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3.1 导学2　函数的概念(二)
知识点一　区间的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 区间的概念
设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为　[a，b]　；
(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为　(a，b)　；
(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为　[a，b)，(a，b]　.这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
2. 一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
3. 特殊区间的表示
区间 数轴表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
例1　将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|－1＜x＜0，或1≤x≤5}；
(3){x|2≤x≤8，且x≠5}.
解：(1){x|x＜2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①所示.
图①
(2){x|－1＜x＜0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②所示.
图②
(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③所示.
图③
[反思感悟]　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“，”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
知识点二　同一个函数
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
前提 条件 　定义域　相同
　对应关系　完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
例2　(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　BD　)
A. f(x)＝，g(x)＝
B. f(x)＝·，g(x)＝
C. f(x)＝，g(x)＝x＋3
D. 汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数
g(x)＝80x(0≤x≤5)
【解析】对于A，f(x)＝，g(x)＝，不是同一个函数，对应关系不同；对于B，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；对于C，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，不是同一个函数，对应关系不同；对于D，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
[反思感悟]　判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
知识点三　求简单函数的值域
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝－1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝2x＋4；(4)y＝.
解：(1)(直接法)　∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域是[－1，＋∞).
(2)(配方法、图象法)　y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，如图所示，∵x∈[1，5)，
∴函数y的值域是[2，11).
(3)(换元法)　令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域是(－∞，4].
(4)(分离常数法)　y＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}.
[反思感悟]　求函数值域常用的五种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.
(3)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域.
(5)分离常数法：此方法主要针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
知识点四　抽象函数的定义域
例4　(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域是　[－1，1]　.
【解析】令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，∴f(2x＋1)的定义域是[－1，1].
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域是[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是(　B　)
A. [－1，1] B. [－5，13]
C. [－5，1] D. [－1，13]
【解析】由题意知，－2≤x≤4，∴－5≤3x＋1≤13，∴y＝f(x)的定义域是[－5，13].
[反思感悟]　抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 区间(－3，2]用集合可表示为(　C　)
A. {－2，－1，0，1，2} B. {x|－3＜x＜2}
C. {x|－3＜x≤2} D. {x|－3≤x≤2}
2. 函数f(x)＝的值域是(　C　)
A. B.
C. D. (0，＋∞)
3. 下列与函数y＝x是同一个函数的是(　B　)
A. y＝|x| B. y＝
C. y＝ D. y＝
4. 已知函数f(x)的定义域是(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－2)的定义域是(　B　)
A. (0，2) B. (1，2)
C. (2，3) D. (－1，1)3.1 导学2　函数的概念(二)
知识点一　区间的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 区间的概念
设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为　 　；
(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为　 　；
(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为　 　.这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
2. 一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
3. 特殊区间的表示
区间 数轴表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
例1　将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|－1＜x＜0，或1≤x≤5}；
(3){x|2≤x≤8，且x≠5}.
[反思感悟]　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“，”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
知识点二　同一个函数
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
前提 条件 　 　相同
　 　完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
例2　(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　 　)
A. f(x)＝，g(x)＝
B. f(x)＝·，g(x)＝
C. f(x)＝，g(x)＝x＋3
D. 汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数
g(x)＝80x(0≤x≤5)
[反思感悟]　判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
知识点三　求简单函数的值域
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝－1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝2x＋4；(4)y＝.
[反思感悟]　求函数值域常用的五种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.
(3)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域.
(5)分离常数法：此方法主要针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
知识点四　抽象函数的定义域
例4　(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域是　 　.
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域是[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是(　 　)
A. [－1，1] B. [－5，13]
C. [－5，1] D. [－1，13]
[反思感悟]　抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 区间(－3，2]用集合可表示为(　 　)
A. {－2，－1，0，1，2} B. {x|－3＜x＜2}
C. {x|－3＜x≤2} D. {x|－3≤x≤2}
2. 函数f(x)＝的值域是(　 　)
A. B.
C. D. (0，＋∞)
3. 下列与函数y＝x是同一个函数的是(　 　)
A. y＝|x| B. y＝
C. y＝ D. y＝
4. 已知函数f(x)的定义域是(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－2)的定义域是(　 　)
A. (0，2) B. (1，2)
C. (2，3) D. (－1，1)(共27张PPT)
一、函数的概念及其表示
导学2　函数的概念(二)
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
1. 区间的概念
设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为__________；
(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为__________；
知 识 梳 理
知识点一　区间的概念
[a，b]
(a，b)
(3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_________________.这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
[a，b)，(a，b]
2. 一般区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
区间 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
3. 特殊区间的表示
区间 数轴表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
例1　将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x＜2}；
(2){x|－1＜x＜0，或1≤x≤5}；
(3){x|2≤x≤8，且x≠5}.
解：(1){x|x＜2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①所示.
图①
(2){x|－1＜x＜0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图②所示.
图②
(3){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③所示.
图③
[反思感悟]　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“，”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
知 识 点 二
知 识 梳 理
知识点二　同一个函数
前提 条件 __________相同
__________完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
例2　(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A. f(x)＝，g(x)＝
B. f(x)＝·，g(x)＝
C. f(x)＝，g(x)＝x＋3
D. 汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)
BD
【解析】对于A，f(x)＝，g(x)＝，不是同一个函数，对应关系不同；对于B，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；对于C，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，不是同一个函数，对应关系不同；对于D，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
[反思感悟]　判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
知 识 点 三
知识点三　求简单函数的值域
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝－1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；(3)y＝2x＋4；(4)y＝.
解：(1)(直接法)　∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域是[－1，＋∞).
(2)(配方法、图象法)　y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，
如图所示，∵x∈[1，5)，∴函数y的值域是[2，11).
(3)(换元法)　令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域是
(－∞，4].
(4)(分离常数法)　y＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}.
[反思感悟]　求函数值域常用的五种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.
(3)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域.
(5)分离常数法：此方法主要针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
知 识 点 四
知识点四　抽象函数的定义域
例4　(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域是__________.
【解析】令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，∴f(2x＋1)的定义域是[－1，1].
[－1，1]
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域是[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是(　　)
A. [－1，1] B. [－5，13]
C. [－5，1] D. [－1，13]
【解析】由题意知，－2≤x≤4，∴－5≤3x＋1≤13，∴y＝f(x)的定义域是[－5，13].
B
[反思感悟]　抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域.
随 堂 巩 固
1. 区间(－3，2]用集合可表示为(　　)
A. {－2，－1，0，1，2} B. {x|－3＜x＜2}
C. {x|－3＜x≤2} D. {x|－3≤x≤2}
C
2. 函数f(x)＝的值域是(　　)
A. B.
C. D. (0，＋∞)
C
3. 下列与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A. y＝|x| B. y＝
C. y＝ D. y＝
B
4. 已知函数f(x)的定义域是(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－2)
的定义域是(　　)
A. (0，2) B. (1，2)
C. (2，3) D. (－1，1)
B

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