资源简介

(共21张PPT)
二、函数的基本性质
导学1　函数的单调性
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
1. 增、减函数的定义
知 识 梳 理
知识点一　直观感知函数的单调性
图示
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当__________时
都有___________ 都有_____________
结论 那么就称函数f(x) 在区间I上单调递增 那么就称函数f(x)
在区间I上单调递减
增、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是___________ 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是___________
x1＜x2
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
增函数
减函数
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上_______________________，那么就称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的__________.
单调递增或单调递减
单调区间
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间.
解：f(x)＝x2－4|x|＋3
＝
如图所示.
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2).
[反思感悟]　1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
知 识 点 二
知识点二　利用定义证明函数的单调性
例2　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增.
证明： x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增.
[反思感悟]　利用定义证明函数单调性的步骤
知 识 点 三
知识点三　函数单调性的简单应用
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是______________.
【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)·x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，∴函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，∵f(x)在(－∞，3]上单调递增，∴3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围是(－∞，－4].
(－∞，－4]
(2)若函数f(x)＝是定义在R上的减函
数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D. ∪
【解析】∵f(x)是定义在R上的减函数，
∴解得≤a＜.
A
[延伸探究]　在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的
单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为__________.
【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，
∴函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，∴a＝－4.
－4
[反思感悟]　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
随 堂 巩 固
1. 函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A. [－4，4] B. [－4，－3]∪[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
C
2. (2025·顺义区高一上学期期末)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，
则“a＜0”是“函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
3. (2025·来宾高一期中)函数f(x)＝|x－3|的单调递减区间是__________.
(－∞，3)
4. 已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)＜f(－x)，则x的取值范围是__________.
(－2，1)3.2 导学1　函数的单调性
知识点一　直观感知函数的单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 增、减函数的定义
图示
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当　x1＜x2　时
都有　f(x1)＜f(x2)　 都有　f(x1)＞f(x2)　
结论 那么就称函数f(x) 在区间I上单调递增 那么就称函数f(x) 在区间I上单调递减
增、减 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是　增函数　 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是　减函数　
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上　单调递增或单调递减　，那么就称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的　单调区间　.
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间.
解：f(x)＝x2－4|x|＋3＝
如图所示.
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2).
[反思感悟]　1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
知识点二　利用定义证明函数的单调性
例2　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增.
证明： x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增.
[反思感悟]　利用定义证明函数单调性的步骤
知识点三　函数单调性的简单应用
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　(－∞，－4]　.
【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)·x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，∴函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，∵f(x)在(－∞，3]上单调递增，∴3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围是(－∞，－4].
(2)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是(　A　)
A. B.
C. D. ∪
【解析】∵f(x)是定义在R上的减函数，
∴解得≤a＜.
[延伸探究]　在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为　－4　.
【解析】f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，
∴函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，∴a＝－4.
[反思感悟]　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　C　)
A. [－4，4] B. [－4，－3]∪[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
2. (2025·顺义区高一上学期期末)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，则“a＜0”是“函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增”的(　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (2025·来宾高一期中)函数f(x)＝|x－3|的单调递减区间是　(－∞，3)　.
4. 已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)＜f(－x)，则x的取值范围是　(－2，1)　. 3.2 导学1　函数的单调性
知识点一　直观感知函数的单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 增、减函数的定义
图示
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当　 　时
都有　 　 都有　 　
结论 那么就称函数f(x) 在区间I上单调递增 那么就称函数f(x) 在区间I上单调递减
增、减 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是　 　 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是　 　
2. 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上　 　，那么就称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的　 　.
例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间.
[反思感悟]　1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
2.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
知识点二　利用定义证明函数的单调性
例2　证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增.
[反思感悟]　利用定义证明函数单调性的步骤
知识点三　函数单调性的简单应用
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　 　.
(2)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D. ∪
[延伸探究]　在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为　 　.
[反思感悟]　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　 　)
A. [－4，4] B. [－4，－3]∪[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
2. (2025·顺义区高一上学期期末)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，则“a＜0”是“函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (2025·来宾高一期中)函数f(x)＝|x－3|的单调递减区间是　 　.
4. 已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)＜f(－x)，则x的取值范围是　 　.

展开更多......

收起↑