资源简介

(共22张PPT)
一、函数的概念及其表示
导学4　分段函数
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
分段函数
(1)定义：函数y＝f(x)在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数称为分段函数.
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
知 识 梳 理
知识点一　分段函数求值(范围)问题
例1　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
解：(1)f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
(2)∵a2＋2≥2，∴f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，∴不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1，或a≤－，即实数a的取值范围是∪[1，＋∞).
[延伸探究]　本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2＞－2，不符合题意，舍去；当－2＜a＜2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2，2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上，当f(a)＝3时，a的值为－或2.
[反思感悟]
1.分段函数求值要抓住两点：
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值(或范围)，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段函数图象上的函数值的范围，确定解析式再求解.
知 识 点 二
知识点二　函数图象的作法与应用
例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域和值域.
解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示.
①
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的
定义，可得函数φ(x)的图象如图②所示.令
－x2＋2＝x，得x＝－2，或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)
＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].
②
[反思感悟]　分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
知 识 点 三
知识点三　分段函数在实际问题中的应用
例3　(2025·防城港高一检测)某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)若某户居民某月的用电量为120度，则该月的电费为多少元
解：设用电量为x度，对应电费为y元，
由题意得当x≤100时，y＝0.4x；
当x＞100时，y＝100×0.4＋(x－100)×0.8＝0.8x－40，
即y＝当x＝120时，y＝0.8×120－40＝56，∴该月电费为56元.
(2)若某户居民某月的电费为60元，则其用电量为多少度
解：∵x≤100时，y＝0.4x≤0.4×100＝40＜60，∴该户用电量超过了100度.令0.8x－40＝60，解得x＝125，故其用电量为
125度.
[反思感悟]　分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
随 堂 巩 固
1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象中，可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)
A. 　　　 B. C. 　　　 D.
B
2. 设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)
A. B. 3
C. D.
D
3. 已知函数f(x)＝若f(－1)＝f(1)，则实数a的值
为(　　)
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
B
4. 函数f(x)＝的图象是(　　)
C
A. 　　　 B. C. 　　　 D.3.1 导学4　分段函数
知识点一　分段函数求值(范围)问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
分段函数
(1)定义：函数y＝f(x)在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数称为分段函数.
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
例1　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
解：(1)f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
(2)∵a2＋2≥2，∴f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，∴不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1，或a≤－，即实数a的取值范围是∪[1，＋∞).
[延伸探究]　本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2＞－2，不符合题意，舍去；
当－2＜a＜2时，f(a)＝3a＋5＝3，即a＝－∈(－2，2)，符合题意；当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上，当f(a)＝3时，a的值为－或2.
[反思感悟]
1.分段函数求值要抓住两点：
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值(或范围)，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段函数图象上的函数值的范围，确定解析式再求解.
知识点二　函数图象的作法与应用
例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域和值域.
解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示.
① 　②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②所示.令－x2＋2＝x，得x＝－2，或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1].
[反思感悟]　分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
知识点三　分段函数在实际问题中的应用
例3　(2025·防城港高一检测)某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)若某户居民某月的用电量为120度，则该月的电费为多少元
解：设用电量为x度，对应电费为y元，
由题意得当x≤100时，y＝0.4x；
当x＞100时，y＝100×0.4＋(x－100)×0.8＝0.8x－40，
即y＝当x＝120时，y＝0.8×120－40＝56，∴该月电费为56元.
(2)若某户居民某月的电费为60元，则其用电量为多少度
解：∵x≤100时，y＝0.4x≤0.4×100＝40＜60，∴该户用电量超过了100度.令0.8x－40＝60，解得x＝125，故其用电量为125度.
[反思感悟]　分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象中，可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　B　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
2. 设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　D　)
A. B. 3
C. D.
3. 已知函数f(x)＝若f(－1)＝f(1)，则实数a的值为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
4. 函数f(x)＝的图象是(　C　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.3.1 导学4　分段函数
知识点一　分段函数求值(范围)问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
分段函数
(1)定义：函数y＝f(x)在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数称为分段函数.
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
例1　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
[延伸探究]　本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
[反思感悟]
1.分段函数求值要抓住两点：
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值(或范围)，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段函数图象上的函数值的范围，确定解析式再求解.
知识点二　函数图象的作法与应用
例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者).
(1)分别用图象和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域和值域.
[反思感悟]　分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
知识点三　分段函数在实际问题中的应用
例3　(2025·防城港高一检测)某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.
(1)若某户居民某月的用电量为120度，则该月的电费为多少元
(2)若某户居民某月的电费为60元，则其用电量为多少度
[反思感悟]　分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象中，可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
2. 设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　 　)
A. B. 3
C. D.
3. 已知函数f(x)＝若f(－1)＝f(1)，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
4. 函数f(x)＝的图象是(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.

展开更多......

收起↑