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3.4 函数的应用(一)
知识点一　一次函数模型的应用
例1　报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问：报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元
[反思感悟]　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.
(3)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
知识点二　二次函数模型的应用
例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位：箱)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位：元)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
[反思感悟]　利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
知识点三　分段函数模型的应用
例3　中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(单位：万元).当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式；
(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大 请求出这个最大利润.
[反思感悟]　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域).
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域).
知识点四　幂函数模型的应用
例4　某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数解析式；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益 其最大收益是多少万元
[反思感悟]　幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数解析式，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数解析式.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为图中的(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
2. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(单位：g/m3)与大气压强x(单位：kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解析式为(　 　)
A. y＝3x(x≥0) B. y＝3x
C. y＝x(x≥0) D. y＝x
3. 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是　 　万元.
4. 2024年春节假期，国内旅游业迎来了“开门红”，某旅游景区投放市场的广告费x(单位：万元)与景区的利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数).其中由于经费限制，广告费不超过5万元，已知往年投入广告费为3万元时，景区的利润为27万元，若今年广告费投入5万元，预计今年景区的利润为　 　万元. 3.4 函数的应用(一)
知识点一　一次函数模型的应用
例1　报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问：报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元
解：设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，每月退回报社报纸共10×(x－250)份.
依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×[10(x－250)]，
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400).
∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，∴y是一个增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)，∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1 440元.
[反思感悟]　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.
(3)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
知识点二　二次函数模型的应用
例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位：箱)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位：元)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2)w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).
(3)∵w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，∴当x＜60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，∴当x＝55时，w有最大值，最大值是1 125，∴当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润是1 125元.
[反思感悟]　利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
知识点三　分段函数模型的应用
例3　中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(单位：万元).当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式；
解：当0＜x＜80时，y＝100x－－500＝－x2＋60x－500；
当x≥80时，y＝100x－－500＝1 680－.于是
y＝
(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大 请求出这个最大利润.
解：由(1)可知当0＜x＜80时，y＝－(x－60)2＋1 300，当x＝60时，y取得最大值是1 300；
当x≥80时，y＝1 680－≤1 680－2＝1 500，当且仅当x＝，即x＝90时，y取最大值是1 500.综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润是1 500万元.
[反思感悟]　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域).
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域).
知识点四　幂函数模型的应用
例4　某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数解析式；
解：设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资额之间的函数解析式分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由题图知f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益 其最大收益是多少万元
解：设股票类产品投资x万元，则债券类产品投资(20－x)万元，总收益为y万元.
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝＝－(－2)2＋3(0≤x≤20)，∴当
＝2，即x＝4时，收益最大，此时ymax＝3，即股票类产品投资4万元，债券类产品投资16万元时获得最大收益，最大收益是3万元.
[反思感悟]　幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数解析式，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数解析式.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为图中的(　B　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
2. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(单位：g/m3)与大气压强x(单位：kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解析式为(　A　)
A. y＝3x(x≥0) B. y＝3x
C. y＝x(x≥0) D. y＝x
3. 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是　2 500　万元.
4. 2024年春节假期，国内旅游业迎来了“开门红”，某旅游景区投放市场的广告费x(单位：万元)与景区的利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数).其中由于经费限制，广告费不超过5万元，已知往年投入广告费为3万元时，景区的利润为27万元，若今年广告费投入5万元，预计今年景区的利润为　125　万元. (共24张PPT)
四、函数的应用(一)
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
知 识 点 一
知识点一　一次函数模型的应用
例1　报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问：报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元
解：设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，每月退回报社报纸共10×(x－250)份.
依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08) ×[10(x－250)]，
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400).
∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6＞0，∴y是一个增函数，再由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)，∴每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多可获利1440元.
[反思感悟]　一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.
(3)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.
知 识 点 二
知识点二　二次函数模型的应用
例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(单位：箱)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位：元)关于销售单价x(单位：元/箱)之间的函数解析式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润 最大利润是多少
解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2)w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N).
(3)∵w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，∴当x＜60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，∴当x＝55时，w有最大值，最大值是1 125，∴当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润是1 125元.
[反思感悟]　利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
知 识 点 三
知识点三　分段函数模型的应用
例3　中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(单位：万元).当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式；
解：当0＜x＜80时，y＝100x－－500＝－x2＋60x－500；
当x≥80时，y＝100x－－500＝1 680－.于是y＝
(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大 请求出这个最大利润.
解：由(1)可知当0＜x＜80时，y＝－(x－60)2＋1 300，当x＝60时，y取得最大值是1 300；
当x≥80时，y＝1 680－≤1 680－2＝1 500，当且仅当x＝，即x＝90时，y取最大值是1 500.综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润是1 500万元.
[反思感悟]　应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域).
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域).
知 识 点 四
知识点四　幂函数模型的应用
例4　某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示).
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数解析式；
解：设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资额之间的函数解析式分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由题图知f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益 其最大收益是多少万元
解：设股票类产品投资x万元，则债券类产品投资(20－x)万元，总收益为y万元.
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝＝－(－2)2＋3 (0≤x≤20)，∴当＝2，即x＝4时，收益最大，此时ymax＝3，即股票类产品投资4万元，债券类产品投资16万元时获得最大收益，最大收益是3万元.
[反思感悟]　幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数解析式，利用待定系数法求出参数，确定函数解析式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数解析式.
随 堂 巩 固
1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为图中的(　　)
A. 　　　　 B. C. 　　　　 D.
B
2. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(单位：g/m3)与大气压强x(单位：kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解
析式为(　　)
A. y＝3x(x≥0) B. y＝3x
C. y＝x(x≥0) D. y＝x
A
3. 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单
位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，
且K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是_________万元.
2 500
4. 2024年春节假期，国内旅游业迎来了“开门红”，某旅游景区投放市场的广告费x(单位：万元)与景区的利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数).其中由于经费限制，广告费不超过5万元，已知往年投入广告费为3万元时，景区的利润为27万元，若今年广告费投入5万元，预计今年景区的利润为
__________万元.
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