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三、二次函数与一元二次方程、不等式
导学3　不等式“恒成立”“能成立”问题
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
知 识 点 一
知识点一　在R上的恒成立问题
例1　(1)已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围是__________________.
【解析】原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋
ax＋3－a的图象开口向上，∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是{a|
－6≤a≤2}.
{a|－6≤a≤2}
(2)已知 x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意；当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y＜0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k|－1＜k≤0}.
[反思感悟]　转化为一元二次不等式解集为R的情况
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立
(3)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
知 识 点 二
知识点二　在给定范围上的恒成立问题
例2　(1)若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则实数a的取值范围是(　　)
A. a≤－3 B. a≤0
C. a≥1 D. a≤1
A
【解析】方法一　令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3.
方法二　当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意得a≤(－x2＋2x)min(－1≤x≤2).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，＝－3，∴a≤－3.
(2)命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A. a≥4 B. a≥5
C. a≤4 D. a≤5
【解析】∵命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，
∴当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，∴a≥4，结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
B
[反思感悟]　在给定范围上的恒成立问题
(1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
(2)当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
知 识 点 三
知识点三　解决简单的能成立问题
例3　(1)当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则
实数m的取值范围是______________.
【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)有解，即m＋5＞0，或2m＋8＞0，解得m＞－5.
{m|m＞－5}
(2)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围是______________.
【解析】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴实数m的取值范围是{m|m≥－2}.
{m|m≥－2}
[反思感悟]　解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题，可转化为m＞ymin，或m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.
随 堂 巩 固
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是
(　　)
A. a＞0，Δ＞0 B. a＞0，Δ＜0
C. a＜0，Δ＞0 D. a＜0，Δ＜0
D
2. 若关于x的不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A. {m|m≥2}
B. {m|m≤－2}
C. {m|m≤－2，或m≥2}
D. {m|－2≤m≤2}
D
3. 若当1≤x≤2时，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是
(　　)
A. {a|a≥1}
B. {a|a＞1}
C. {a|a≤1}
D. {a|a＜1}
D
4. 若命题“ x∈R，x2－2mx＋m＋2＜0”为真命题，则实数m的取值范围是___________________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)2.3 导学3　不等式“恒成立”“能成立”问题
知识点一　在R上的恒成立问题
例1　(1)已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围是　{a|－6≤a≤2}　.
【解析】原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是{a|－6≤a≤2}.
(2)已知 x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意；当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y＜0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k|－1＜k≤0}.
[反思感悟]　转化为一元二次不等式解集为R的情况
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立
(3)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
知识点二　在给定范围上的恒成立问题
例2　(1)若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则实数a的取值范围是(　A　)
A. a≤－3 B. a≤0
C. a≥1 D. a≤1
【解析】方法一　令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3.
方法二　当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意得a≤(－x2＋2x)min(－1≤x≤2).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，＝－3，∴a≤－3.
(2)命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　B　)
A. a≥4 B. a≥5
C. a≤4 D. a≤5
【解析】∵命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，∴当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，∴a≥4，结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
[反思感悟]　在给定范围上的恒成立问题
(1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
(2)当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
知识点三　解决简单的能成立问题
例3　(1)当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围是　{m|m＞－5}　.
【解析】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)有解，即m＋5＞0，或2m＋8＞0，解得m＞－5.
(2)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围是　{m|m≥－2}　.
【解析】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥
2x2－8x＋6能成立，又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴实数m的取值范围是{m|m≥－2}.
[反思感悟]　解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题，可转化为m＞ymin，或m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是(　D　)
A. a＞0，Δ＞0 B. a＞0，Δ＜0
C. a＜0，Δ＞0 D. a＜0，Δ＜0
2. 若关于x的不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　D　)
A. {m|m≥2}
B. {m|m≤－2}
C. {m|m≤－2，或m≥2}
D. {m|－2≤m≤2}
3. 若当1≤x≤2时，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)
A. {a|a≥1}
B. {a|a＞1}
C. {a|a≤1}
D. {a|a＜1}
4. 若命题“ x∈R，x2－2mx＋m＋2＜0”为真命题，则实数m的取值范围是　(－∞，－1)∪(2，＋∞)　. 2.3 导学3　不等式“恒成立”“能成立”问题
知识点一　在R上的恒成立问题
例1　(1)已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围是　 　.
(2)已知 x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围.
[反思感悟]　转化为一元二次不等式解集为R的情况
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立
(3)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
知识点二　在给定范围上的恒成立问题
例2　(1)若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则实数a的取值范围是(　 　)
A. a≤－3 B. a≤0
C. a≥1 D. a≤1
(2)命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A. a≥4 B. a≥5
C. a≤4 D. a≤5
[反思感悟]　在给定范围上的恒成立问题
(1)当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
(2)当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
知识点三　解决简单的能成立问题
例3　(1)当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围是　 　.
(2)若存在x∈R，使得≥2成立，则实数m的取值范围是　 　.
[反思感悟]　解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.
(2)对一些简单的问题，可转化为m＞ymin，或m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是(　 　)
A. a＞0，Δ＞0 B. a＞0，Δ＜0
C. a＜0，Δ＞0 D. a＜0，Δ＜0
2. 若关于x的不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≥2}
B. {m|m≤－2}
C. {m|m≤－2，或m≥2}
D. {m|－2≤m≤2}
3. 若当1≤x≤2时，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A. {a|a≥1}
B. {a|a＞1}
C. {a|a≤1}
D. {a|a＜1}
4. 若命题“ x∈R，x2－2mx＋m＋2＜0”为真命题，则实数m的取值范围是　 　.

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