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2.3 导学2　一元二次不等式的应用
知识点一　解简单的分式不等式
例1　解下列分式不等式：
(1)＜0；(2)≥0.
解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
即－＜x≤1，∴原不等式的解集为.
[反思感悟]　分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
知识点二　三个“二次”之间的关系
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6，故＝－，又由
a＜0知c＜0，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜，或x＞，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
[延伸探究]　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”改为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为”，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：方法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴×2＝＜0，－＋2＝－，
∴b＝－a，c＝－a，∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为·x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.
又a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，∴所求不等式的解集为.
方法二　由已知得a＜0，且－＋2＝－×2＝，则c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，其中＝－，－＝－，∴x1＝－3，x2＝，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
[反思感悟]　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
知识点三　一元二次不等式的实际应用
例3　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问：投入成本增加的比例x应在什么范围内
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即
解不等式组，得0＜x＜，∴为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围是.
[反思感悟]　解不等式应用题的步骤
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 不等式＜0的解集为(　C　)
A. {x|x＞1}
B. {x|x＜－2}
C. {x|－2＜x＜1}
D. {x|x＜－2，或x＞1}
2. “x＞2”是“＜1”的(　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式为y＝
3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，当每台产品的售价为25万元时，生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　C　)
A. 100台 B. 120台
C. 150台 D. 180台
4. 不等式x(x－a＋1)＞a的解集为{x|x＜－1，或x＞a}，其中a≠－1，则a的取值范围是　{a|a＞－1}　. 2.3 导学2　一元二次不等式的应用
知识点一　解简单的分式不等式
例1　解下列分式不等式：
(1)＜0；(2)≥0.
[反思感悟]　分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
知识点二　三个“二次”之间的关系
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
[延伸探究]　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”改为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为”，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
[反思感悟]　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
知识点三　一元二次不等式的实际应用
例3　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问：投入成本增加的比例x应在什么范围内
[反思感悟]　解不等式应用题的步骤
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 不等式＜0的解集为(　 　)
A. {x|x＞1}
B. {x|x＜－2}
C. {x|－2＜x＜1}
D. {x|x＜－2，或x＞1}
2. “x＞2”是“＜1”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式为y＝
3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，当每台产品的售价为25万元时，生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　 　)
A. 100台 B. 120台
C. 150台 D. 180台
4. 不等式x(x－a＋1)＞a的解集为{x|x＜－1，或x＞a}，其中a≠－1，则a的取值范围是　 　. (共20张PPT)
三、二次函数与一元二次方程、不等式
导学2　一元二次不等式的应用
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
知识点一　解简单的分式不等式
例1　解下列分式不等式：
(1)＜0；(2)≥0.
解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，
∴－1＜x＜，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，
∴
即－＜x≤1，∴原不等式的解集为.
[反思感悟]　分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
知 识 点 二
知识点二　三个“二次”之间的关系
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6，故＝－，又由a＜0知c＜0，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜，或x＞，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
[延伸探究]　若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}”改为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为”，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：方法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴×2＝＜0，－＋2＝－，
∴b＝－a，c＝－a，∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为·x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.
又a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，∴所求不等式的解集为.
方法二　由已知得a＜0，且－＋2＝－×2＝，则
c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝
－，x1x2＝，其中＝－，－＝
－，∴x1＝－3，x2＝，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
[反思感悟]　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
(1)根据解集来判断二次项系数的符号；
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
知 识 点 三
知识点三　一元二次不等式的实际应用
例3　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万
元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应
市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投
入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为
0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出
厂价－投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问：投入成本增加
的比例x应在什么范围内
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×
(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1).
(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即
解不等式组，得0＜x＜，∴为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围是.
[反思感悟]　解不等式应用题的步骤
随 堂 巩 固
1. 不等式＜0的解集为(　　)
A. {x|x＞1}
B. {x|x＜－2}
C. {x|－2＜x＜1}
D. {x|x＜－2，或x＞1}
C
2. “x＞2”是“＜1”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
3. 若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，当每台产品的售价为25万元时，生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低
产量是(　　)
A. 100台 B. 120台
C. 150台 D. 180台
C
4. 不等式x(x－a＋1)＞a的解集为{x|x＜－1，或x＞a}，其中a≠－1，则a的取值范围是_______________.
{a|a＞－1}

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