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第二十七章 反比例函数
章末小结
实际问题
实际问题
的答案
利用反比例函数的图象和性质求解
反比例函数 y=
图象
性质
归纳
抽象
目标
知识点1 反比例函数的概念
反比例函数的概念：
一般地，形如 y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数．其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数．
反比例函数的三种表示形式：
①y=（k为常数，k≠0）．
②（k为常数，k≠0）．
③xy=k（k为常数，k≠0）．
知识点1 反比例函数的概念
下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：A．是反比例函数，故该选项不符合题意；
B． 是正比例函数，故该选项符合题意；
C． 是反比例函数，故该选项不符合题意；
D． 是反比例函数，故该选项不符合题意.
B
例1
例2
知识点1 反比例函数的概念
已知函数是关于 x 的反比例函数，则实数m的值是 ．
2
解析：∵函数是关于的反比例函数，
∴，且，
∴ .
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
待定系数法：
在反比例函数 y= (k为常数，k≠0) 中，只有一个待定系数k，因此只要给出一对x，y的对应值，就可以求出待定系数 k 的值，从而确定反比例函数的解析式.
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）；
二代：把 x，y 的一对对应值代入 中，得到一个关于 k 的方程；
三解：解方程，求出 k 的值；
四写：将 k 的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式.
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
已知y是x的正比例函数或反比例函数，下表给出了x与y的一些对应值：
x 3 2 1 1 3
y 1 2 4 4 2 1
(1)判断y 是x 的正比例函数还是反比例函数，并求出这个函数的解析式.
(2)根据解析式完成上表.
解：(1) 表格中给出的4组对应值的乘积均为-2，
所以y是x的反比例函数，且函数解析式为 .

﹣

2
例3
已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x+1成反比例，并且当x=1时，y=3，当x=-3时，y=-6.
(1)求y关于x的函数解析式； (2)当x=-2时，求y的值.
例4
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
解：(1) ∵ y1与 x 成正比例，y2与 x+1 成反比例，
∴ 可设 y1，y（k1≠0，k2≠0）.
∵ y，
∴ .
∵ 当 x=1 时，y=3，当 x=-3 时，y=-6,
∴ 解得
∴ y .
(2) 当 x=-2 时，
y×(-2)
= ﹣3﹣3
=﹣6.
知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式
如图，物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：g/cm3 ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h=20 cm.
(1) 求h关于的函数解析式；
(2) 当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25 cm，求该液体的密度.
解：(1) 由题意可设 （k≠0）.
把 ρ=1，h=20 代入，得 k=1×20=20，
∴ h 关于 ρ 的函数解析式为 .
(2) 把 h=25 代入 h，得 0.8，
∴ 该液体的密度 为 0.8 g/cm3.
例5
知识点3 反比例函数的图象和性质
反比例函数 y（k为常数，k≠0） k的符号 k>0 k<0
图象
图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线. 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限
增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 反比例函数的图象和性质：
例6
知识点3 反比例函数的图象和性质
已知反比例函数 y=（k为常数，k≠0）的图象经过点 A(，-6)．
（1）求这个函数的解析式．
（2）判断点B（-3，-1），C(5，﹣)是否在这个函数的图象上．
（3）当1＜x ≤3 时，直接写出y的取值范围．
∴ k(-6)-3,∴ 反比例函数的解析式为 y.
（2）当 x=-3 时，y=，∴点B（-3，-1）不在反比例函数 y 的图象上；
当 x=5 时，y，所以点 C(5，﹣)在反比例函数 y 的图象上.
（3）当 1解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点 A(，-6)，
例7
知识点3 反比例函数的图象和性质
已知反比例函数 y 的图象的一支位于第一象限.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 a 的取值范围是什么？
(2) 在该函数图象上任取点 A(x1，y1 ) 和点 B(x2，y2 ).如果 y1y2 ，那么x1 与x2 有怎样的大小关系？
解：(1) ∵ 反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴ 图象的另一支位于第三象限，
∴ 反比例函数 y 的图象位于第一、第三象限，
∴ ，即 .
例7
知识点3 反比例函数的图象和性质
已知反比例函数 y 的图象的一支位于第一象限.
(2) 在该函数图象上任取点 A(x1，y1 ) 和点 B(x2，y2 ). 如果 y1y2 ，那么x1 与x2 有怎样的大小关系？
解：(2) ① 当点 A 和点 B 在这个函数图象的同一支上时，
∵在这个函数图象所在的每个象限内，y 随 x 的增大而减小， y2，
∴ x1② 当点 A 和点 B 在这个函数图象的两支上时，
∵y2,
∴ 点 A 在第一象限，点 B 在第三象限，
∴ ，∴ x1>x2.
综上，当点 A 和点 B 在这个函数图象的同一支上时，x1当点 A 和点 B 在这个函数图象的两支上时，x1>x2 .
A
B
B
例8
知识点3 反比例函数的图象和性质
a≠0，函数 y 与 y=﹣ax2+a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
D
解析：当 a>0 时，函数 y 的图象位于第一、第三象限，函数 y=﹣ax2+a 的图象开口向下且与 y 轴的交点在 x 轴上方，没有符合的选项；
当 a<0 时，函数 y 的图象位于第二、第四象限，函数 y=﹣ax2+a 的图象开口向上且与 y 轴的交点在 x 轴下方，D 选项符合.
如图，已知A（-4，2），B（n，-4）两点是一次函数 y=kx+b 和反比例函数
y= 图象的两个交点，点C是直线AB与x轴的交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
例9
知识点3 反比例函数的图象和性质
解：(1) 把点A（-4，2）的坐标代入，得
m=2×(-4)=-8,
所以反比例函数的解析式为 y.
把点 B(n，-4) 的坐标代入 ，得 -4n=-8，解得 n=2.
把点A(-4，2)，B(2，-4)的坐标分别代入y=kx+b，得
解得
所以一次函数的解析式为 y=-x-2.
如图，已知A（-4，2），B（n，-4）两点是一次函数 y=kx+b 和反比例函数
y= 图象的两个交点，点C是直线AB与x轴的交点.
(2)求△AOB 的面积；
例9
知识点3 反比例函数的图象和性质
解：(2) y=-x-2 中，令 y=0，则 x=-2，
即直线 y=-x-2 与 x 轴交于点 C(-2，0),
所以
×2×2×2×4
6
解：(3)不等式 kx+b->0 的解集即不等式 kx+b> 的解集，
即一次函数图象在反比例函数图象上方的部分所对应的x的取值范围.
由图可得，不等式kx+b->0的解集为x<-4或0不要只求一个象限内的范围
而漏掉另一个象限内的范围
如图，已知A（-4，2），B（n，-4）两点是一次函数 y=kx+b 和反比例函数
y= 图象的两个交点，点C是直线AB与x轴的交点.
(3)观察图象，直接写出不等式 kx+b－>0 的解集.
例9
知识点3 反比例函数的图象和性质
知识点3 反比例函数的图象和性质
借助函数图象解 k1x+b（）型不等式的方法
① I，Ⅲ区域内： > ax+b，自变量的取值范围为 x② Ⅱ，Ⅳ区域内： < ax+b，自变量的取值范围为 xBxA.
（1）定点：确定两个函数图象的交点坐标.
（2）分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将坐标平面分为四部分（I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ).
（3）确定范围：根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大，在各区域内找相应的x的取值范围.（如图）
知识点4 实际问题与反比例函数
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系.
设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数.
写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题.
检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性.
实际问题
建立反比例函数模型求解
实际问题的解
在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p (kPa)与汽缸内气体的体积V (mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示. 若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了_______mL.
例10
知识点4 实际问题与反比例函数
解析：设 （k≠0），∵ 点 (100,60) 在该函数图象上，
∴ 60，解得 k=6 000，
∴ .
当 p=75 kPa时，V（mL）；
当 p=100 kPa时，V（mL）.
80-60=20（mL），
∴若压强由 75 kPa 加压到 100 kPa，则气体体积压缩了 20 mL.
20
如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1 600N，阻力臂长为0.5 m.设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
例11
知识点4 实际问题与反比例函数
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）当动力臂长为2 m时，撬动石头至少需要多大的力？
解：(1) 由题意可得 xy=1 600×0.5=800，
∴y关于x的函数解析式为y=.
(2) 当 x=2 m时，y==400（N），
∴ 当动力臂长为 2 m 时，撬动石头至少需要 400 N 的力.
（3）王先生若想使动力不超过310 N，在动力臂最大为2.5 m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
例11
知识点4 实际问题与反比例函数
解：(3) 他不能撬动这块石头，理由如下：
对于 y=，当x＞0时，y随x的增大而减小.
又∵ 0∴y≥=320.
∵320>310，
∴ 在动力臂最大为 2.5 m 的条件下，他不能撬动这块石头.
工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个程序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧，进行锻造操作.如图所示，煅烧时，温度y (℃)与时间x (min)成一次函数关系；锻造时，温度y (℃)与时间x (min)成反比例函数关系.已知该材料初始温度是32 ℃，第8 min时，材料温度降为600 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
例12
知识点4 实际问题与反比例函数
解：(1) 设锻造时的函数解析式为 y（k≠0），
则 600，解得 k=4 800，所以 y.
当 y=800 ℃ 时，x=6 min，
所以锻造时的函数解析式为 y（x>6），
且点 B 的坐标为 (6,800).
设煅烧时的函数解析式为 y=ax+b（a≠0），
则解得
所以煅烧时的函数解析式为 y=128x+32（0≤x≤6）.
工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个程序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧，进行锻造操作.如图所示，煅烧时，温度y (℃)与时间x (min)成一次函数关系；锻造时，温度y (℃)与时间x (min)成反比例函数关系.已知该材料初始温度是32 ℃，第8 min时，材料温度降为600 ℃.
(2)根据工艺要求，锻造期间当材料温度低于480 ℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
例12
知识点4 实际问题与反比例函数
解：(2) 当 y=480 ℃ 时，x10 (min).
10-6=4（min），
所以锻造的操作时间有 4 min.
知识点4 实际问题与反比例函数
分段函数的求解思路
(1)由自变量的不同取值范围，确定对应的函数解析式.
(2)要弄清函数、自变量的取值范围，所给的自变量或函数值应代入哪个函数解析式中.
(3)运用相应函数的性质解题.

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