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第二十七章 反比例函数
27.1反比例函数的概念
1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能正确识别反比例函数；
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式；
3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，发展抽象能力和模型观念.
思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
(1) 京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化；
在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量 v 随着 t 的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系.
解析式为v = .
思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
(2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化；
在问题(2)中，有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系.
解析式为y = .
思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
(3) 李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化.
在问题(3)中，有两个变量Q与t，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系.
解析式为Q = .
思考：这些解析式有什么共同特点？
v = ，y = ，Q = .
上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数.
一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数.
注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义.
反比例关系 反比例函数
区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x 5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = （k 为常数，k≠0）的函数.
联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系
下列函数：
① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ （a 为常数）.
其中 是 的反比例函数的有___________________.（填序号）
例1
①②③⑦⑧
易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别
反比例函数的常见形式：
①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0）
用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数.
(1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系；
(2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系；
解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数.
(2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数.
例2
用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数.
(3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系；
(4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系.
W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ）
解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数.
(4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数.
例2
例3
已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= .
把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值.
解：(1) 设 .
因为当 x=2 时，y=6，
所以
解得 k = 12.
因此
(2) 把 x=4 代入 y， 得
用待定系数法求反比例函数的解析式
在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对 的对应值，就可以求出待定系数 的值，从而确定反比例函数的解析式.
实质是代入一对 x，y 的对应值解方程
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）；
二代：把 x，y 的一对对应值代入 中，得到一个关于 k 的方程；
三解：解方程，求出 的值；
四写：将 的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式.
已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，y=－.
跟踪训练
(1)求 y 关于 x 的函数解析式；
(2)当 x= -8 时，求 y 的值；
(3)当 y=12 时，求 x 的值.
己经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例”时，可直接设函数的解折式为 y
解：(1)设（）.
因为当时，，所以，解得,
所以.
(2)当x=-8时，.
(3)当y=12时，12，所以.
易错：代入-8时，不要漏掉解析式中原有的负号
1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系：
（1）一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度v（单位：m3/h）的变化而变化；
（2）学校准备将1 000 m 实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y（单位：m2）随班级个数 x 的变化而变化；
（3）在某次物理实验中，电路中的电压 U 为3 V，则该电路中的电流I（单位：A）随电阻R（单位：Ω）的变化而变化 .
解：(1) （v>0）.
(2) y（x为正整数）.
(3) （R > 0）.
2.已知 y 是x的反比例函数，当 x=－2 时，y=4. 求这个函数的解析式和自变量的取值范围.
解：设 y（k ≠ 0）.
∵ 当x=-2时，y=4，
∴ 4 = ，解得 k=8，
∴ y=.
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
解：对应的函数值 y 缩小到原来的 . 理由如下：
已知反比例函数 （k>0），当自变量 扩大到原来的 a 倍(a2，且 a 为正整数)时，记相应的自变量及函数值分别为x′，y′，
则x.
将 x′代入反比例函数解析式，得 y′ y .
因此，对应的函数值 y 缩小到原来的 .
3. 已知反比例函数 （k>0），当自变量 扩大到原来的 倍（a≥2，且 为正整数）时，对应的函数值 将如何变化？请说明理由.
4. 已知 y－3 与 x 成反比例，并且当x=2时，y=6.
(1)求y关于x的函数解析式，y是x的反比例函数吗？
解：(1) 设 y-3（k≠0），
因为当 x=2时，y=6 ，所以 6-3 ，
解得 k=6.
所以y-3，
整理，得 y +3.
形如 y（k 为常数，k≠0）的函数是反比例函数，而 y +3多了常数项 3，因此 y 不是 x 的反比例函数.
4. 已知 y－3 与 x 成反比例，并且当x=2时，y=6.
(2)当 x=-8 时，求y的值.
(3)当 y=12 时，求x的值.
解：(2) 将 x=-8 代入解析式 +3，
.
(3)将 y=12 代入解析式 +3，
得 12，
所以 .
一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数
①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0）
三种形式
概念
确定解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式
设、代、解、写
反比例函数
实际问题
抽象

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