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(共19张PPT)
二、基本不等式
导学2　基本不等式的应用
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
知识点一　利用基本不等式证明不等式
例1　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
证明：≥8.
证明：∵a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，∴－1＝≥，同理－1≥－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
[延伸探究]　本例的条件不变，证明：≥9.
证明：＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
[反思感悟]　利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
知 识 点 二
知识点二　基本不等式的实际应用
例2　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m.
方法一　由已知得xy＝16，由≥，可知x＋y≥2＝8，∴2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
∴当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
方法二　∵xy＝16，∴y＝，
∴2(x＋y)＝2≥2×2＝16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，∴当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
[反思感悟]　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)给出结论.
知 识 点 三
知识点三　基本不等式在几何中的应用
例3　如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)
的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后
AB'交DC于点P，设AB＝x.
(1)用含x的式子表示DP，并求出x的取
值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解：(1)矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x，∴6＜x＜12，在△APC中，∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，从而得DP＝PB'，
∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6＜x＜12).
(2)在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6＜x＜12).∵6＜x＜12，∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立.∴S△ADP＝108－≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取得最大值108－72.
[反思感悟]　利用基本不等式求几何中最值问题的思路
(1)依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示；
(2)构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形式；
(3)数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答.
随 堂 巩 固
1. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产
的产品可获得的总利润y(单位：万元)关于机器运转时间x(单位：
年)的函数解析式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机
器年平均利润的最大值是(　　)
A. 8万元 B. 12万元
C. 28万元 D. 56万元
A
2. 若用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的
最大面积为(　　)
A. 9 cm2 B. 16 cm2
C. 4 cm2 D. 5 cm2
C
3. 若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值是(　　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
C
4. 已知a，b，c＞0，证明：≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c＞0，利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，∴≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.2.2 导学2　基本不等式的应用
知识点一　利用基本不等式证明不等式
例1　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
证明：≥8.
证明：∵a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，∴－1＝≥，同理－1≥－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
[延伸探究]　本例的条件不变，证明：≥9.
证明：＝3＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
[反思感悟]　利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
知识点二　基本不等式的实际应用
例2　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m.
方法一　由已知得xy＝16，由≥，可知x＋y≥2＝8，∴2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
∴当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
方法二　∵xy＝16，∴y＝，
∴2(x＋y)＝2≥2×2＝16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，∴当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为
16 m.
[反思感悟]　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)给出结论.
知识点三　基本不等式在几何中的应用
例3　如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x.
(1)用含x的式子表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
解：(1)矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x，∴6＜x＜12，在△APC中，∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，从而得DP＝PB'，
∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6＜x＜12).
(2)在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6＜x＜12).∵6＜x＜12，∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立.∴S△ADP＝108－≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取得最大值108－72.
[反思感悟]　利用基本不等式求几何中最值问题的思路
(1)依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示；
(2)构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形式；
(3)数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)关于机器运转时间x(单位：年)的函数解析式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是(　A　)
A. 8万元 B. 12万元
C. 28万元 D. 56万元
2. 若用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　C　)
A. 9 cm2 B. 16 cm2
C. 4 cm2 D. 5 cm2
3. 若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值是(　C　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
4. 已知a，b，c＞0，证明：≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c＞0，利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，∴≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.2.2 导学2　基本不等式的应用
知识点一　利用基本不等式证明不等式
例1　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
证明：≥8.
[延伸探究]　本例的条件不变，证明：≥9.
[反思感悟]　利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是：所证不等式中大多有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
知识点二　基本不等式的实际应用
例2　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
[反思感悟]　利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)给出结论.
知识点三　基本不等式在几何中的应用
例3　如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x.
(1)用含x的式子表示DP，并求出x的取值范围；
(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值.
[反思感悟]　利用基本不等式求几何中最值问题的思路
(1)依据题意设出变量，将所求量用所设变量表示；
(2)构造基本不等式模型，将其变形为满足基本不等式成立的形式；
(3)数学运算求得最值，再返回到原几何问题中给出解答.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)关于机器运转时间x(单位：年)的函数解析式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是(　 　)
A. 8万元 B. 12万元
C. 28万元 D. 56万元
2. 若用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　 　)
A. 9 cm2 B. 16 cm2
C. 4 cm2 D. 5 cm2
3. 若正实数x，y满足xy＋3x＝3，则12x＋y的最小值是(　 　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
4. 已知a，b，c＞0，证明：≥a＋b＋c.

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