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3.2 导学2　函数的最大(小)值
知识点一　直观感知函数的最大值和最小值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
函数的最值
1. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)　 　M；
(2) x0∈D，使得　 　.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
2. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)　 　M；
(2) x0∈D，使得　 　.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
例1　已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和最值.
[反思感悟]　用图象法求最值的步骤
知识点二　利用函数的单调性求函数的最值
例2　已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
[延伸探究]　本例条件不变，求函数f(x)在[1，＋∞)的最值.
[反思感悟]　函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
知识点三　探究生活中的实际问题
例3　“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大 请求出最大值.
[反思感悟]　解实际应用题的步骤
(1)审清题意；
(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)总结结论，回归题意.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别是(　 　)
A. f，f B. f(0)，f
C. f，f(0) D. f(0)，f(3)
2. 函数y＝的最大值是(　 　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为　 　.
4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　 　m. 3.2 导学2　函数的最大(小)值
知识点一　直观感知函数的最大值和最小值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
函数的最值
1. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)　≤　M；
(2) x0∈D，使得　f(x0)＝M　.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
2. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)　≥　M；
(2) x0∈D，使得　f(x0)＝M　.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
例1　已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
解：图象如图所示：
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和最值.
解：由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，最大值是3，最小值是－1.
[反思感悟]　用图象法求最值的步骤
知识点二　利用函数的单调性求函数的最值
例2　已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，f(x1)－f(x2)＝.∵x2＞x1＞，∴x2－x1＞0，且(2x1－1)·(2x2－1)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝在区间上单调递减.
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
解：由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)＝在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值是f(1)＝3，最小值是f(5)＝.
[延伸探究]　本例条件不变，求函数f(x)在[1，＋∞)的最值.
解：由(1)知函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3，无最小值.
[反思感悟]　函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
知识点三　探究生活中的实际问题
例3　“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大 请求出最大值.
解：(1)依题意可得v＝
由解得
∴v＝
(2)设鱼的年生长量为f(x)＝vx.
当0＜x≤4时，f(x)＝2x≤8；
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x－10)2＋≤，∴当x＝10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值是千克/立方米.
[反思感悟]　解实际应用题的步骤
(1)审清题意；
(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)总结结论，回归题意.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别是(　B　)
A. f，f B. f(0)，f
C. f，f(0) D. f(0)，f(3)
2. 函数y＝的最大值是(　C　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为　±　.
4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为　3　m. (共22张PPT)
二、函数的基本性质
导学2　函数的最大(小)值
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
函数的最值
1. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)__________M；
(2) x0∈D，使得_____________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
知 识 梳 理
知识点一　直观感知函数的最大值和最小值
≤
f(x0)＝M
2. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1) x∈D，都有f(x)__________M；
(2) x0∈D，使得_____________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
≥
f(x0)＝M
例1　已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
解：图象如图所示：
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和最值.
解：由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，最大值是3，最小值是－1.
[反思感悟]　用图象法求最值的步骤
知 识 点 二
知识点二　利用函数的单调性求函数的最值
例2　已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上单调递减；
证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，f(x1)－f(x2)＝.∵x2＞x1＞，∴x2－x1＞0，且(2x1－1)·(2x2－1)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)＝在区间上单调递减.
(2)求函数f(x)在[1，5]上的最值.
解：由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减，
因此，函数f(x)＝在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值是f(1)＝3，最小值是f(5)＝.
[延伸探究]　本例条件不变，求函数f(x)在[1，＋∞)的最值.
解：由(1)知函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3，无最小值.
[反思感悟]　函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
知 识 点 三
知识点三　探究生活中的实际问题
例3　“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大 请求出最大值.
解：(1)依题意可得v＝
由解得
∴v＝
(2)设鱼的年生长量为f(x)＝vx.
当0＜x≤4时，f(x)＝2x≤8；
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x－10)2＋≤，∴当
x＝10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值是千克/立方米.
[反思感悟]　解实际应用题的步骤
(1)审清题意；
(2)建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
(3)总结结论，回归题意.
随 堂 巩 固
1. 函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别是(　　)
A. f，f B. f(0)，f
C. f，f(0) D. f(0)，f(3)
B
2. 函数y＝的最大值是(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
C
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，
则实数a的值为_________.
±
4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为__________m.
4.3

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