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(共19张PPT)
一、等式性质与不等式性质
导学2　等式性质与不等式性质
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
不等式的性质
知 识 梳 理
知识点一　等式性质与不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b__________a
2 传递性 a＞b，b＞c___________a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c__________b＋c
＜

＞
性质 别名 性质内容 注意
4 可乘性 a＞b，c＞0 ___________ a＞b，c＜0 ___________ c的符号
5 同向可加性 a＞b，c＞d ______________ 同向
6 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 __________ 同向同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an__________bn (n∈N， n≥2) 同正
ac＞bc
ac＜bc
a＋c＞b＋d
ac＞bd
＞
例1　下列不等式中，成立的是(　　)
A. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B. 若a＞b＞0，则a2＞b2
C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D. 若a＜b＜0，则
【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；若a＞b＞0，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，∴a2＞b2，B正确；若a＜b＜0，则a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab，C错误；若a＜b＜0，则＞0，∴，D错误.
B
[反思感悟]　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
知 识 点 二
知识点二　利用不等式的性质证明不等式
例2　已知c＞a＞b＞0，证明：.
证明：方法一　∵c＞a＞b＞0，∴0＜c－a＜c－b，
∴(c－a)·(c－b)＞0，
∴0＜·(c－a)＜·(c－b)，即0＜，即＞0，又a＞b＞0，∴.
方法二　∵a＞b＞0，∴，
∵c＞0，∴，∴－1＜－1，即，
∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，∴.
方法三　
，∵c＞a＞b＞0，∴a－b＞0，c－a＞0，c－b＞0，∴.
[反思感悟]　1.利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.
2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
知 识 点 三
知识点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围.
解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24，
∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2，∴2a＋3b的取值范围是{2a＋3b|8＜2a＋3b＜32}，a－b的取值范围是{a－b|－7＜a－b＜2}.
[延伸探究]　在本例条件下，求的取值范围.
解：∵2＜b＜8，∴，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜2，
∴的取值范围是.
[反思感悟]　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
随 堂 巩 固
1. 下列不等式中，与a＞b等价的是(　　)
A. |a|＞|b| B. a2＞b2
C. ＞1 D. a3＞b3
D
2. (多选)已知a，b，c∈R，则下列命题中，正确的是(　 　)
A. ac2＞bc2 a＞b
B. a＞b
C.
D.
AC
3. 如果1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是(　　)
A. －3＜a－|b|≤3
B. －3＜a－|b|＜5
C. －3＜a－|b|＜3
D. 1＜a－|b|＜4
C
4. 若2＜a＜5，3＜b＜10，则a－2b的取值范围是____________ ___________________.
{a－2b|－18
＜a－2b＜－1}2.1 导学2　等式性质与不等式性质
知识点一　等式性质与不等式的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b　 　a
2 传递性 a＞b，b＞c　 　 a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c　 　b＋c
4 可乘性 a＞b，c＞0 　 　 a＞b，c＜0 　 　 c的符号
5 同向可加性 a＞b，c＞d 　 　 同向
6 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 　 　 同向同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an　 　bn (n∈N，n≥2) 同正
例1　下列不等式中，成立的是(　 　)
A. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B. 若a＞b＞0，则a2＞b2
C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D. 若a＜b＜0，则
[反思感悟]　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
知识点二　利用不等式的性质证明不等式
例2　已知c＞a＞b＞0，证明：.
[反思感悟]　1.利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.
2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
知识点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围.
[延伸探究]　在本例条件下，求的取值范围.
[反思感悟]　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列不等式中，与a＞b等价的是(　 　)
A. |a|＞|b| B. a2＞b2
C. ＞1 D. a3＞b3
2. (多选)已知a，b，c∈R，则下列命题中，正确的是(　 　)
A. ac2＞bc2 a＞b
B. a＞b
C.
D.
3. 如果1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是(　 　)
A. －3＜a－|b|≤3
B. －3＜a－|b|＜5
C. －3＜a－|b|＜3
D. 1＜a－|b|＜4
4. 若2＜a＜5，3＜b＜10，则a－2b的取值范围是　 　. 2.1 导学2　等式性质与不等式性质
知识点一　等式性质与不等式的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b　＜　a
2 传递性 a＞b，b＞c　 　 a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c　＞　b＋c
4 可乘性 a＞b，c＞0 　ac＞bc　 a＞b，c＜0 　ac＜bc　 c的符号
5 同向可加性 a＞b，c＞d 　a＋c＞b＋d　 同向
6 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 　ac＞bd　 同向同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an　＞　bn (n∈N，n≥2) 同正
例1　下列不等式中，成立的是(　B　)
A. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B. 若a＞b＞0，则a2＞b2
C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D. 若a＜b＜0，则
【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；若a＞b＞0，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，∴a2＞b2，B正确；若a＜b＜0，则a2－ab＝a(a－b)＞0，∴a2＞ab，C错误；若a＜b＜0，则＞0，∴，D错误.
[反思感悟]　利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.
(2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
知识点二　利用不等式的性质证明不等式
例2　已知c＞a＞b＞0，证明：.
证明：方法一　∵c＞a＞b＞0，∴0＜c－a＜c－b，
∴(c－a)·(c－b)＞0，
∴0＜·(c－a)＜·(c－b)，即0＜，即＞0，又a＞b＞0，∴.
方法二　∵a＞b＞0，∴，
∵c＞0，∴，∴－1＜－1，即，
∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，∴.
方法三　，∵c＞a＞b＞0，∴a－b＞0，c－a＞0，c－b＞0，∴.
[反思感悟]　1.利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.
2.用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
知识点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围.
解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24，
∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2，∴2a＋3b的取值范围是{2a＋3b|8＜2a＋3b＜32}，a－b的取值范围是{a－b|－7＜a－b＜2}.
[延伸探究]　在本例条件下，求的取值范围.
解：∵2＜b＜8，∴，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜2，
∴的取值范围是.
[反思感悟]　利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列不等式中，与a＞b等价的是(　D　)
A. |a|＞|b| B. a2＞b2
C. ＞1 D. a3＞b3
2. (多选)已知a，b，c∈R，则下列命题中，正确的是(　AC　)
A. ac2＞bc2 a＞b
B. a＞b
C.
D.
3. 如果1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是(　C　)
A. －3＜a－|b|≤3
B. －3＜a－|b|＜5
C. －3＜a－|b|＜3
D. 1＜a－|b|＜4
4. 若2＜a＜5，3＜b＜10，则a－2b的取值范围是　{a－2b|－18＜a－2b＜
－1}　.

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