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3.2 导学4　函数奇偶性的应用
知识点一　利用函数的奇偶性求解析式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
利用函数奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x).
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
解：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－x2－2x－3，即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f(x)＋g(x)＝①，
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝②，
(①＋②)÷2，得f(x)＝(x≠±1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝(x≠±1).
[反思感悟]　利用函数奇偶性求解析式的策略
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上　单调递增　，即在对称区间上单调性　一致(相同)　.
2. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上　单调递减　，即在对称区间上单调性　相反　.
3. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值　－M　.
4. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值　N　.
例2　(1)(多选)(2024·深圳高一检测)若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则下列关系式中，成立的是(　ACD　)
A. f＞f(1)＞f(－2)
B. f(－1)＜f＜f(2)
C. f(2)＜f(－1)＜f
D. f(2)＜f＜f(－1)
【解析】若f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)，f(1)＝f(－1).∵f(x)在(－∞，0]上单调递增，∴f(－2)＜f＜f(－1)＜f，即f＞f(1)＞f(－2)，f(2)＜f(－1)＜f，f(－1)＞f＞f(2)，A，C，D正确，B错误.
(2)设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，
＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　A　)
A. f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B. f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C. f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D. f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】由题意知f(x)为偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，∵当x∈[0，
＋∞)时，f(x)单调递增，2＜3＜π，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
[反思感悟]　比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
知识点三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.
解：∵f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，∴f(x)在区间[－2，2]上是减函数.
又f(1－m)＜f(m)，∴即解得－1≤m＜，故实数m的取值范围是.
[延伸探究]　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：∵函数为[－2，2]上的偶函数，且函数在区间[－2，0]上单调递减，∴函数在区间[0，2]上单调递增，原不等式可化为f(|1－m|)＜f(|m|)，故可得
即
解得＜m≤2，故实数m的取值范围是.
[反思感悟]　利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题.
提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)＝f(|x|)的灵活运用.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b等于(　C　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
2. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，则f(－5)与f(3)的大小关系是　f(－5)＜f(3)　.
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围是　(－3，3)　. 3.2 导学4　函数奇偶性的应用
知识点一　利用函数的奇偶性求解析式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
利用函数奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x).
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.
[反思感悟]　利用函数奇偶性求解析式的策略
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上　 　，即在对称区间上单调性　 　.
2. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上　 　，即在对称区间上单调性　 　.
3. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值　 　.
4. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值　 　.
例2　(1)(多选)(2024·深圳高一检测)若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则下列关系式中，成立的是(　 　)
A. f＞f(1)＞f(－2)
B. f(－1)＜f＜f(2)
C. f(2)＜f(－1)＜f
D. f(2)＜f＜f(－1)
(2)设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，
＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　 　)
A. f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B. f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C. f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D. f(π)＜f(－2)＜f(－3)
[反思感悟]　比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
知识点三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.
[延伸探究]　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
[反思感悟]　利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题.
提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)＝f(|x|)的灵活运用.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b等于(　 　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
2. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，则f(－5)与f(3)的大小关系是　 　.
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围是　 　. (共22张PPT)
二、函数的基本性质
导学4　函数奇偶性的应用
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
利用函数奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x).
知 识 梳 理
知识点一　利用函数的奇偶性求解析式
例1　(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
解：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－x2－2x－3，即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
∵f(x)＋g(x)＝①，
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝②，
(①＋②)÷2，得f(x)＝(x≠±1)；
(①－②)÷2，得g(x)＝(x≠±1).
[反思感悟]　利用函数奇偶性求解析式的策略
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
(2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
知 识 点 二
1. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，
－a]上__________，即在对称区间上单调性____________.
2. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性__________.
知 识 梳 理
知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
3. 若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值M，则f(x)在
[－b，－a]上有最小值__________.
4. 若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值N，则f(x)在
[－b，－a]上有最大值__________.
－M
N
例2　(1)(多选)(2024·深圳高一检测)若偶函数f(x)在(－∞，0]
上单调递增，则下列关系式中，成立的是(　 　)
A. f＞f(1)＞f(－2)
B. f(－1)＜f＜f(2)
C. f(2)＜f(－1)＜f
D. f(2)＜f＜f(－1)
ACD
【解析】若f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)，f(1)＝f(－1).∵f(x)在(－∞，0]上单调递增，∴f(－2)＜f＜f(－1)＜f，即f＞f(1)＞f(－2)，f(2)＜f(－1)＜f，f(－1)＞f＞f(2)，A，C，D正确，B错误.
(2)设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大
小关系是(　　)
A. f(π)＞f(－3)＞f(－2) B. f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C. f(π)＜f(－3)＜f(－2) D. f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【解析】由题意知f(x)为偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，∵当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，2＜3＜π，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
A
[反思感悟]　比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
知 识 点 三
知识点三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
例3　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.
解：∵f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，∴f(x)在区间[－2，2]上是减函数.
又f(1－m)＜f(m)，∴即解得－1≤m＜，故实数m的取值范围是.
[延伸探究]　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：∵函数为[－2，2]上的偶函数，且函数在区间[－2，0]上单调递减，∴函数在区间[0，2]上单调递增，原不等式可化为f(|1－m|)＜f(|m|)，故可得即
解得＜m≤2，故实数m的取值范围是.
[反思感悟]　利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题.
提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)＝f(|x|)的灵活运用.
随 堂 巩 固
1. 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b等于(　　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
C
2. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调
递减，则f(－5)与f(3)的大小关系是__________________.
f(－5)＜f(3)
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若
f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围是__________.
(－3，3)

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