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3.3 幂函数
知识点一　幂函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是　自变量　，α是　常数　.
例1　(1)下列函数中，为幂函数的是(　A　)
A. y＝ B. y＝2x2
C. y＝x2＋x D. y＝1
【解析】∵y＝＝x－2，∴A是幂函数；y＝2x2由于自变量前出现系数2，∴B不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，∴C不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，∴D不是幂函数.
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x2＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
解：由题意得解得或∴m＝－3，或m＝1，n＝.
[反思感悟]　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：(1)指数为常数，(2)底数为自变量x，(3)自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…等形式的函数都不是幂函数.
知识点二　幂函数的图象及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
五个常见幂函数的图象
例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应C1，C2，C3，C4的n依次为(　B　)
A. －2，－，2 B. 2，，－，－2
C. －，－2，2， D. 2，，－2，－
【解析】根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，
y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，∴曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.
(2)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，求当x为何值时，①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
解：设f(x)＝xα，∵点(，2)在幂函数f(x)的图象上，∴将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，
①当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1，且x≠0时，f(x)＜g(x).
[反思感悟]　1.幂函数图象的画法
(1)根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.
(2)再结合定义域及奇偶性确定函数在其他象限内的图象.
2.解决幂函数图象问题时应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系.
知识点三　幂函数的性质及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
五个常见幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R 　[0，＋∞)　 　{x|x≠0}　
值域 R [0，＋∞) R 　[0，＋∞)　 　{y|y≠0}　
奇偶性 奇 偶 　奇　 　非奇非偶　 　奇　
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，　单调递增　； x∈(－∞，0]时，　单调递减　 　增　函数 　增　函数 x∈(0，＋∞)时，　单调递减　；x∈(－∞，0)时，单调递减
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①与；
②与；
③与.
解：①∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，且，∴.
②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，且－＜－.
③，∵幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且2＜，∴，即.
(2)已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
②判断函数的单调性，并进行证明；
③若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围.
解：①∵f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数，∴m2－2m＋1＝1，∴m＝2，或m＝0.
当m＝2时，f(x)＝，图象过点(4，2)；
当m＝0时，f(x)＝，图象不过点(4，2)，舍去.
综上，f(x)＝.
②函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数.
证明如下：设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，∵0≤x1＜x2，＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数.
③函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)＞f(2a－3)，则得≤a＜4.综上，实数a的取值范围是.
[反思感悟]　1.比较幂函数值大小的两种基本方法
2.解决幂函数的综合问题时的注意点
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，不是幂函数的为(　C　)
A. y＝ B. y＝x3
C. y＝3x D. y＝x－1
2. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　A　)
A. B. 2
C. D.
3. 如图所示，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　B　)
A. f(x)＝x2
B. f(x)＝
C. f(x)＝
D. f(x)＝x－2
4. 若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝　－1　. (共27张PPT)
三、幂函数
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是__________，α是__________.
知 识 梳 理
知识点一　幂函数的概念
y＝xα
自变量
常数
例1　(1)下列函数中，为幂函数的是(　　)
A. y＝ B. y＝2x2
C. y＝x2＋x D. y＝1
【解析】∵y＝＝x－2，∴A是幂函数；y＝2x2由于自变量前出现系数2，∴B不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，∴C不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，∴D不是幂函数.
A
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x2＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
解：由题意得解得或∴m＝－3，或m＝1，n＝.
[反思感悟]　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：(1)指数为常数，(2)底数为自变量x，(3)自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝
xα＋5…等形式的函数都不是幂函数.
知 识 点 二
五个常见幂函数的图象
知 识 梳 理
知识点二　幂函数的图象及应用
例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函
数y＝xn在第一象限的图象，已知n取
±2，±四个值，则对应C1，C2，C3，
C4的n依次为(　　)
A. －2，－，2 B. 2，，－，－2
C. －，－2，2， D. 2，，－2，－
B
【解析】根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当
n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，∴曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.
(2)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，求当x为何值时，①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
解：设f(x)＝xα，∵点(，2)在幂函数f(x)的图象上，∴将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)
＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观
察图象可得，
①当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1，或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1，且x≠0时，f(x)＜g(x).
[反思感悟]　1.幂函数图象的画法
(1)根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.
(2)再结合定义域及奇偶性确定函数在其他象限内的图象.
2.解决幂函数图象问题时应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系.
知 识 点 三
五个常见幂函数的性质
知 识 梳 理
知识点三　幂函数的性质及应用
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R ___________ ___________
值域 R [0，＋∞) R ___________ ___________
[0，＋∞)
{x|x≠0}
[0，＋∞)
{y|y≠0}
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
奇偶性 奇 偶 _____ ___________ ___________
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，__________； x∈(－∞，0]时，___________ _____函数 _____函数 x∈(0，＋∞)时，__________；x∈
(－∞，0)时，单调递减
奇
非奇非偶
奇
单调递增
单调递减
增
增
单调递减
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①与；
②与；
③与.
解：①∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，且，∴.
②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，且－＜－
.
③，∵幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且2＜，∴，即.
(2)已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
②判断函数的单调性，并进行证明；
③若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围.
解：①∵f(x)＝(m2－2m＋1)为幂函数，∴m2－2m＋1＝1，∴m＝2，或m＝0.
当m＝2时，f(x)＝，图象过点(4，2)；
当m＝0时，f(x)＝，图象不过点(4，2)，舍去.
综上，f(x)＝.
②函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数.
证明如下：设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，∵0≤x1＜x2，＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数.
③函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)＞f(2a－3)，则得≤a＜4.综上，实数a的取值范围是.
[反思感悟]　1.比较幂函数值大小的两种基本方法
2.解决幂函数的综合问题时的注意点
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
随 堂 巩 固
1. 下列函数中，不是幂函数的为(　　)
A. y＝ B. y＝x3
C. y＝3x D. y＝x－1
C
2. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　　)
A. B. 2
C. D.
A
3. 如图所示，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面
直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过
的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　)
A. f(x)＝x2
B. f(x)＝
C. f(x)＝
D. f(x)＝x－2
B
4. 若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝__________.
－13.3 幂函数
知识点一　幂函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
一般地，函数　 　叫做幂函数，其中x是　 　，α是　 　.
例1　(1)下列函数中，为幂函数的是(　 　)
A. y＝ B. y＝2x2
C. y＝x2＋x D. y＝1
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x2＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
[反思感悟]　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：(1)指数为常数，(2)底数为自变量x，(3)自变量x前的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…等形式的函数都不是幂函数.
知识点二　幂函数的图象及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
五个常见幂函数的图象
例2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应C1，C2，C3，C4的n依次为(　 　)
A. －2，－，2 B. 2，，－，－2
C. －，－2，2， D. 2，，－2，－
(2)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，求当x为何值时，①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x).
[反思感悟]　1.幂函数图象的画法
(1)根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.
(2)再结合定义域及奇偶性确定函数在其他象限内的图象.
2.解决幂函数图象问题时应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂的指数大小：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系.
知识点三　幂函数的性质及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
五个常见幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R 　 　 　 　
值域 R [0，＋∞) R 　 　 　 　
奇偶性 奇 偶 　 　 　 　 　 　
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，　 　； x∈(－∞，0]时，　 　 　 　函数 　 　函数 x∈(0，＋∞)时，　 　；x∈(－∞，0)时，单调递减
例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①与；
②与；
③与.
(2)已知幂函数f(x)＝(m2－2m＋1)的图象过点(4，2).
①求f(x)的解析式；
②判断函数的单调性，并进行证明；
③若f(a＋1)＞f(2a－3)，求实数a的取值范围.
[反思感悟]　1.比较幂函数值大小的两种基本方法
2.解决幂函数的综合问题时的注意点
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，不是幂函数的为(　 　)
A. y＝ B. y＝x3
C. y＝3x D. y＝x－1
2. 已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　 　)
A. B. 2
C. D.
3. 如图所示，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　 　)
A. f(x)＝x2
B. f(x)＝
C. f(x)＝
D. f(x)＝x－2
4. 若幂函数y＝(2a2＋a)xa在(0，＋∞)上单调递减，则a＝　 　.

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