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嘉祥县第一中学 2025-2026学年度高一年级下学期 6月质量检测
数 学
一、单选题
1．数据 5，7，3，2，11，13的第 70百分位数为（ ）．
A．7 B．11 C．13 D．17
2．若平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．对某地区 2023年的学生人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年
级学生人数最多，八年级学生人数最少，七年级学生人数约为 1.2万，则（ ）
A．该地区 2023年的学生人数约为 30万
B．该地区 2023年高中生的人数比八年级学生人数的 2倍还多
C．该地区 2023年小学生的人数比初中生 高中生和大学生的人数之和还多
D．该地区 2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为
4．已知复数 满足 ，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，点 满足 ，点 在射线 AD（不含点 A）上移动，若 则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在几何体 中， 是边长为 2的等边三角形，侧棱 均垂直于底面
， ， ， ，则该几何体的体积是（ ）.
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A． B． C． D．
7．在 中，角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，且 ，则 一定是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
8．已知正方体 的棱长为 1，点 在线段 上，有下列四个结论：
① ；
②点 到平面 的距离为 ；
③二面角 的余弦值为 ；
④若四面体 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的体积为 .
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．一组互不相等的样本数据 ，其平均数为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，去掉
其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为 ，方差为 ，极差为 ，中位数为 ，则下列
选项一定正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若复数 满足 ，则（ ）
A． 的实部为 1 B． 的虚部为
C． D．
11．在正方体 中，点 分别是面 和面 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 共面 B． 与 夹角为
C． 平面 D． 平面
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三、填空题
12．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则
此球的体积为__________．
13．已知 和向量 若 ，则实数 m的值为_________．
14．在 中， ， 面积为 ，点 D为 的中点， ，设 ， ，
若点 F为 的中点，则 的最小值为___________．
四、解答题
15．已知复数 （ 为虚数单位， ）.
(1)若 为实数，求 的值;
(2)若 为纯虚数， 是关于 的方程 的一个根，求方程的另一根.
16．如图，按下列要求作答．
(1)以 A为始点，作出 ；
(2)以 B为始点，作出 ；
(3)若图表中小正方形边长为 1，求 、 ．
17．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 、 分别是 、 的三等分点（ 靠
近 ， 靠近 ）；
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(1)求证： 平面 ．
(2)在 上确定一点 ，使平面 平面 ，并证明.
18．大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、
润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉
水”之称．一果农从果园中随机抽取 100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这 100颗大黄
梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)估计该批大黄梨的平均评分 及标准差 ；
(2)若将评分位于区间 ， ， ， 内的大黄梨分别赋予普通，良果，优
果，特优果四个不同的等级，果农现有 5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量；
(3)用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售：
方案 1：不分等级卖出，单价为 8元/千克；
方案 2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示：
普 良 优 特优
等级
通 果 果 果
售价（元/千
7 8 12 15
克）
若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由．
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19．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求该三角形的周长
(3)若 ， ， 为 的平分线，求 的长．
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《2026 年 6 月月考试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B B A B ACD AC
题号 11
答案 BCD
12 ： 13 14 /0.5
15．【详解】（1）根据复数的定义可知若 为实数，则 或 ；
（2）根据复数的定义可知若 为纯虚数，则 ，
则 ，
则由 ，得 ，所以另一个根为 .
16．【详解】（1）将 的起点同时平移到 A点，利用平行四边形法则作出 ，如下图所示：
（2）先将共线向量 的起点同时平移到 B点,计算出 ,再平移向量 与之首尾相接，利用三角
形法则即可作出 ，如下图所示：
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（3）由 是单位向量可知 ，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知 .
17．【详解】（1）过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
因为 为 的三等分点，可得 ，
又因为 为 的三等分点，可得 ，
因为 且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）当点 为 上靠近点 的三等点时，能使得平面 平面 ，证明如下：
取 取一点 ，使得 ，即点 为 上靠近点 的三等点，
在 中，因为 分别为 的三等分点，可得 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又由（1）知 平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
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即当点 为 上靠近点 的三等点时，能使得平面 平面 ．
18．【详解】（1）依题意评分的平均值 ，
方差 ，
所以标准差 ；
（2）由（1）可得评分位于区间 ， ， ， 内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，
特优果，
则评分位于区间 的频率为 ，
评分位于区间 的频率为 ，
评分位于区间 的频率为 ，
评分位于区间 的频率为 ，
又果农现有 千克大黄梨，
所以普通果的质量为 千克，
良果的质量为 千克，
优果的质量为 千克，
特优果的质量为 千克.
（3）选用方案 2，理由如下：
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若按方案 1：不分等级卖出，单价为 8元/千克；
若按方案 2：分类卖出，则单价的平均值为 （元/千克），
因为 ，所以从果农的角度，采用方案 2较好.
19．【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理，可得 ，
整理得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：由（1）知： 且 的面积为 ，
可得 ，可得 ，
因为 ，由余弦定理知 ，
可得 ，可得 ，
解得 ，所以 的周长为 .
（3）解：因为 为 的平分线且 ，可得 ，
由 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，
整理得 ，所以 .
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