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27.2反比例函数的图象和性质
课时 1
第二十七章 反比例函数
1.类比一次函数、二次函数能用描点法画反比例函数的图象，体会类比思想在数学中的应用；
2.能根据解析式 y（k为常数，k≠0）和图象，探索并理解 k>0 和 k<0 时函数的图象特征和性质，体会分类讨论和数形结合的数学思想，发展几何直观和推理能力.
思考 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？
在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数.
与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式 y（k为常数，k≠0）中的 k 分情况讨论，即分 k>0，k<0 两种情况.
先研究 k>0 时的情况，我们从具体的反比例函数开始.
探究 对于反比例函数y = 与 y = ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？
反比例函数y = 与 y = 自变量的取值范围均是x ≠ 0.
图象是位于第一、第三象限的两条曲线，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
画出函数图象验证一下吧！
下面用描点法画函数y=与 y=的图象.
(1) 列表. 写出几组 x 与 y 的对应值（填空）：
x … 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 …
y= … 1 3 1 …
y= … 1 2 3 6 2 1 …




3
6

3



(2) 描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3) 连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y=与 y=的图象.
y=
y=
因为x≠0，所以函数图象由两支曲线组成.
y=
y=
(1)两函数的图象均分别位于第一、第三象限.
(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.
理由：在每一个象限内，当x的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的y的值逐渐减小.
思考 观察反比例函数y=与 y=的图象，回答下列问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
探究 利用信息技术工具，画反比例函数 y（k>0）的 k 取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
能得出同样的结论.
(1)函数的图象均分别位于第一、第三象限.
(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小.
一般地，当 k>0 时，对于反比例函数 ，结合函数图象（如图）与解析式，可以发现：
（1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
探究 回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数y=（k>0）的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数y=（k<0）的图象和性质吗？
1.选取具体函数（k<0 的例子）
取 k=-3 和 k=-6，即研究函数 yy
2.列表.
x … 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 …
y=－ … 1 3 3 1 …
y=－ … 1 2 3 6 6 3 2 1 …
3.描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
4.连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y=－与 y=－的图象.
y
y
(1)两函数的图象均分别位于第二、第四象限.
(2)在每一个象限内，y随x的增大而增大.
思考：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
探究 利用信息技术工具，画反比例函数 y（k < 0）的 k 取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
能得出同样的结论.
(1)函数的图象均分别位于第二、第四象限.
(2)在每一个象限内，y随x的增大而增大.
一般地，当 k<0 时，对于反比例函数 ，结合函数图象（如图）与解析式，可以发现：
（1）函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
反比例函数 y 的图象特征和性质如下：
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线；
(2)当 k>0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
拓展：反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习）
已知反比例函数y=，下列结论正确的是 （ ）
A.图象位于第二、第四象限
B.当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大
C.图象经过点(-2，-2)
D.图象与y轴的交点为 (0,4)
例1
k>0，图象位于第一、第三象限
当x＜0时，y 随 x 的增大而减小
图象与 y轴没有交点
C
跟踪训练
在反比例函数 y 的图象所在的每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ）
A. k>-1 B. k>0
C. k≥-1 D. k<-1
解析：根据题意，得 k+1<0，
解得 k<-1.
D
如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
C
2.函数 y=－ 的图象大致是（ ）
A
3. 填空题.
(1) 反比例函数 的图象如图（1）所示，则 ______ 0，在每一个象限内，
y 随 x 的增大而 ______；
(2) 反比例函数 的图象如图（2）所示，则 ______ 0，在每一个象限内，
y 随 x 的增大而 ______；
(3) 若点（1，3）在反比例函数 的图象上，则 ______，在每一个象限内，y 随 x 的增大而 ______.
>
减小
<
增大
3
减小
4. 已知反比例函数 ， 当 x<0 时， y 随着 x 的增大而增大， 则整数 k 的值可以是　 　． (只填一个)
解析：当 时， 随着 的增大而增大，
∴图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k为负整数，故k的值可以为-1.
-1
反比例函数
函数图象
函数的性质
列表、描点、连线
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小
增减性
关于直线y=x 和 y=-x 对称
关于原点中心对称
对称性
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大

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