资源简介

4.1 导学2　无理数指数幂及其运算性质
知识点一　无理数指数幂
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的　实数　.
2. 实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ 　(a＞0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝　ars　(a＞0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝　arbr　(a＞0，b＞0，r∈R)；
(4)拓展：＝ 　(a＞0，r，s∈R).
例1　化简下列各式：
(1)π4－π·ππ－2；
(2)(；
(3)×12.
解：(1)π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
(2)(＝π2－1＝π.
(3)×12×＝52＝25.
[反思感悟]　无理数指数幂的运算技巧
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留，直接运算.
知识点二　实际问题中的指数运算
例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒　4　次后才能使酒精的浓度低于10%.
【解析】由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令，验证可得n≥4，∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
[反思感悟]　指数运算在实际问题中的应用：在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
知识点三　实数指数幂的综合运用
例3　已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x2＋x－2；(2)；(3)x2－x－2.
解：(1)x＋x－1＝7，两边平方得x2＋2＋x－2＝49，
∴x2＋x－2＝47.
(2)设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，∵m＞0，∴m＝3，即＝3.
(3)设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，∵n∈R，∴n＝±，即＝±，∴x－x－1＝()()＝±3，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
[延伸探究]　本例的条件不变，求x3＋x－3的值.
解：由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，∴x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.
[反思感悟]　利用整体代换法求分数指数幂的和(差)
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝ 2，＝(±)2 2.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. ·等于(　B　)
A. 103 B. 1
C. 310 D.
2. 已知am＝4，an＝3，则等于(　A　)
A. B. 6
C. D. 2
3. 已知＝5(x＞0)，则等于(　A　)
A. B. －
C. ± D. 7
4. 式子(a，b＞0)的值为　1　. 4.1 导学2　无理数指数幂及其运算性质
知识点一　无理数指数幂
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的　　.
2. 实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ 　(a＞0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝　　(a＞0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝　　(a＞0，b＞0，r∈R)；
(4)拓展：＝ 　(a＞0，r，s∈R).
例1　化简下列各式：
(1)π4－π·ππ－2；
(2)(；
(3)×12.
[反思感悟]　无理数指数幂的运算技巧
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留，直接运算.
知识点二　实际问题中的指数运算
例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒　　次后才能使酒精的浓度低于10%.
[反思感悟]　指数运算在实际问题中的应用：在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
知识点三　实数指数幂的综合运用
例3　已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x2＋x－2；(2)；(3)x2－x－2.
[延伸探究]　本例的条件不变，求x3＋x－3的值.
[反思感悟]　利用整体代换法求分数指数幂的和(差)
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝ 2，＝(±)2 2.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. ·等于(　　)
A. 103 B. 1
C. 310 D.
2. 已知am＝4，an＝3，则等于(　　)
A. B. 6
C. D. 2
3. 已知＝5(x＞0)，则等于(　　)
A. B. －
C. ± D. 7
4. 式子(a，b＞0)的值为　　. (共19张PPT)
一、指数
导学2　无理数指数幂及其运算性质
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
1. 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α为无理数)是一个确定的__________.
知 识 梳 理
知识点一　无理数指数幂
实数
2. 实数指数幂的运算法则
(1)aras＝__________(a＞0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝__________(a＞0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝__________(a＞0，b＞0，r∈R)；
(4)拓展：＝__________(a＞0，r，s∈R).
例1　化简下列各式：
(1)π4－π·ππ－2；
(2)(；
(3)×12.
解：(1)π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
(2)(＝π2－1＝π.
(3)×12×＝52＝25.
[反思感悟]　无理数指数幂的运算技巧
(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留，直接运算.
知 识 点 二
知识点二　实际问题中的指数运算
例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒__________次后才能使酒精的浓度低于10%.
【解析】由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令，验证可得n≥4，∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
4
[反思感悟]　指数运算在实际问题中的应用：在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
知 识 点 三
知识点三　实数指数幂的综合运用
例3　已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x2＋x－2；(2)；(3)x2－x－2.
解：(1)x＋x－1＝7，两边平方得x2＋2＋x－2＝49，
∴x2＋x－2＝47.
(2)设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
∵m＞0，∴m＝3，即＝3.
(3)设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，∵n∈R，∴n＝±，即＝±，∴x－x－1＝()()＝±3，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
[延伸探究]　本例的条件不变，求x3＋x－3的值.
解：由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，
∴x3＋x－3＝(x＋x－1) (x2＋x－2－1)＝7×46＝322.
[反思感悟]　利用整体代换法求分数指数幂的和(差)
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝ 2，＝(±)2 2.
随 堂 巩 固
1. ·等于(　　)
A. 103 B. 1
C. 310 D.
B
2. 已知am＝4，an＝3，则等于(　　)
A. B. 6
C. D. 2
A
3. 已知＝5(x＞0)，则等于(　　)
A. B. －
C. ± D. 7
A
4. 式子(a，b＞0)的值为__________.
1

展开更多......

收起↑