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3.2 导学3　函数的奇偶性
知识点一　判断函数的奇偶性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)就叫做奇函数.
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
解：(1)f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称.∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
(2)∵函数f(x)的定义域是{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝
－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
知识点二　奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出函数y＝f(x)的完整图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间.
解：(1)由题意完整函数图象如图所示：
(2)由图可知，函数的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
[延伸探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，应如何解答本题
解：(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1).
[反思感悟]　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
知识点三　利用函数奇偶性求值
例3　(1)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝　－1　；
【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝　－13　；
【解析】设g(x)＝f(x)＋3＝ax3－bx，则g(－x)＝－g(x)，又g(x)的定义域为R，关于原点对称，
∴g(x)为奇函数，由f(－1)＝7，得g(－1)＝10，
∴g(1)＝－10，从而f(1)＝g(1)－3＝－13.
(3)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝　－1　.
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，∴a＋1＝0，得a＝－1.
[反思感悟]　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列图象中，表示的函数具有奇偶性的是(　B　)
A. B. C. D.
2. (多选)下列函数中，是奇函数的有(　CD　)
A. y＝x(x∈[0，1]) 　　B. y＝3x2
C. y＝ 　　D. y＝x|x|
3. 如图所示，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)等于(　A　)
A. －2 B. 2
C. 1 D. 0
4. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝　1　. 3.2 导学3　函数的奇偶性
知识点一　判断函数的奇偶性
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　 　，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　 　，那么函数f(x)就叫做奇函数.
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
知识点二　奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出函数y＝f(x)的完整图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间.
[延伸探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，应如何解答本题
[反思感悟]　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
知识点三　利用函数奇偶性求值
例3　(1)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝　 　；
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝　 　；
(3)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝　 　.
[反思感悟]　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列图象中，表示的函数具有奇偶性的是(　 　)
A. B. C. D.
2. (多选)下列函数中，是奇函数的有(　 　)
A. y＝x(x∈[0，1]) 　　B. y＝3x2
C. y＝ 　　D. y＝x|x|
3. 如图所示，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)等于(　 　)
A. －2 B. 2
C. 1 D. 0
4. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝　 　. (共23张PPT)
二、函数的基本性质
导学3　函数的奇偶性
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
1. 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数.
2. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
x∈D，都有－x∈D，且_________________，那么函数f(x)就叫做奇函数.
知 识 梳 理
知识点一　判断函数的奇偶性
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
解：(1)f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称.
∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
(2)∵函数f(x)的定义域是{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.
[反思感悟]　判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
知 识 点 二
知识点二　奇、偶函数的图象及应用
例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出函数y＝f(x)的完整图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间.
解：(1)由题意完整函数图象如图所示：
(2)由图可知，函数的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
[延伸探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，应如何解答本题
解：(1)由题意作出函数图象如图所示.
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1).
[反思感悟]　巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
知 识 点 三
知识点三　利用函数奇偶性求值
例3　(1)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x2－x，则f(－1)＝__________；
【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
－1
(2)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝
__________；
【解析】设g(x)＝f(x)＋3＝ax3－bx，则g(－x)＝－g(x)，又g(x)的定义域为R，关于原点对称，
∴g(x)为奇函数，由f(－1)＝7，得g(－1)＝10，
∴g(1)＝－10，从而f(1)＝g(1)－3＝－13.
－13
(3)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝__________.
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，∴a＋1＝0，得a＝－1.
－1
[反思感悟]　利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
随 堂 巩 固
1. 下列图象中，表示的函数具有奇偶性的是(　　)
B
A. B. C. D.
2. (多选)下列函数中，是奇函数的有(　 　)
A. y＝x(x∈[0，1]) 　　B. y＝3x2
C. y＝ 　　D. y＝x|x|
CD
3. 如图所示，给出奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－2)＋f(－1)
等于(　　)
A. －2 B. 2
C. 1 D. 0
A
4. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝_______.
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