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4.2 导学1　指数函数的概念
知识点一　指数函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
指数函数的概念：一般地，函数　 　(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
例1　(1)下列函数中，是指数函数的为(　 　)
A. y＝x3 B. y＝(－4)x
C. y＝5x＋1 D. y＝52x
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　 　)
A. a＝1 B. a＝2
C. a＝3 D. a＞0，且a≠1
[反思感悟]　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值a＞0，且a≠1.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
知识点二　求指数函数的解析式或求值
例2　(1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　 　)
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(－2)＝ 　.
[反思感悟]　
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
知识点三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当　 　时为指数增长型函数模型.
2. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当　 　时为指数衰减型函数模型.
例3　(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　 　)
A. 640 B. 1 280
C. 2 560 D. 5 120
[延伸探究]　将本例的条件(1)变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，10个细菌能达到的个数.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B，t分钟后，桶A中的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B中的水相等，要使桶A中的水只有升，必须再经过(　 　)
A. 12分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟
[反思感悟]　关于函数模型y＝kax的构建与求解
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律.
(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各函数中，为指数函数的是(　 　)
A. y＝(－3)x B. y＝－3x
C. y＝3x－1 D. y＝
2. 若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为(　 　)
A. f(x)＝x3 B. f(x)＝2x
C. f(x)＝ D. f(x)＝
3. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2019年的耕地面积为m，则2024年的耕地面积为(　 　)
A. (1－0.1250)m B. 0.m
C. 0.9250m D. (1－0.)m
4. 指数函数f(x)＝()x，且f(a)＝27，则a＝　 　. (共22张PPT)
二、指数函数
导学1　指数函数的概念
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
指数函数的概念：一般地，函数__________(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
知 识 梳 理
知识点一　指数函数的概念
y＝ax
例1　(1)下列函数中，是指数函数的为(　　)
A. y＝x3 B. y＝(－4)x
C. y＝5x＋1 D. y＝52x
【解析】A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝52x＝25x，符合指数函数的定义，故是指数函数.
D
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　)
A. a＝1 B. a＝2
C. a＝3 D. a＞0，且a≠1
【解析】由指数函数的定义得解得a＝2.
B
[反思感悟]　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值a＞0，且a≠1.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
知 识 点 二
知识点二　求指数函数的解析式或求值
例2　(1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为
(　　)
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2
【解析】∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8，
∴f(x)＝8x，f＝2.
D
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(－2)＝
_________.
【解析】设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f得，∴a＝3，∴f(－2)＝3－2＝.

[反思感悟]　
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
知 识 点 三
1. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当__________时为指数增长型函数模型.
2. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当_____________时为指数衰减型函数模型.
知 识 梳 理
知识点三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
a＞1
0＜a＜1
例3　(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单
位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A. 640 B. 1 280
C. 2 560 D. 5 120
【解析】原来的细菌数为a，由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a，∴2a＝10ek，即ek＝，∴y＝，当a＝10，t＝7时，y＝10×27＝1 280，∴10个细菌经过7小时培养能达到的个数为1 280.
B
[延伸探究]　将本例的条件(1)变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，10个细菌能达到的个数.
解：设原来的细菌数为a，由题意可得，当t＝1时，y＝3a，∴3a＝10ek，即ek＝.
当a＝10时，ek＝3，∴y＝10ekt＝10×3t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A
中有a升水，桶B中无水.现把桶A中的水
注入桶B，t分钟后，桶A中的水剩余y1＝
amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，
桶A和桶B中的水相等，要使桶A中的水只
有升，必须再经过(　　)
A. 12分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟
B
【解析】设桶B中水的体积为y2＝a－amt，由题意知，当t＝5时，y1＝y2，∴am5＝a－am5，可得m5＝，令y1＝amt＝，可得
mt＝＝(m5)4＝m20，解得t＝20，20－5＝15，∴必须再经过15分钟.
[反思感悟]　关于函数模型y＝kax的构建与求解
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律.
(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
随 堂 巩 固
1. 下列各函数中，为指数函数的是(　　)
A. y＝(－3)x B. y＝－3x
C. y＝3x－1 D. y＝
D
2. 若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝x3 B. f(x)＝2x
C. f(x)＝ D. f(x)＝
B
3. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2019年的耕地面积为m，则
2024年的耕地面积为(　　)
A. (1－0.1250)m B. 0.m
C. 0.9250m D. (1－0.)m
B
4. 指数函数f(x)＝()x，且f(a)＝27，则a＝__________.
64.2 导学1　指数函数的概念
知识点一　指数函数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
指数函数的概念：一般地，函数　y＝ax　(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
例1　(1)下列函数中，是指数函数的为(　D　)
A. y＝x3 B. y＝(－4)x
C. y＝5x＋1 D. y＝52x
【解析】A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝52x＝25x，符合指数函数的定义，故是指数函数.
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　B　)
A. a＝1 B. a＝2
C. a＝3 D. a＞0，且a≠1
【解析】由指数函数的定义得解得a＝2.
[反思感悟]　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值a＞0，且a≠1.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
知识点二　求指数函数的解析式或求值
例2　(1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　D　)
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2
【解析】∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8，∴f(x)＝8x，f＝2.
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(－2)＝ 　.
【解析】设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f得，∴a＝3，
∴f(－2)＝3－2＝.
[反思感悟]　
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
知识点三　指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当　a＞1　时为指数增长型函数模型.
2. y＝kax(k＞0，a＞0，且a≠1)，当　0＜a＜1　时为指数衰减型函数模型.
例3　(1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中e，k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　B　)
A. 640 B. 1 280
C. 2 560 D. 5 120
【解析】原来的细菌数为a，由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a，∴2a＝10ek，即ek＝，∴y＝，当a＝10，t＝7时，y＝10×27＝1 280，∴10个细菌经过7小时培养能达到的个数为1 280.
[延伸探究]　将本例的条件(1)变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，10个细菌能达到的个数.
解：设原来的细菌数为a，由题意可得，当t＝1时，y＝3a，∴3a＝10ek，
即ek＝.
当a＝10时，ek＝3，∴y＝10ekt＝10×3t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B，t分钟后，桶A中的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B中的水相等，要使桶A中的水只有升，必须再经过(　B　)
A. 12分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟
【解析】设桶B中水的体积为y2＝a－amt，由题意知，当t＝5时，y1＝y2，
∴am5＝a－am5，可得m5＝，令y1＝amt＝，可得mt＝＝(m5)4＝m20，解得t＝20，20－5＝15，∴必须再经过15分钟.
[反思感悟]　关于函数模型y＝kax的构建与求解
(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律.
(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列各函数中，为指数函数的是(　D　)
A. y＝(－3)x B. y＝－3x
C. y＝3x－1 D. y＝
2. 若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为(　B　)
A. f(x)＝x3 B. f(x)＝2x
C. f(x)＝ D. f(x)＝
3. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2019年的耕地面积为m，则2024年的耕地面积为(　B　)
A. (1－0.1250)m B. 0.m
C. 0.9250m D. (1－0.)m
4. 指数函数f(x)＝()x，且f(a)＝27，则a＝　6　.

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