资源简介

4.1 导学1　n次方根与分数指数幂
知识点一　n次方根
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的　 　，其中n＞1，且n∈N*.
2. n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝ x＝　 　 x＝0 x不存在
3. 根式
式子叫做　 　，这里n叫做　 　，a叫做　 　.
4. 根式的性质
(1)　 　没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝　 　.
(3)当n为奇数时，()n＝　 　(n∈N*，且n＞1).
(4)当n为偶数时，＝|a|＝
(n∈N*，且n＞1).
例1　(1)化简：
①；
②()2＋；
③.
(2)已知－3＜x＜3，求的值.
[延伸探究]　本例(2)中，若将条件“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，其结果又是什么
[反思感悟]　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
知识点二　分数指数幂
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ 　(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ 　＝ 　(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于　 　，0的负分数指数幂　 　.
例2　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a＞0)；(2)；
(3)((b＞0).
[反思感悟]　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
知识点三　有理数指数幂的运算性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝　 　(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝　 　(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝　 　(a＞0，b＞0，r∈Q).
点拨：1.＝ar－s(a＞0，r，s∈Q).
2.(a＞0，b＞0，r∈Q).
3.分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法.
4.正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
例3　(1)化简：＝ 　(式中字母均是正数)；
(2)计算：－(π－3)0＋＝　 　.
[反思感悟]　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若n∈N，n＞1，则等于(　 　)
A. 5 B. －5
C. －5或5 D. 不能确定
2. 若a＜，则化简的结果是(　 　)
A. 4a－1
B. 1－4a
C. －
D. －
3. (多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的有(　 　)
A. －＝－(x＞0)
B.
C. (x＞0，y＞0)
D. ＝－(x＞0)
4. 计算(π－3)0＋3－1×＝ 　. 4.1 导学1　n次方根与分数指数幂
知识点一　n次方根
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的　n次方根　，其中n＞1，且n∈N*.
2. n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝ x＝　±　 x＝0 x不存在
3. 根式
式子叫做　根式　，这里n叫做　根指数　，a叫做　被开方数　.
4. 根式的性质
(1)　负数　没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝　0　.
(3)当n为奇数时，()n＝　a　(n∈N*，且n＞1).
(4)当n为偶数时，＝|a|＝
(n∈N*，且n＞1).
例1　(1)化简：
①；
②()2＋；
③.
(2)已知－3＜x＜3，求的值.
解：(1)①原式＝|3－π|＝π－3.
②由题意知a－1≥0，即a≥1，
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
③原式＝＝
＋1＋－1＝2.
(2)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－
(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
[延伸探究]　本例(2)中，若将条件“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，其结果又是什么
解：原式＝＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
[反思感悟]　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
知识点二　分数指数幂
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ 　(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ 　＝ 　(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于　0　，0的负分数指数幂　没有意义　.
例2　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a＞0)；(2)；
(3)((b＞0).
解：(1)原式＝.
(2)原式＝.
(3)原式＝.
[反思感悟]　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
知识点三　有理数指数幂的运算性质
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝　ar＋s　(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝　ars　(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝　arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q).
点拨：1.＝ar－s(a＞0，r，s∈Q).
2.(a＞0，b＞0，r∈Q).
3.分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法.
4.正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
例3　(1)化简：＝ 　(式中字母均是正数)；
【解析】原式＝＝a－1＝.
(2)计算：－(π－3)0＋＝　2　.
【解析】原式＝－1＋2＝2.
[反思感悟]　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 若n∈N，n＞1，则等于(　A　)
A. 5 B. －5
C. －5或5 D. 不能确定
2. 若a＜，则化简的结果是(　B　)
A. 4a－1
B. 1－4a
C. －
D. －
3. (多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的有(　AC　)
A. －＝－(x＞0)
B.
C. (x＞0，y＞0)
D. ＝－(x＞0)
4. 计算(π－3)0＋3－1×＝ 　. (共27张PPT)
一、指数
导学1　n次方根与分数指数幂
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
1. n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__________，其中n＞1，且n∈N*.
知 识 梳 理
知识点一　n次方根
n次方根
2. n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝_______ x＝__________ x＝0 x不存在

±
3. 根式
式子叫做__________，这里n叫做__________，a叫做__________.
根式
根指数
被开方数
4. 根式的性质
(1)__________没有偶次方根.
(2)0的任何次方根都是0，记作＝__________.
(3)当n为奇数时，()n＝__________(n∈N*，且n＞1).
(4)当n为偶数时，＝|a|＝
(n∈N*，且n＞1).
负数
0
a
例1　(1)化简：
①；
②()2＋；
③.
(2)已知－3＜x＜3，求的值.
解：(1)①原式＝|3－π|＝π－3.
②由题意知a－1≥0，即a≥1，
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
③原式＝＝
＋1＋－1＝2.
(2)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－
(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
[延伸探究]　本例(2)中，若将条件“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，其结果又是什么
解：原式＝＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
[反思感悟]　正确区分与()n
(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.
(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
知 识 点 二
根式与分数指数幂的互化
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
知 识 梳 理
知识点二　分数指数幂
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝________＝
_________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
(3)0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂____________.
0
没有意义
例2　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a＞0)；(2)；
(3)((b＞0).
解：(1)原式＝.
(2)原式＝.
(3)原式＝.
[反思感悟]　根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数
分数指数的分子.
(2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
知 识 点 三
有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝__________(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝__________(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝__________(a＞0，b＞0，r∈Q).
点拨：1.＝ar－s(a＞0，r，s∈Q).
知 识 梳 理
知识点三　有理数指数幂的运算性质
ar＋s
ars
arbr
2.(a＞0，b＞0，r∈Q).
3.分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法.
4.正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
例3　(1)化简：＝_______(式中字母均是正数)；
【解析】原式＝
＝a－1＝.
(2)计算：－(π－3)0＋＝__________.
【解析】原式＝－1＋2＝2.
2
[反思感悟]　关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
随 堂 巩 固
1. 若n∈N，n＞1，则等于(　　)
A. 5 B. －5
C. －5或5 D. 不能确定
A
2. 若a＜，则化简的结果是(　　)
A. 4a－1
B. 1－4a
C. －
D. －
B
3. (多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的有
(　 　)
A. －＝－(x＞0)
B.
C. (x＞0，y＞0)
D. ＝－(x＞0)
AC
4. 计算(π－3)0＋3－1×＝_________.

展开更多......

收起↑