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(共20张PPT)
一、等式性质与不等式性质
导学1　不等关系与不等式
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
常见的文字语言与符号语言之间的转换
知 识 梳 理
知识点一　用不等式(组)表示不等关系
文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过
符号 语言 _________ ________ ________ ________
＞
＜
≥
≤
例1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图所示，在一个面积小于350 m2的
矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓
库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：
m)大于宽W(单位：m)的4倍；
(4)京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系.
解：(1)0＜h≤4.　(2)a＋b≥0.
(3)
(4)设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低时速为v2，普通客车的速度为v3.则有
[反思感悟]　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等；
(2)适当地设未知数表示变量；
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
知 识 点 二
知 识 梳 理
知识点二　比较法比较大小
依据 a＞b ___________
a＝b ___________
a＜b ___________
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的_______与__________的大小
a－b＞0
a－b＝0
a－b＜0
差
0
例2　(1)比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小；
(2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：(1)(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2＞0，∴(x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4).
(2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
[延伸探究]　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
[反思感悟]　用作差法比较两个实数大小的基本步骤
知 识 点 三
知识点三　作差法证明不等式
例3　试证明重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.
证明： a，b∈R，有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2－2ab≥0.由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
[反思感悟]　作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要先将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立.
随 堂 巩 固
1. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系(　　)
A. T＜40 B. T＞40
C. T≤40 D. T≥40
C
2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 与x有关
A
3. 不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__________.
a＝2
4. 若实数a＞b，则a2－ab__________ba－b2(填“＞”或“＜”).
＞2.1导学1　不等关系与不等式
知识点一　用不等式(组)表示不等关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过
符号语言 　＞　 　＜　 　≥　 　≤　
例1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图所示，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍；
(4)京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系.
解：(1)0＜h≤4.　(2)a＋b≥0.
(3)
(4)设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低时速为v2，普通客车的速度为v3.则有
[反思感悟]　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等；
(2)适当地设未知数表示变量；
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
知识点二　比较法比较大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
依据 a＞b 　a－b＞0　 a＝b 　a－b＝0　 a＜b 　a－b＜0　
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的　差　与　0　的大小
例2　(1)比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小；
(2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：(1)(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2＞0，∴(x＋2)(x＋3)＞(x＋1)(x＋4).
(2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
[延伸探究]　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
[反思感悟]　用作差法比较两个实数大小的基本步骤
知识点三　作差法证明不等式
例3　试证明重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.
证明： a，b∈R，有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2－2ab≥0.由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
[反思感悟]　作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要先将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系(　C　)
A. T＜40 B. T＞40
C. T≤40 D. T≥40
2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　A　)
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 与x有关
3. 不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为　a＝2　.
4. 若实数a＞b，则a2－ab　＞　ba－b2(填“＞”或“＜”). 2.1导学1　不等关系与不等式
知识点一　用不等式(组)表示不等关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过
符号语言 　 　 　 　 　 　 　 　
例1　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图所示，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍；
(4)京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系.
[反思感悟]　用不等式(组)表示不等关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等；
(2)适当地设未知数表示变量；
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
知识点二　比较法比较大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
依据 a＞b 　 　 a＝b 　 　 a＜b 　 　
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的　 　与　 　的大小
例2　(1)比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小；
(2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
[延伸探究]　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小.
[反思感悟]　用作差法比较两个实数大小的基本步骤
知识点三　作差法证明不等式
例3　试证明重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.
[反思感悟]　作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要先将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系(　 　)
A. T＜40 B. T＞40
C. T≤40 D. T≥40
2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　 　)
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 与x有关
3. 不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为　 　.
4. 若实数a＞b，则a2－ab　 　ba－b2(填“＞”或“＜”).

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