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3.1 导学1　函数的概念(一)
知识点一　函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的　 　，如果对于集合A中的　 　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　 　确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围是集合A
值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A}
2. 已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域为　 　，值域为　 　.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为　 　，值域是B，当a＞0时，
B＝ 　；当a＜0时，B＝ 　.
(3)反比例函数y＝(k≠0)的定义域为　 　，值域为　 　.
例1　(1)(多选)下列选项中，从集合A到集合B的对应关系f是函数的有(　 　)
A. A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数取平方
B. A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数取开方
C. A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D. A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
(2)下列图象中，能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　 　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
①　 ②　 ③
④ 　⑤
[反思感悟]　1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断图形是否为函数关系的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
知识点二　求函数值
例2　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.
[反思感悟]　求函数值的方法及注意点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里到外的原则.
(2)注意点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
知识点三　求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝·＋2；
(2)y＝(x－1)0＋.
[反思感悟]　求函数定义域的依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等.
知识点四　构建函数关系的问题情境
例4　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋.
[反思感悟]　根据函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围.
(3)既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各组对应或关系式中，为A到B的函数的是(　 　)
A. A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，f：x2＋y2＝1
B. A＝Q，B＝{0}，f：x→y＝0
C. A＝R，B＝R，f：x→y＝
D. A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
2. (多选)下列等式中，变量x，y具有函数关系的有(　 　)
A. y＝x－1 B. y＝
C. y2＝4x D. y2＝x2
3. 已知函数f(x)＝x＋，则f(－1)·f(2)＝　 　.
4. 函数f(x)＝的定义域为　 　. 3.1 导学1　函数的概念(一)
知识点一　函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的　任意　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一　确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围是集合A
值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A}
2. 已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域为　R　，值域为　R　.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为　R　，值域是B，当a＞0时，
B＝ 　；当a＜0时，B＝ 　.
(3)反比例函数y＝(k≠0)的定义域为　{x|x≠0}　，值域为　{y|y≠0}　.
例1　(1)(多选)下列选项中，从集合A到集合B的对应关系f是函数的有(　AD　)
A. A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数取平方
B. A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数取开方
C. A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D. A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
【解析】按照函数定义，对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；A和D符合函数的定义.
(2)下列图象中，能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　A　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
①　 ②　 ③
④ 　⑤
【解析】由函数的定义可知①⑤可作为函数图象，②③④对于x的值，可能有多个y值与之对应，∴不是函数图象.
[反思感悟]　1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断图形是否为函数关系的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
知识点二　求函数值
例2　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝.
又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝
.
[反思感悟]　求函数值的方法及注意点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里到外的原则.
(2)注意点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
知识点三　求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝·＋2；
(2)y＝(x－1)0＋.
解：(1)要使此函数有意义，应满足解得1≤x≤4，∴f(x)的定义域是{x|1≤x≤4}.
(2)由题意得解得x＞－1，且x≠1，
∴函数的定义域是{x|x＞－1，且x≠1}.
[反思感悟]　求函数定义域的依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等.
知识点四　构建函数关系的问题情境
例4　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋.
解：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.
[反思感悟]　根据函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围.
(3)既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各组对应或关系式中，为A到B的函数的是(　B　)
A. A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，f：x2＋y2＝1
B. A＝Q，B＝{0}，f：x→y＝0
C. A＝R，B＝R，f：x→y＝
D. A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
2. (多选)下列等式中，变量x，y具有函数关系的有(　AB　)
A. y＝x－1 B. y＝
C. y2＝4x D. y2＝x2
3. 已知函数f(x)＝x＋，则f(－1)·f(2)＝　－5　.
4. 函数f(x)＝的定义域为　{x|x≤－3，或x≥4}　. (共25张PPT)
一、函数的概念及其表示
导学1　函数的概念(一)
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
1. 函数的概念
知 识 梳 理
知识点一　函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的__________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
实数集
任意
唯一
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围是集合A
值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A}
2. 已学函数的定义域和值域
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域为__________，值域为__________.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域为_________，值域
是B，当a＞0时，B＝ ___________________；当a＜0时，B＝
__________________.
(3)反比例函数y＝(k≠0)的定义域为__________，值域为__________.
R
R
R
{x|x≠0}
{y|y≠0}
例1　(1)(多选)下列选项中，从集合A到集合B的对应关系f是函数的有(　 　)
A. A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数取平方
B. A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数取开方
C. A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D. A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
AD
【解析】按照函数定义，对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；A和D符合函数的定义.
(2)下列图象中，能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
①　 ②　 ③ ④ 　 ⑤
【解析】由函数的定义可知①⑤可作为函数图象，②③④对于x的值，可能有多个y值与之对应，∴不是函数图象.
A
[反思感悟]　1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断图形是否为函数关系的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
知 识 点 二
知识点二　求函数值
例2　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值.
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝.
又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝
.
[反思感悟]　求函数值的方法及注意点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里到外的原则.
(2)注意点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.
知 识 点 三
知识点三　求函数的定义域
例3　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝·＋2；
(2)y＝(x－1)0＋.
解：(1)要使此函数有意义，应满足解得1≤x≤4，∴f(x)的定义域是{x|1≤x≤4}.
(2)由题意得解得x＞－1，且x≠1，
∴函数的定义域是{x|x＞－1，且x≠1}.
[反思感悟]　求函数定义域的依据：分式的分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等.
知 识 点 四
知识点四　构建函数关系的问题情境
例4　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系.
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝2x＋.
解：(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝.其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽.
(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x|x＞0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋.
[反思感悟]　根据函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围.
(3)既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
随 堂 巩 固
1. 下列各组对应或关系式中，为A到B的函数的是(　　)
A. A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|－1≤y≤1}，f：x2＋y2＝1
B. A＝Q，B＝{0}，f：x→y＝0
C. A＝R，B＝R，f：x→y＝
D. A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
B
2. (多选)下列等式中，变量x，y具有函数关系的有(　 　)
A. y＝x－1 B. y＝
C. y2＝4x D. y2＝x2
AB
3. 已知函数f(x)＝x＋，则f(－1)·f(2)＝__________.
－5
4. 函数f(x)＝的定义域为____________________.
{x|x≤－3，或x≥4}

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