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江苏南京市鼓楼区名校联盟2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球．下列事件中，不可能事件是（ ）
A．摸出的3个球都是红球 B．摸出的3个球都是白球
C．摸出的3个球中有2个红球1个白球 D．摸出的3个球中有2个白球1个红球
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
6．如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．计算：__________．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9．计算的结果是______．
10．在一个不透明的袋子里装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为,则袋子内共有乒乓球的个数为_____.
11．在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________．
12．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是________．
13．已知点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是__________．
14．已知，则分式的值为______．
15．如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________．
16．如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________．

三、解答题
17．已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
18．先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值．
19．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，是的中位线，是的中线，、交于点．
求证：_________________________．
证明：
20．2025年我国行业发展迅猛，南京作为创新名城，教育普及率领先．为了解软件的使用情况，南京市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次被抽取的师生人数为_____人；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是_____；
(4)某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是多少？
21．如图，在菱形中，相交于点分别在上，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______．
22．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取．
海水深度 500 1000 1500 2000 2500
海啸行进速度 ____ 140
(1)根据海啸的行进速度公式，完成上表：
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？
(3)下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小．
其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
23．如图，在中，点E、F、G、H分别在边上，，，且平分．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
24．已知关于x的一元二次方程（k为常数）．
(1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根．
25．如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，则________．
26．如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于．
(1)填空：的度数______；
(2)求证：；
(3)如图2，在△中，，高，，求的长度．
27．如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．

(1)如图2，四边形是矩形，，，则______；
(2)如图3，四边形是平行四边形，当_______，平行四边形是菱形；
(3)如图4，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹，如若有必要，可简述作图思路）
参考答案
1．D
解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．B
解：A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误；
B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确；
C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误；
D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误；
故选：B．
3．D
【详解】A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4．C
解：∵O为的中点，M为的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
5．A
解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点，
∴设，则，，
则，
，
，
解得（负值舍去），
，
，
故选A．
6．C
解：连接，过作，
∵，分别是，的中点，
∴，
∵在中，，，，
∴，，，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
7．
解：
故答案为：．
8．
解：根据分式有意义的条件得：，
∴，
故答案为：．
9．
解：
，
故答案为：．
10．10
【详解】设有x个黄球，由题意得：，
解得：x=7，
经检验x=7满足分式方程，
7+3=10，
故答案为10．
11．
解：如图，
∵点、、分别是边、、的中点，，，，
∴，，，
∴，
∴的周长是．
故答案为：．
12．且
解：∵，
在方程两边乘以，得：，
∴，
∵方程的解是正数．
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
13．
解：∵，
∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．/0.6
解：，
，，
．
．
故答案为：．
15．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF=×2=1，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵H是DF的中点，
∴DH=FH，
在△PDH和△CFH中
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD=CF=1，
∴AP=AD-PD=1，
∴PE==，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH=EP=；
故答案为：．
16．7或
解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，则，
则四边形也是矩形，
∴，，，
∴，
由翻折可知，，，
∴，
∴，则，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，解得：，
∴；
当翻折后，点在上方时，过点作，交于于，

∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，则，
则四边形也是矩形，
∴，，，
∴，
由翻折可知，，，
∴，
∴，则，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，解得：，
∴（此时点与点重合）；
综上，或．
故答案为：7或．
17．(1)
(2)且
【详解】（1）当时，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2），
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且，
即：且
18．，当时，原式
解：
∵，，
∴，
∵，且x为正整数
∴当时，原式．
19．求证：，；证明见解析
【详解】求证：，，
证明：连接、，
∵D、F分别是、的中点，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
20．(1)400
(2)见解析
(3)90
(4)200人
（1）解：本次被调查学生的总人数为（人）；
（2）解：E类师生人数为：
（人），
则补全条形统计图如下：
（3）解：，
答：A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是．
（4）解：（名），
答：估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是200人．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)填表见解析
(2)60米
(3)①③
（1）解：当时：
，
海水深度 500 1000 1500 2000 2500
海啸行进速度 70 140
（2）解：设两处海水深度为、，由得：
当时，，
，
；
当时，，
，
；
深度差值为米，
（3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大”
海啸速度公式为（，是常数）．
从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）．
根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．．
∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确．
②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是”
设海水深度，代入速度公式：
化简：
而题目中表述为“”，描述②错误；
③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即．
从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小，
当时，；
当时，，增量；
当时，；
当时，，增量；
可见，越大，相同增量下的增量越小）．
∴描述③正确．
故答案为①③．
23．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵在与中，
，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形,
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
24．(1)见解析
(2)；
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程，得：，
解得：，
当时，方程为，
即，
，，
方程的另一个根是．
25．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
26．(1)
(2)见解析
(3)6
（1）解：过点A作于点K，如图1所示：
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵平分，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：由（1）可知：，
∴；
（3）解：将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，如图2所示：
设，则，
在中，，高，
∴，
由翻折的性质得：，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
27．(1)
(2)证明见解析
(3)作图见解析
（1）解：∵四边形是矩形，
∴， ，
∵，，
∴，
∴ ，
∴．
（2）当时，平行四边形是菱形
证明如下：
∵
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）如图，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于，连接，并延长交于点F，则点F为所求点．

理由如下：过作交于，过作交于，连接，交于，过作于，过作于，
由作图可得：，而，
∴，，
由作图可得： 作的垂直平分线交于，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即．

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