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3.1 导学3　函数的表示法
知识点一　函数的表示法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
例1　某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x).
[反思感悟]　理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
知识点二　函数图象的作法与应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 描点法：列表、描点、连线.
2. 平移变换作图法：
(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象.
(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象.
例2　作出下列函数的图象，并求出函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；
(4)y＝(x－2)2.
[反思感悟]　描点法作函数图象的三个注意点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
知识点三　求函数解析式
例3　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；
(3)已知2f(x)＋f＝x(x∈R，且x≠0)，求f(x)的解析式.
[反思感悟]　1.若已知函数的结构类型，常用待定系数法求解析式.
2.已知f(g(x))，求f(x)的解析式，一般用换元法.
3.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则函数f(x)的解析式为(　 　)
A. f(x)＝x2＋6x
B. f(x)＝x2＋8x＋7
C. f(x)＝x2＋2x－3
D. f(x)＝x2＋6x－10
2. 若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为(　 　)
A. f(x)＝x2－1
B. f(x)＝－(x－1)2＋1
C. f(x)＝(x－1)2＋1
D. f(x)＝(x－1)2－1
3. 已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式为(　 　)
A. f(x)＝2x＋8 B. f(x)＝2x＋1
C. f(x)＝2x＋2 D. f(x)＝4x＋2
4. 已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(　 　)
A. (－2，－1) B. (4，－1)
C. (1，－4) D. (1，－2)3.1 导学3　函数的表示法
知识点一　函数的表示法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
例1　某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x).
解：①用列表法可将函数y＝f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
②用图象法可将函数y＝f(x)表示为
③用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}.
[反思感悟]　理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
知识点二　函数图象的作法与应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 描点法：列表、描点、连线.
2. 平移变换作图法：
(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象.
(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象.
例2　作出下列函数的图象，并求出函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；
(4)y＝(x－2)2.
解：(1)当x∈[0，2]时，图象是一次函数y＝2x＋1图象的一部分，如图①所示，函数的值域是[1，5].
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝图象的一部分，如图②所示，函数的值域是(0，1].
① 　②　 ③
(3)当x∈[－2，2]时，图象是抛物线y＝x2＋2x图象的一部分，如图③所示，函数的值域是[－1，8].
(4)方法一　利用描点法作出函数图象，图象是抛物线，如图④所示，函数的值域是[0，＋∞).
④
方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图⑤所示，函数的值域是[0，＋∞).
⑤
[反思感悟]　描点法作函数图象的三个注意点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
知识点三　求函数解析式
例3　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；
(3)已知2f(x)＋f＝x(x∈R，且x≠0)，求f(x)的解析式.
解：(1)方法一(换元法)　令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.∵＋1≥1，∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)(待定系数法)　依题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋
b＝2x.由恒等式性质，得∴所求二次函数为f(x)＝x2－
x＋1.
(3)(方程组法)　由可知f(x)＝(x≠0).
[反思感悟]　1.若已知函数的结构类型，常用待定系数法求解析式.
2.已知f(g(x))，求f(x)的解析式，一般用换元法.
3.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则函数f(x)的解析式为(　A　)
A. f(x)＝x2＋6x
B. f(x)＝x2＋8x＋7
C. f(x)＝x2＋2x－3
D. f(x)＝x2＋6x－10
2. 若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0，0)，则此二次函数的解析式可能为(　D　)
A. f(x)＝x2－1
B. f(x)＝－(x－1)2＋1
C. f(x)＝(x－1)2＋1
D. f(x)＝(x－1)2－1
3. 已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式为(　A　)
A. f(x)＝2x＋8 B. f(x)＝2x＋1
C. f(x)＝2x＋2 D. f(x)＝4x＋2
4. 已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(　B　)
A. (－2，－1) B. (4，－1)
C. (1，－4) D. (1，－2)(共24张PPT)
一、函数的概念及其表示
导学3　函数的表示法
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
知 识 梳 理
知识点一　函数的表示法
解析法
列出表格
图象
例1　某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x).
解：①用列表法可将函数y＝f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
②用图象法可将函数y＝f(x)表示为
③用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}.
[反思感悟]　理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
知 识 点 二
1. 描点法：列表、描点、连线.
2. 平移变换作图法：
(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象.
(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象.
知 识 梳 理
知识点二　函数图象的作法与应用
例2　作出下列函数的图象，并求出函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；
(4)y＝(x－2)2.
解：(1)当x∈[0，2]时，图象是一次函数y＝2x＋1图象的一部分，如图①所示，函数的值域是[1，5].
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝图象的一部分，如图②所示，函数的值域是(0，1].
① 　
②
(3)当x∈[－2，2]时，图象是
抛物线y＝x2＋2x图象的一部分，
如图③所示，函数的值域是
[－1，8].
(4)方法一　利用描点法作出函
数图象，图象是抛物线，如图
④所示，函数的值域是[0，＋∞).
③
④
方法二　图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图⑤所示，函数的值域是[0，＋∞).
⑤
[反思感悟]　描点法作函数图象的三个注意点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点.
知 识 点 三
知识点三　求函数解析式
例3　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；
(3)已知2f(x)＋f＝x(x∈R，且x≠0)，求f(x)的解析式.
解：(1)方法一(换元法)　令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.∵＋1≥1，∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)(待定系数法)　依题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.由恒等式性质，得∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
(3)(方程组法)　由可知f(x)＝(x≠0).
[反思感悟]　1.若已知函数的结构类型，常用待定系数法求解析式.
2.已知f(g(x))，求f(x)的解析式，一般用换元法.
3.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
随 堂 巩 固
1. 已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则函数f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝x2＋6x
B. f(x)＝x2＋8x＋7
C. f(x)＝x2＋2x－3
D. f(x)＝x2＋6x－10
A
2. 若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点
(0，0)，则此二次函数的解析式可能为(　　)
A. f(x)＝x2－1
B. f(x)＝－(x－1)2＋1
C. f(x)＝(x－1)2＋1
D. f(x)＝(x－1)2－1
D
3. 已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝2x＋8 B. f(x)＝2x＋1
C. f(x)＝2x＋2 D. f(x)＝4x＋2
A
4. 已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点
(　　)
A. (－2，－1) B. (4，－1)
C. (1，－4) D. (1，－2)
B

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