资源简介

2.3 导学1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点一　一元二次不等式的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
定义 一般地，我们把只含有一个　未知数　，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0
例1　(1)下列不等式中，为一元二次不等式的是(　C　)
A. ax2＋2x＋1＞0 B. x2－y＞0
C. －x2－3x＜0 D. ＞0
(2)已知ab≠0，若把a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　b　.
[反思感悟]　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数.
知识点二　一元二次不等式的解法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使　ax2＋bx＋c＝0　的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的　零点　.
2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1， 或x＞x2} 　R　
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 　{x|x1＜ x＜x2} 　 　 　 　
例2　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－x2＋6x－10＞0.
解：(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图所示.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，∵Δ＝－4＜0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，∴原不等式的解集为 .
[反思感悟]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根；
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
知识点三　含参的一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0).
解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1；
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥，或x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为.
[延伸探究]　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集.
解：当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得
－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1.
综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.
[反思感悟]　解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两个不同实根(Δ＞0)，两个相同实根(Δ＝0)，无根(Δ＜0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列不等式中，为一元二次不等式的有(　AD　)
A. x2＋x＜－1 B. x2＋＋1＜0
C. x2＋＋1＜0 D. x2＋1＜0
2. 函数y＝x2－4x＋4的零点是(　D　)
A. (2，0) B. (0，4)
C. ±2 D. 2
3. 不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　C　)
A.
B.
C.
D. R
4. 若0＜m＜1，则不等式(x－m)＜0的解集为 　. (共21张PPT)
三、二次函数与一元二次方程、不等式
导学1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
知 识 梳 理
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 一般地，我们把只含有一个__________，并且未知数的最高次数是__________的不等式，称为一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0
未知数
2
例1　(1)下列不等式中，为一元二次不等式的是(　　)
A. ax2＋2x＋1＞0 B. x2－y＞0
C. －x2－3x＜0 D. ＞0
(2)已知ab≠0，若把a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为__________.
C
b
[反思感悟]　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数.
知 识 点 二
1. 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_________ ________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的__________.
知 识 梳 理
知识点二　一元二次不等式的解法
ax2＋bx
＋c＝0
零点
2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有
实数根
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 _________________ _____________ ______
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ___________ ___________
{x|x＜x1，或x＞x2}
R
{x|x1＜x＜x2}


例2　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－x2＋6x－10＞0.
解：(1)Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根
分别为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x
－3的图象，如图所示.由图可得原不等式的解
集为.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，∵Δ＝－4＜0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，∴原不等式的解集为 .
[反思感悟]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根；
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
知 识 点 三
知识点三　含参的一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0).
解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1；
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥，或x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为.
[延伸探究]　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集.
解：当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即
a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1.
综上所述，当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.
[反思感悟]　解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两个不同实根(Δ＞0)，两个相同实根(Δ＝0)，无根(Δ＜0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
随 堂 巩 固
1. (多选)下列不等式中，为一元二次不等式的有(　 　)
A. x2＋x＜－1 B. x2＋＋1＜0
C. x2＋＋1＜0 D. x2＋1＜0
AD
2. 函数y＝x2－4x＋4的零点是(　　)
A. (2，0) B. (0，4)
C. ±2 D. 2
D
3. 不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D. R
C
4. 若0＜m＜1，则不等式(x－m)＜0的解集为
________________.
2.3 导学1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点一　一元二次不等式的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
定义 一般地，我们把只含有一个　 　，并且未知数的最高次数是　 　的不等式，称为一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0
例1　(1)下列不等式中，为一元二次不等式的是(　 　)
A. ax2＋2x＋1＞0 B. x2－y＞0
C. －x2－3x＜0 D. ＞0
(2)已知ab≠0，若把a2b＋2ab2＋9＞0看成关于a的一元二次不等式，则a的二次项系数为　 　.
[反思感悟]　一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数.
知识点二　一元二次不等式的解法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使　 　的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的　 　.
2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　 　
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 　 　 　 　 　
例2　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－x2＋6x－10＞0.
[反思感悟]　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根；
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
知识点三　含参的一元二次不等式的解法
例3　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0).
[延伸探究]　若把本例中的“a≥0”改为“a＜0”，求该不等式的解集.
[反思感悟]　解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两个不同实根(Δ＞0)，两个相同实根(Δ＝0)，无根(Δ＜0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列不等式中，为一元二次不等式的有(　 　)
A. x2＋x＜－1 B. x2＋＋1＜0
C. x2＋＋1＜0 D. x2＋1＜0
2. 函数y＝x2－4x＋4的零点是(　 　)
A. (2，0) B. (0，4)
C. ±2 D. 2
3. 不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　 　)
A.
B.
C.
D. R
4. 若0＜m＜1，则不等式(x－m)＜0的解集为 　.

展开更多......

收起↑