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4.3 导学3　换底公式
知识点一　对数的换底公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 对数换底公式：logab＝ 　(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1).
2. 对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1).
(2)lobm＝ 　logab(a＞0，且a≠1，b＞0).
(3)logab·logbc·logcd＝　logad　(a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a≠1，b≠1，c≠1).
特别地，logab·logba＝1.
例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
解：原式＝·×.
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解：方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝.
方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，
∴log3645＝.
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).
解：∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log915＝
.
[反思感悟]　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
知识点二　对数运算性质的综合运用
例2　(1)设3a＝4b＝36，求的值；
(2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值.
解：(1)方法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
∴＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，log64＝log62，∴＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令3x＝4y＝6z＝a(a＞0)，由题意得a≠1，∴x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a，∴××.
[反思感悟]　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
知识点三　实际问题中的对数运算
例3　分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60~110为过渡区，110以上为有害区.
(1)试列出分贝y关于声压P的函数解析式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区 声音环境是否优良
解：(1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5).
(2)当P＝0.002时，y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝).由已知条件知40分贝小于60分贝，∴此地为噪音无害区，声音环境优良.
[反思感悟]　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. －＋log23×log34的值为(　D　)
A. B.
C. 1 D.
2. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　A　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
3. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　B　)
A. B.
C. D.
4. 已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝ 　(用p，q表示). (共21张PPT)
三、对数
导学3　换底公式
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
1. 对数换底公式：logab＝___________(a＞0，且a≠1；b＞0；
c＞0，且c≠1).
知 识 梳 理
知识点一　对数的换底公式
2. 对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1).
(2)lobm＝ _________logab(a＞0，且a≠1，b＞0).
(3)logab·logbc·logcd＝__________(a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a≠1，b≠1，c≠1).
特别地，logab·logba＝1.
logad
例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
解：原式＝·
×.
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解：方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝
.
方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b，
∴log3645＝.
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).
解：∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log915＝
.
[反思感悟]　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
知 识 点 二
知识点二　对数运算性质的综合运用
例2　(1)设3a＝4b＝36，求的值；
(2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值.
解：(1)方法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
∴＝2log363＋log364＝log3636＝1.
方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴＝log63，log64＝log62，∴＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令3x＝4y＝6z＝a(a＞0)，由题意得a≠1，∴x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a，∴××.
[反思感悟]　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
知 识 点 三
知识点三　实际问题中的对数运算
例3　分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60~110为过渡区，110以上为有害区.
(1)试列出分贝y关于声压P的函数解析式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区 声音环境是否优良
解：(1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5).
(2)当P＝0.002时，y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝).由已知条件知40分贝小于60分贝，∴此地为噪音无害区，声音环境优良.
[反思感悟]　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
随 堂 巩 固
1. －＋log23×log34的值为(　　)
A. B.
C. 1 D.
D
2. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
A
3. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)
A. B.
C. D.
B
4. 已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝_________(用p，q表示). 4.3 导学3　换底公式
知识点一　对数的换底公式
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 对数换底公式：logab＝ 　(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1).
2. 对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1).
(2)lobm＝ 　logab(a＞0，且a≠1，b＞0).
(3)logab·logbc·logcd＝　 　(a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且a≠1，b≠1，c≠1).
特别地，logab·logba＝1.
例1　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
[延伸探究]　若本例(2)条件不变，求log915(用a，b表示).
[反思感悟]　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
知识点二　对数运算性质的综合运用
例2　(1)设3a＝4b＝36，求的值；
(2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值.
[反思感悟]　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
知识点三　实际问题中的对数运算
例3　分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60~110为过渡区，110以上为有害区.
(1)试列出分贝y关于声压P的函数解析式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区 声音环境是否优良
[反思感悟]　关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. －＋log23×log34的值为(　 　)
A. B.
C. 1 D.
2. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　 　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
3. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　 　)
A. B.
C. D.
4. 已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝ 　(用p，q表示).

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