资源简介

(共23张PPT)
二、基本不等式
导学1　利用基本不等式求最值
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
1. 基本不等式：如果a＞0，b＞0，则_______，当且仅当__________时，等号成立.
2. 其中，_________叫做正数a，b的算术平均数， ________叫做正数a，b的几何平均数.
3. 两个正数的算术平均数__________它们的几何平均数.
知 识 梳 理
知识点一　基本不等式的证明与理解
≤
a＝b
不小于
例1　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴≥2＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，
∴＝－≤－2＝－2.
其中正确的是(　　)
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
【解析】①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，①推导正确；②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导是错误的；③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，③推导正确.
B
[反思感悟]　利用基本不等式判断命题真假的步骤
(1)检查是否满足应用基本不等式的条件；
(2)应用基本不等式；
(3)检验等号是否成立.
知 识 点 二
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值__________；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
__________.
简记为：积定和最__________，和定积最__________.
知 识 梳 理
知识点二　利用基本不等式求简单式子的最值
2
S2
小
大
例2　(1)若x＞0，求y＝4x＋的最小值；
(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值.
解：(1)∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，∴y＝4x＋的最小值是12.
(2)∵0＜x＜，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，∴y的最大值是.
[延伸探究]　本例(1)改为：“若x＜0，求y＝4x＋的最大值.”
解：∵x＜0，∴－x＞0，∴(－4x)＋≥2＝12，∴y＝4x＋＝－≤－12，当且仅当－4x＝－，即x＝－时，等号成立，∴原式的最大值是－12.
[反思感悟]　利用基本不等式求最值的注意点
(1)一正：各项必须为正.
(2)二定：各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
知 识 点 三
知识点三　变形应用基本不等式求最值
角度1　构造法求最值
例3　(1)当x＞0时，y＝的最小值是__________；
(2)当x＞3时，y＝2x＋的最小值是__________.
10
解：(1)当x＞0时，≥2，当且仅当x＝2时，等号成立，∴当x＞0时，y＝的最小值是.
(2)∵x＞3，∴2x－6＞0，∴y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号，∴y＝2x＋的最小值是10.
[反思感悟]　用构造法求最值的策略：将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式(和或积为定值).解题时应对照已知和所求的式子进行适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件.
角度2　巧用“1”的代换求最值
例4　已知a＞0，b＞0，且＝1，求a＋b的最小值.
解：∵a＞0，b＞0，＝1，∴a＋b＝·(a＋b)＝
1＋16＋≥17＋2＝17＋2×4＝25，当且仅当，即b2＝16a2时，等号成立.
由解得∴当a＝5，b＝20时，a＋b取得最小值25.
[反思感悟]　“1”的代换就是指凑出“1”，使要求的式子通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
随 堂 巩 固
1. 若实数a，b满足b＞a＞0，则下列不等式中，恒成立的是
(　　)
A. 2a＋≥2 B. 2a＋≤2
C. 2a＋＜2 D. 2a＋＞2
A
2. 下列结论中，正确的是(　　)
A. 当x＞0，且x≠1时，x＋的最小值是2
B. 当x＞0时，≥2
C. 当x≠0时，x＋≥2
D. 当x＞0时，x＋的最小值是2
B
3. 已知x＞0，a＞0，4x＋在x＝3时取得最小值，则a的值是__________.
36
4. 当x＞1时，x＋的最小值是__________.
52.2 导学1　利用基本不等式求最值
知识点一　基本不等式的证明与理解
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 基本不等式：如果a＞0，b＞0，则　 ，当且仅当　 　时，等号成立.
2. 其中， 　叫做正数a，b的算术平均数， 　叫做正数a，b的几何平均数.
3. 两个正数的算术平均数　 　它们的几何平均数.
例1　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴≥2＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，
∴＝－≤－2＝－2.
其中正确的是(　 　)
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
[反思感悟]　利用基本不等式判断命题真假的步骤
(1)检查是否满足应用基本不等式的条件；
(2)应用基本不等式；
(3)检验等号是否成立.
知识点二　利用基本不等式求简单式子的最值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值　 　；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 　.
简记为：积定和最　 　，和定积最　 　.
例2　(1)若x＞0，求y＝4x＋的最小值；
(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值.
[延伸探究]　本例(1)改为：“若x＜0，求y＝4x＋的最大值.”
[反思感悟]　利用基本不等式求最值的注意点
(1)一正：各项必须为正.
(2)二定：各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
知识点三　变形应用基本不等式求最值
角度1　构造法求最值
例3　(1)当x＞0时，y＝的最小值是 　；
(2)当x＞3时，y＝2x＋的最小值是　 　.
[反思感悟]　用构造法求最值的策略：将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式(和或积为定值).解题时应对照已知和所求的式子进行适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件.
角度2　巧用“1”的代换求最值
例4　已知a＞0，b＞0，且＝1，求a＋b的最小值.
[反思感悟]　“1”的代换就是指凑出“1”，使要求的式子通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若实数a，b满足b＞a＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　 　)
A. 2a＋≥2 B. 2a＋≤2
C. 2a＋＜2 D. 2a＋＞2
2. 下列结论中，正确的是(　 　)
A. 当x＞0，且x≠1时，x＋的最小值是2
B. 当x＞0时，≥2
C. 当x≠0时，x＋≥2
D. 当x＞0时，x＋的最小值是2
3. 已知x＞0，a＞0，4x＋在x＝3时取得最小值，则a的值是　 　.
4. 当x＞1时，x＋的最小值是　 　. 2.2 导学1　利用基本不等式求最值
知识点一　基本不等式的证明与理解
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 基本不等式：如果a＞0，b＞0，则　≤ ，当且仅当　a＝b　时，等号成立.
2. 其中， 　叫做正数a，b的算术平均数， 　叫做正数a，b的几何平均数.
3. 两个正数的算术平均数　不小于　它们的几何平均数.
例1　给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴≥2＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，
∴＝－≤－2＝－2.
其中正确的是(　B　)
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【解析】①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，①推导正确；②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导是错误的；③由xy＜0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，③推导正确.
[反思感悟]　利用基本不等式判断命题真假的步骤
(1)检查是否满足应用基本不等式的条件；
(2)应用基本不等式；
(3)检验等号是否成立.
知识点二　利用基本不等式求简单式子的最值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值　2　；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2　.
简记为：积定和最　小　，和定积最　大　.
例2　(1)若x＞0，求y＝4x＋的最小值；
(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值.
解：(1)∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，当且仅当
4x＝，即x＝时，等号成立，∴y＝4x＋的最小值是12.
(2)∵0＜x＜，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，∴y的最大值是.
[延伸探究]　本例(1)改为：“若x＜0，求y＝4x＋的最大值.”
解：∵x＜0，∴－x＞0，∴(－4x)＋≥2＝12，∴y＝4x＋＝－≤－12，当且仅当－4x＝－，即x＝－时，等号成立，∴原式的最大值是－12.
[反思感悟]　利用基本不等式求最值的注意点
(1)一正：各项必须为正.
(2)二定：各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
知识点三　变形应用基本不等式求最值
角度1　构造法求最值
例3　(1)当x＞0时，y＝的最小值是 　；
(2)当x＞3时，y＝2x＋的最小值是　10　.
解：(1)当x＞0时，≥2，当且仅当x＝2时，等号成立，∴当x＞0时，y＝的最小值是.
(2)∵x＞3，∴2x－6＞0，∴y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋
6＝2×2＋6＝10，当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号，∴y＝2x＋的最小值是10.
[反思感悟]　用构造法求最值的策略：将已知数学表达式变形，构造出符合基本不等式条件的形式(和或积为定值).解题时应对照已知和所求的式子进行适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条件.
角度2　巧用“1”的代换求最值
例4　已知a＞0，b＞0，且＝1，求a＋b的最小值.
解：∵a＞0，b＞0，＝1，∴a＋b＝·(a＋b)＝1＋16＋≥17＋2＝17＋2×4＝25，当且仅当，即b2＝16a2时，等号成立.
由解得∴当a＝5，b＝20时，a＋b取得最小值25.
[反思感悟]　“1”的代换就是指凑出“1”，使要求的式子通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若实数a，b满足b＞a＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　A　)
A. 2a＋≥2 B. 2a＋≤2
C. 2a＋＜2 D. 2a＋＞2
2. 下列结论中，正确的是(　B　)
A. 当x＞0，且x≠1时，x＋的最小值是2
B. 当x＞0时，≥2
C. 当x≠0时，x＋≥2
D. 当x＞0时，x＋的最小值是2
3. 已知x＞0，a＞0，4x＋在x＝3时取得最小值，则a的值是　36　.
4. 当x＞1时，x＋的最小值是　5　.

展开更多......

收起↑