．
∴在方程中，，，
∴，．
同时，由可得；由可得．
当时， ．
当时
∵；．
∴
∵，
把，代入：
综上，为定值，的值为或．
61．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P．
(1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个；
(2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值；
(3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围．
【分析】
（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数；
（2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解；
（3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解．
【解析】
（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个，
故答案为：，15；
（2），
∴抛物线的顶点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
当时，，解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
则，，，
当时，，即，解得：（正值舍去）；
当时，，即，解得：（正值舍去）；
当时，，即，此时方程无解；
综上，当或时，是直角三角形；
（3）由（2）可知顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则轴上有5个“整数点”，
∴在轴上方只有3个“整数点”，
当与轴得交点为“整数点”时，，即，此时顶点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意；
当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意；
当顶点的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点的坐标为，并非“整数点”，
可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意；
当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意；
综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个．
【小结】本题考查二次函数的图象与系数的关系，勾股定理，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
题型16 二次函数与一次函数综合（★★）
62．（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点．
(1)填空：______，______；
(2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点；
(3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将一次函数的解析式转化为：，得到直线恒过点，根据抛物线也过点，即可得证；
（3）根据直线恒过点，得到当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，过点作轴，推出点，以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，求出点坐标，圆周角定理，推出点在以为圆心，为半径的圆上，根据到线段的距离大于半径，得到与线段相离，得到线段上不存在点使．
【解析】
（1）解：把，代入，得：，解得：．
（2）由（1）知：，
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，
又∵当时，，
∴抛物线也过点；
∴二次函数与一次函数的图像总有交点；
（3）不存在，理由如下：
由（2）知道，直线恒过点，
∴当点与点形成的线段垂直直线时，点到直线的距离最大，如图，
此时，
过点作轴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以为斜边，在下方，构造等腰直角三角形，则：在的中垂线上，且，
∴点的横坐标为，
设，则：，
∴或（舍去）；
∴，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∵到轴的距离为2，，
∴圆与直线相离，
∴线段上不存在点使．
63．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标；
(3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标．
【分析】
（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．得出可设二次函数，进而求出即可；
（2）作于H，轴交于点G，易证，设，则，可表示出，进而求出的函数解析式，进而即可求解；
（3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对应边成比例求出即可．
【解析】
（1）解：∵交x轴于点A，
∴，
∴，
∴，
∵直线与y轴交于点B，
∴B点坐标为，
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且，
∴可设二次函数，
把代入得，，
∴二次函数的表达式：；
（2）解：作于H，轴交于点G，则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，，∴，
∵，
当时，最大，此时，，
∴；
（3）解：（I）当点B为直角顶点时，过B作交x轴于点，则，如图1，
∴，
∴，得，
∴；
（II）当点D为直角顶点时，作，如图2，
将与联立，得
解得（舍去）或，
将代入得，，
∴D点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，则，
故点坐标为；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，如图3，
设，
则由，得，
∴，
∵方程无解，
∴点不存在，
∴点P的坐标为和．
【小结】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果．
64．（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：的值为定值；
(3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围．
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴为，得到；得到抛物线的解析式为，把，分别代入解析式解答即可．
（2）设点，过点P做轴，垂足为D，利用三角形相似判定和性质，列比例式解答即可．
（3）求出直线经过的定点，联立解析式构造方程组，利用一次函数的性质解答即可．
【解析】
（1）解：根据抛物线的对称轴为，
故；
故抛物线的解析式为，
把，分别代入解析式得，解得，
故抛物线的解析式为．
（2）证明：设点，
过点P做轴，垂足为D
∵ P点在第四象限
根据题意，得，∴，即，
又,
∴，
即
，是定值．
（3）解：，则一次函数过定点，
设，如下图：
联立直线和抛物线的表达式得：，解得：；
当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时，
，
则
当时，，
由图像可得，点的横坐标的取值范围为：．
【小结】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程组，一次函数的性质，数形结合思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，一次函数的性质是解题的关键．
65．（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点．
(1)求一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标；
(3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求．
（2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标．
（3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值．
【解析】
（1）解：把、代入，得，解得，
∴．
设，
把代入，得，即，
∴．
∴．
（2）解：由题意得：
在中，，∴；
在中，，
∴．
∵，
，
当点在第四象限时，，
设，
∴，即：，
∴，
当点在第二象限时，
∵，，∴，∴轴，
∴，即：，∴，
综上，点的横坐标为或；
（3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为，
中，，，
，
，
的最大值为．
【小结】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键．
3.1.感受可能性暑期专项练习2025-2026学年北师大版
七年级数学下册
一、单选题
1．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件
B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件
D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
2．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人通过步数共捐赠了6.8元，且甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，则下列说法不正确的是（ ）．
A．甲可能走了10000步 B．丙可能走了21000步
C．乙可能走了17000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了53000步
3．如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大
A．东 B．北 C．西 D．南
4．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（ ）
A． B．
C． D．
5．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（ ）
A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子
C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大
6．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ）
A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件
B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件
C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件
D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0
7．下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件
B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是
9．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确
10．中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（ ）
A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲
C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法
二、填空题
11．“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“不可能”“随机”或“必然”）．
12．“若是有理数，则”是______事件．
13．将一个小球放在如图所示的图纸上自由滚动，停在( )区域上的可能性最小，停在( )区域上的可能性最大．
14．如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出__________（填“红”或“白”）球的可能性最大．
15．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 _____（填序号）．
三、解答题
16．不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话：
(1)小莲的判断正确吗？为什么？
(2)小明的说法对吗？请说明理由．
17．我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图．
如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为______．（不用列式，直接填空）
18．从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”．
(1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______；
(2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来．
19．如图是一个可以自由转动的转盘，利用这个转盘与同伴做下面的游戏：
（1）自由转动转盘，每人分别将转出的数填入四个方格中的任意一个；
（2）继续转动转盘，每人再将转出的数填入剩下的任意一个方格中；
（3）转动四次转盘后，每人得到一个“四位数”；
（4）比较两人得到的“四位数”，谁的大谁就获胜．
多做几次上面的游戏．在做游戏的过程中，你的策略是什么？你积累了怎样的获胜经验？
20．在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A D B C D C D
1．C
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解．
【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误；
B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误；
C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确；
D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误．
故选：C．
2．C
【分析】甲乙丙三人某天通过步数共捐赠了6.8元，可得三人走路的步数的最小值，依据甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，即可得到甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数，进而得到结论．
【详解】解：6.8÷0.0002=34000步，
∴平均每人走路34000÷3≈11333步，
∵甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，
∴甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数，
∴甲可能走了10000步，丙可能走了21000步，故A、B选项正确，不合题意；
若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和大于34000步，故C选项错误，符合题意；
若丙走路34000步，而甲乙两人走路步数都小于10000步，则甲、乙、丙可能共走了53000步，故D选项正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3．C
【分析】本题考查了事件的可能性判断，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能，到了第二个路口，则需要剔除掉来时的方向，据此作答即可．
【详解】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能．
而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能；
如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能；
如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能；
但是这三种情况下，都有向西的可能．
所以它一直向西行驶的概率较大．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键；
本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解；
【详中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 函数
二次函数的图像与性质
目 录
01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 二次函数的定义（★） 题型02 待定系数法求二次函数解析式（★） 题型03 二次函数的图像与性质（★★） 题型04 二次函数图像与各项系数的关系（★） 题型05 函数图像综合（★★） 题型06 根据二次函数的增减性求最值（★）题型07 根据二次函数的性质求参数（★★） 题型08 根据新函数推断其性质（★★★） 题型09 二次函数的平移问题（★） 题型10 二次函数与坐标轴交点问题（★） 题型11 二次函数与不等式问题（★） 题型12 二次函数与新定义问题（★★★★） 题型13 二次函数的推理与证明（★★★）题型14 公共点问题（★★★） 题型15 定点、定值、整数点问题（★★★）题型16 二次函数与一次函数综合（★★）能力通关
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考查知识点：等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值求解.
能力要求：几何图形性质的综合应用能力、相似三角形的构造与推理能力、二次函数解析式的推导与最值计算能力、数形结合思想的运用能力.
考法特点：以等腰直角三角形为背景，结合角平分线构造相似模型，将线段关系转化为二次函数，通过二次函数最值求解几何问题，体现 “几何建模 + 代数求解” 的中考命题趋势.
2．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点；②若，则当时，随的增大而减小；③该函数图象与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．其中正确的是 （填写序号）
考查知识点：二次函数的图象与性质、对称轴公式、判别式的应用、二次函数与坐标轴的交点、根与系数的关系、绝对值方程的求解.
能力要求：二次函数图象的分析能力、方程根的判断能力、分类讨论思想的运用能力、数形结合解决绝对值问题的能力.
考法特点：以二次函数的通用解析式为载体，设计多个结论判断，覆盖二次函数的核心知识点，侧重基础性质的灵活应用和分类讨论思想的考查.
3．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ）
②函数一定不是“对偶函数”；（ ）
③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ）
(2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
(3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
考查知识点：新定义 “对偶点”“对偶函数” 的理解与应用、一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、函数与坐标轴的交点.
能力要求：新定义的转化能力、函数性质的灵活应用能力、方程思想与数形结合思想的运用能力、分类讨论思想的应用能力.
考法特点：以新定义为载体，跨越多类函数（一次、反比例、二次），设计判断、计算、范围求解等多种题型，侧重综合应用能力和创新思维的考查，是中考压轴题的常见形式.
4．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
考查知识点：二次函数的图象平移规律（左加右减）、二次函数解析式的推导、二次函数的最值、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数与坐标轴的交点.
能力要求：二次函数平移的应用能力、二次函数与一次函数的结合分析能力、利用二次函数性质求取值范围的能力、分类讨论思想的运用能力.
考法特点：以二次函数平移为核心，结合一次函数的顶点轨迹设计问题，分基础计算（平移后与 y 轴交点）、范围求解（给定 k 和 m 范围求 n）、趋势判断（分类讨论 k 的符号分析 n 的变化），层层递进，侧重基础性质的灵活应用.
5．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
考查知识点：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称轴与顶点、二次函数的最值、点关于点的中心对称、平行四边形的性质、角度关系与直线斜率的综合应用.
能力要求：二次函数解析式的求解能力、对称点坐标的计算能力、二次函数区间最值的分析能力、分类讨论思想的应用能力、几何图形与函数的结合推理能力.
考法特点：以二次函数为载体，融合中心对称、平行四边形等几何知识，设计解析式求解、对称点坐标、区间最值、角度条件下的范围问题，覆盖 “代数求解 + 几何推理”，综合性强，符合中考压轴题的命题特点.
题型01 二次函数的定义（★）
1．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ．
2．（2025·河南开封·一模）下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·福建龙岩·月考）已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ．
题型02 待定系数法求二次函数解析式（★）
4．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… …
… …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象经过第二、三、四象限
C．当时，的值随的值增大而增大
D．图象的对称轴是直线
5．（2025·安徽阜阳·三模）已知，，，，若抛物线与轴有两个交点，则此抛物线可能经过（ ）
A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点
6．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）一条抛物线和的图象形状相同，且函数有最小值，顶点坐标是，则此抛物线的函数关系式为
7．（2023·江苏扬州·二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
题型03 二次函数的图像与性质（★★）
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：
… 0 1 5 6 …
… 14 14 23 …
则下列结论中，正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象的对称轴是直线
C．有最小值
D．若点都在抛物线上，则
9．（2025·辽宁抚顺·一模）边长为的正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．如图将正方形绕顶点逆时针旋转，使点恰好落在抛物线上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，的取值范围为
D．关于的方程的一个解小于
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论：
①；
②若，两点均在此函数图象上，则；
③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
④．
其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号）
12．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线
(1)若求的值；
(2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由．
13．（2025·安徽·模拟预测）抛物线顶点坐标为且过点．
(1)时，求抛物线解析式；
(2)在（1）的条件下，点P位于抛物线在y轴右侧的图像上，求点P到直线距离的最大值；
(3)当，时，求y的最小值的取值范围
题型04 二次函数图像与各项系数的关系（★）
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．点的坐标为
D．
15．（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数 (a，b，c为常数，)的图像经过点，下列四个结论：①；②；③若，则对任意x，都有；④记S为函数的最小值，若恒成立，则；其中正确的有 ．
17．（2025·宁夏银川·二模）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；
其中正确的结论有 ．
题型05 函数图像综合（★★）
18．（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
19．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
20．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
21．（2025·湖南邵阳·三模）如图，一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中，，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型06 根据二次函数的增减性求最值（★）22．（2025·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值
23．（2024·贵州黔东南·二模）已知二次函数的图象如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．关于直线对称 B．有最小值，有最大值3
C．y值随x值的增大而增大 D．有最小值0，有最大值3
24．（2025·浙江·模拟预测）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
25．（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·浙江杭州·二模）二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1)当，且时，
①求b，c的值；
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值；
(2)若，求的最小值．
27．（2023·云南楚雄·二模）已知二次函数
(1)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
题型07 根据二次函数的性质求参数（★★）
28．（2025·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是 ．
31．（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数．
①若此二次函数图像开口向下，则a值为
②在①条件下，若时，满足，则m的值为
题型08 根据新函数推断其性质（★★★）
32．（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究．
(1)当时，
①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；
②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围．
33．（2025·广东佛山·三模）已知二次函数．
【特例分析】
（1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象；
【性质探究】
（2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______；
【性质运用】
（3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
（4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______；
（5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______；
34．（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数．
现有分段函数．
已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点．
(1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像；
(2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围．
题型09 二次函数的平移问题（★）
35．（2025·广西崇左·一模）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（ ）
A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位
C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位
36．（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在第 象限．
37．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
38．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上．
(1)当时，比较和的大小，并说明理由；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
题型10 二次函数与坐标轴交点问题（★）
39．（2025·河南郑州·一模）抛物线与轴有两个交点，的取值范围是 ．
40．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个．
41．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ．
42．（2025·湖北武汉·一模）如图，已知抛物线，根据图象，回答下列问题：
(1)判断下列各代数式的符号：a，b，c，，，；
(2)写出不等式的解集；
(3)若方程，有两个不相等的实根，求k的取值范围．
题型11 二次函数与不等式问题（★）
43．（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
44．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2025·上海·模拟预测）在函数的学习过程中，图像始终是不可或缺的一部分，它是我们认识一个未知函数的窗口．有些时候，当遇到一些棘手的函数问题时，我们同样可以通过图像法来解决，数形结合是十分重要的一个点，不光是对于考试中应试的重要，更是对于数学学习及未来生活的重要．
例：解不等式．
解：如图所示，作出函数与的图像．
可以发现，直线与抛物线的两个交点的中间部分，抛物线的函数值大于直线的函数值，故而求出两个交点，即可解出此不等式，其解集为 ．
46．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：．
第一步：化为一般式：；
第二步：求相应方程的根：，解得，；
第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）；
第四步：根据图象得到不等式的解集为．
根据以上方法解决问题：
(1)一元二次不等式的解集为 ；
(2)一元二次不等式的解集为 ；
(3)一元二次不等式的解集为，则 ， ；
(4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ．
题型12 二次函数与新定义问题（★★★★）
47．（2025·上海·模拟预测）
定义 平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”．
根据定义完成下列问题．
(1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点．
①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）．
②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式．
(2)现对定义提出以下命题：
命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等．
命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为．
以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择．
48．（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
49．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．
50．（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
(2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
(3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
题型13 二次函数的推理与证明（★★★）51．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，已知抛物线，将抛物线E向下平移1个单位长度后得到抛物线F，记抛物线F的顶点为P，坐标原点O关于P点的对称点为Q，过点Q且平行于x轴的直线记为l，抛物线F上有一动点（位于y轴的左边），连接并延长交抛物线F于点B，过点B作平行y轴交的延长线于C点．
(1)证明：C点在直线l上；
(2)过A点作垂直l，垂足为D，证明：是等腰三角形；
(3)如图2，已知线段的端点M、N均在抛物线F上，且，线段的中点为G，当线段的长最小时，求A点的坐标．
52．（2025·安徽马鞍山·三模）已知点在关于x的二次函数的图象上．
(1)证明：；
(2)证明：当b的值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值；
(3)若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．
（ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数；
（ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围．
53．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小．
54．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，反比例函数的图象与直线交于、两点．分别过、作轴的垂线，垂足分别为、四边形面积为，规定．
(1)求函数的表达式；
(2)证明：当时，关于的方程有三个不同的实数根．
题型14 公共点问题（★★★）
55．（2025·湖南长沙·一模）定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”．
(1)下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号）
(2)与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积；
(3)设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值．
56．（2025·江苏南京·三模）已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴有公共点．
(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________．
(3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围．
57．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，点为抛物线上任意一点；抛物线与轴的交点坐标为．过点作线段轴，点在点的右侧，，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)用含的代数式表示点的坐标；
(3)当线段与抛物线没有公共点时，直接写出的取值范围；
(4)当线段与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出的取值范围．
题型15 定点、定值、整数点问题（★★★）58．（2025·四川南充·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，直线与抛物线，x轴分别交于点M，N，于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线与抛物线交于点R，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
59．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长．
(3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形．
60．（2025·云南曲靖·二模）在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：，
这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用．
已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，．
(1)求此二次函数的解析式（也称表达式）；
(2)若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由．
61．（2025·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P．
(1)若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个；
(2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求a的值；
(3)若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围．
题型16 二次函数与一次函数综合（★★）
62．（2025·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像经过，两点，一次函数的图像与轴交于点．
(1)填空：______，______；
(2)求证：二次函数与一次函数的图像总有交点；
(3)当点到一次函数的图像的距离最大时，设此时一次函数与二次函数的图像交于两点（点在点的右侧），试判断在线段上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
63．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标；
(3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标．
64．（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：的值为定值；
(3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围．
65．（2025·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点．
(1)求一次函数和二次函数的表达式；
(2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标；
(3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表：
其中．以下结论： ；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根； ；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；
②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；
③若，则；
④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于 D．当时，
5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．阴影部分的面积为4
6．（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ．
9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
10．（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ．
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ．
12．（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．
（1）函数的图象上的“倍值点”是 ．
（2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是 ．
13．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
14．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．
①若，当时，求的取值范围．
②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
15．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
16．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
17．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3.1.感受可能性暑期专项练习2025-2026学年北师大版
七年级数学下册
一、单选题
1．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件
B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件
D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
2．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人通过步数共捐赠了6.8元，且甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，则下列说法不正确的是（ ）．
A．甲可能走了10000步 B．丙可能走了21000步
C．乙可能走了17000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了53000步
3．如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大
A．东 B．北 C．西 D．南
4．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（ ）
A． B．
C． D．
5．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（ ）
A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子
C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大
6．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（ ）
A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件
B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件
C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件
D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0
7．下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件
B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是
9．“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确
10．中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（ ）
A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲
C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法
二、填空题
11．“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．在“清明”这个节气会下雨是__________事件（填“不可能”“随机”或“必然”）．
12．“若是有理数，则”是______事件．
13．将一个小球放在如图所示的图纸上自由滚动，停在( )区域上的可能性最小，停在( )区域上的可能性最大．
14．如图，不透明的袋子装有除颜色外，其他完全相同的10个小球，其中有9个白球，1个红球．从袋子中拿出__________（填“红”或“白”）球的可能性最大．
15．八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 _____（填序号）．
三、解答题
16．不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，每个球除颜色外都相同，每次随机摸1个球，然后放回；摇匀后，再摸第2次、第3次……．以下是小莲和小明的对话：
(1)小莲的判断正确吗？为什么？
(2)小明的说法对吗？请说明理由．
17．我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图．
如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为______．（不用列式，直接填空）
18．从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”．
(1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______；
(2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来．
19．如图是一个可以自由转动的转盘，利用这个转盘与同伴做下面的游戏：
（1）自由转动转盘，每人分别将转出的数填入四个方格中的任意一个；
（2）继续转动转盘，每人再将转出的数填入剩下的任意一个方格中；
（3）转动四次转盘后，每人得到一个“四位数”；
（4）比较两人得到的“四位数”，谁的大谁就获胜．
多做几次上面的游戏．在做游戏的过程中，你的策略是什么？你积累了怎样的获胜经验？
20．在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A D B C D C D
1．C
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析，需根据三类事件的定义判断各选项语句对应的事件类型，然后即可求解．
【详解】解：∵必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
∴A. 成语“刻舟求剑”是不可能事件，判断错误；
B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件，判断错误；
C. 成语“水中捞月”是不可能事件，判断正确；
D. 谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，判断错误．
故选：C．
2．C
【分析】甲乙丙三人某天通过步数共捐赠了6.8元，可得三人走路的步数的最小值，依据甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，即可得到甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数，进而得到结论．
【详解】解：6.8÷0.0002=34000步，
∴平均每人走路34000÷3≈11333步，
∵甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，
∴甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数，
∴甲可能走了10000步，丙可能走了21000步，故A、B选项正确，不合题意；
若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和大于34000步，故C选项错误，符合题意；
若丙走路34000步，而甲乙两人走路步数都小于10000步，则甲、乙、丙可能共走了53000步，故D选项正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
3．C
【分析】本题考查了事件的可能性判断，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能，到了第二个路口，则需要剔除掉来时的方向，据此作答即可．
【详解】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能．
而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能；
如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能；
如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能；
但是这三种情况下，都有向西的可能．
所以它一直向西行驶的概率较大．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键；
本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解；
【详解】解：A、摸出红球的概率为；
B、摸出红球的概率为；
C、摸出红球的概率为；
D、摸出红球的概率为；
∵，
∴A选项摸出红球可能性最大，
故选：A；
5．D
【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答．
【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少，
菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件、必然事件、不确定事件的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》不是不可能事件，故选项不符合题意；
B、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件，正确，故选项符合题意；
C、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是不确定事件，故选项不符合题意；
D、随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则不确定全市学生都没看过《哪吒2》，故选项不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了确定事件的定义，掌握确定事件是指必然事件和不可能事件的总称，是解题的关键．根据确定事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：同位角相等只有在两直线平行时成立，否则不一定，是随机事件，不是确定事件；
标准大气压下，水在零下会结冰，是必然事件，是确定事件；
三角形内角和恒为，不是，是不可能事件，是确定事件；
电影票座号可能是偶数或奇数，是随机事件，不是确定事件；
一个月最多天，在同一个月出生的个人中至少两人生日相同，是必然事件，是确定事件；
三条线段需满足三角形三边关系才能组成三角形，是随机事件，不是确定事件．
确定事件有，共个．
故选：C．
8．D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案．
【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误；
∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误；
∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误；
∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确．
9．C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到，
∴该事件是随机事件．
10．D
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，结合历史常识判断各事件能否在唐朝发生即可得到答案．
【详解】解：∵不可能事件是一定不会发生的事件，王安石是北宋时期人物，青苗法、募役法是北宋王安石变法的内容，不可能出现在唐朝，
∴ D选项描述的事件是不可能事件.
其余选项中，杨贵妃、元稹、白居易、李白均为唐代人物，对应的事件都可能在唐朝发生，不符合要求．
11．
随机
【详解】解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，是随机事件.
12．必然
【分析】先根据绝对值的性质判断命题的真假，再结合事件的分类定义判断事件类型．
【详解】解：根据绝对值的性质可知：对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，根据定义，在一定条件下必然发生的事件称为必然事件，因此该事件是必然事件．
13． A D
【分析】此题考查了判断事件发生的可能性的大小、含多边形的组合图形的面积、不规则图形的面积，
假设小正方形的边长是1厘米，分别计算出A、B、C、D，4个区域的面积，哪个区域的面积最小，小球停在哪个区域的可能性最小，哪个区域的面积最大，小球停在哪个区域的可能性最大．
【详解】A区域的面积（平方厘米），
B区域的面积：（平方厘米）
C区域的面积：（平方厘米）
D区域的面积：（平方厘米）
∵，面积最小的是A区域，面积最大的是D区域，
∴停在A区域上的可能性最小，停在D区域上的可能性最大．
故答案为：A，D．
14．白
【分析】本题考查了可能性的大小，要求可能性的大小，只别求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记出各自的数目．
分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【详解】解：因为袋子中有9个白球， 1个红球，从中任意摸出一个球，
摸出白球的概率是：
摸出红球的概率是；
可见摸出白球的可能性大．
故答案为：白．
15．③
【分析】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案．
【详解】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；
②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
，
发生可能性最小的事件为为③，
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了基本可能性的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
16．(1)不正确，理由见详解
(2)错误，理由见详解
【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键．
（1）根据事件发生的可能性进行判断即可；
（2）根据事件发生的可能性进行判断即可；
【详解】（1）解：不正确，理由如下：
小莲同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，
这种判断不正确，
因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件；
（2）解：错误，理由如下;
小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，
因为只知道不透明的盒中装有红球、黄球和白球共10个，且红球数、黄球数及白球数不可能相等，那么他们的可能性就不一样．
17．
【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图，由名学生中有人选择足球，得女生中有人选择足球，得女生有人，女生选篮球有人，得男生有人，男生选篮球有人，得这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小．
【详解】解：由名学生中有人选择足球，
由条形统计图可知：男生选择足球的人数为人，
女生中有人选择足球，
由扇形统计图可知：女生中选择足球的占调查人数的，
调查的名学生中，女生有人，
女生选篮球有人，
调查的名学生中，男生有人，
男生选篮球有人，
这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小．
故答案为：．
18．(1)D，
(2)见解析
【分析】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法．
（1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案；
（2）根据所求数据表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为，
事件“取到的倍数”的可能性大小为，
事件“取到比大的数”的可能性大小为，
事件“取到整数”的可能性大小为，
所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是，
故答案为：、；
（2）如图：
19．策略：每次转盘得到一个数字后，根据数字大小决定它放在四位数的哪一位：
大数字（如 ）尽量往高位（千位、百位）放；
小数字（如 ）尽量往低位（十位、个位）放；
中等数字（如）根据剩余空位和后续可能出现的数字灵活安排，优先为更大的数字预留高位，
获胜经验：
高位优先，大数占高位对最终数值影响最大，
预留空间，不要一开始就用中等数字占满高位，以免后面出现大数无处可放．
【分析】本题通过“随机数字自主放置”的游戏形式，考查概率意识与优化决策能力．获胜的核心策略是：大数优先占据高位，小数尽量放低位，并为后续可能出现的更大数字预留空间．
【详解】解：由题意，
第一次转动：得到8，
8很大，直接放在千位，
第二次转动：得到4，
4不算大，也不太小，千位已占，剩下百、十、个位，
优先把后续可能出现的大数留给百位，所以4放在十位或个位，这里选择个位，
第三次转动：得到9，
9是最大数字，必须放在剩下的最高位：百位，
第四次转动：得到2，
最终四位数：；
同伴第一次转：得到8，放在个位，第二次：得到4，放在千位，第三次：得到9，放在百位，第四次：得到2，放在十位，最终四位数：，
结果：，获胜．
通过几次的游戏，
我的策略：每次转盘得到一个数字后，根据数字大小决定它放在四位数的哪一位：
大数字（如 ）尽量往高位（千位、百位）放；
小数字（如）尽量往低位（十位、个位）放；
中等数字（如）根据剩余空位和后续可能出现的数字灵活安排，优先为更大的数字预留高位，
获胜经验：
高位优先：大数占高位对最终数值影响最大，
预留空间：不要一开始就用中等数字占满高位，以免后面出现大数无处可放．
20．当时，是不可能事件；当时，是随机事件
【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，结合摸球数量分析组合可能性是解题关键．
根据“至少各有一个”的要求，结合摸球数量，分析所有可能的摸球组合，进而判断事件类型．
【详解】解：当时，因为总共要摸出2个球，而有3种颜色的球，所以无论怎么摸，都不可能使得红球、白球和黑球至少各有1个，所以是不可能事件；
当时，有可能出现红球、白球和黑球至少各有1个的情况，也有可能出现比如3个红球和3个白球这种情况，此时不满足红球、白球和黑球至少各有1个的要求，所以是随机事件．
答：当时，是不可能事件；当时，是随机事件．
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