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四、对数函数
导学3　对数函数的图象和性质(二)
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
反函数：一般地，指数函数__________(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
知 识 梳 理
知识点一　反函数
y＝ax
例1　(1)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为
(　　)
A. 16 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x，∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
B
(2)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，
则f(2)＋g(4)等于(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，f(x)＝
＝2x，∴g(x)＝log2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.
D
[反思感悟]　反函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
知 识 点 二
知识点二　与对数函数有关的定义域(值域)问题
例2　(1)函数y＝的定义域是__________.
【解析】要使函数有意义，则lg (2－x)≥0，
∴∴x≤1，故函数的定义域是(－∞，1].
(－∞，1]
(2)已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解：由f(x)的定义域是R，得ax2＋2x＋1＞0恒成立，当a＝0时，2x＋1＞0，x＞－，不符合题意；
当a≠0时，由解得a＞1，
即实数a的取值范围是(1，＋∞).
[延伸探究]　若本例(2)中的“f(x)的定义域是R”改为“f(x)的值域是R”，其他条件不变，求实数a的取值范围.
解：∵f(x)的值域是R，∴y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数，
①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；
②当a≠0时，需即0＜a≤1.
综上，实数a的取值范围是[0，1].
[反思感悟]　1.求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围.
2.把函数f(x)＝ln g(x)的定义域是R的问题转化为g(x)＞0的恒成立问题求解.
知 识 点 三
知识点三　与对数函数有关的综合性问题
例3　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，∴f(x)的定义域是(0，＋∞).
(2)设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1，∴log4(－1)＜log4(－1)，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(3)∵f(x)在区间上单调递增，又f＝0，f(2)＝log415，∴f(x)在上的值域是[0，log415].
[反思感悟]　解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答问题时应注意定义域优先的原则.
(3)由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需对底数进行分类讨论.
随 堂 巩 固
1. 函数f(x)＝的定义域是(　　)
A. (0，2) B. (0，2]
C. (2，＋∞) D. [2，＋∞)
C
2. 函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域是(　　)
A. (3，＋∞) B. (－∞，3)
C. [3，＋∞) D. (－∞，3]
C
3. 函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. a
C
4. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象
经过点，则a＝_________. 4.4 导学3　对数函数的图象和性质(二)
知识点一　反函数
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
反函数：一般地，指数函数　 　(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
例1　(1)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为(　 　)
A. 16 B. 0
C. 1 D. 2
(2)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)等于(　 　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
[反思感悟]　反函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
知识点二　与对数函数有关的定义域(值域)问题
例2　(1)函数y＝的定义域是　 　.
(2)已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
[延伸探究]　若本例(2)中的“f(x)的定义域是R”改为“f(x)的值域是R”，其他条件不变，求实数a的取值范围.
[反思感悟]　1.求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围.
2.把函数f(x)＝ln g(x)的定义域是R的问题转化为g(x)＞0的恒成立问题求解.
知识点三　与对数函数有关的综合性问题
例3　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
[反思感悟]　解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答问题时应注意定义域优先的原则.
(3)由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需对底数进行分类讨论.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝的定义域是(　 　)
A. (0，2) B. (0，2]
C. (2，＋∞) D. [2，＋∞)
2. 函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域是(　 　)
A. (3，＋∞) B. (－∞，3)
C. [3，＋∞) D. (－∞，3]
3. 函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. a
4. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝ 　. 4.4 导学3　对数函数的图象和性质(二)
知识点一　反函数
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
反函数：一般地，指数函数　y＝ax　(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
例1　(1)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为(　B　)
A. 16 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x，∴f(f(2))＝f(log22)＝
f(1)＝log21＝0.
(2)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)等于(　D　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，f(x)＝＝2x，
∴g(x)＝log2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.
[反思感悟]　反函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
知识点二　与对数函数有关的定义域(值域)问题
例2　(1)函数y＝的定义域是　(－∞，1]　.
【解析】要使函数有意义，则lg (2－x)≥0，
∴∴x≤1，故函数的定义域是(－∞，1].
(2)已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1).若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围.
解：由f(x)的定义域是R，得ax2＋2x＋1＞0恒成立，当a＝0时，2x＋1＞0，
x＞－，不符合题意；
当a≠0时，由解得a＞1，
即实数a的取值范围是(1，＋∞).
[延伸探究]　若本例(2)中的“f(x)的定义域是R”改为“f(x)的值域是R”，其他条件不变，求实数a的取值范围.
解：∵f(x)的值域是R，∴y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数，
①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意；
②当a≠0时，需即0＜a≤1.
综上，实数a的取值范围是[0，1].
[反思感悟]　1.求形如y＝的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围.
2.把函数f(x)＝ln g(x)的定义域是R的问题转化为g(x)＞0的恒成立问题求解.
知识点三　与对数函数有关的综合性问题
例3　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域.
解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，∴f(x)的定义域是(0，＋∞).
(2)设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1，∴log4(－1)＜log4(－1)，
即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(3)∵f(x)在区间上单调递增，又f＝0，f(2)＝log415，∴f(x)在上的值域是[0，log415].
[反思感悟]　解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答问题时应注意定义域优先的原则.
(3)由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需对底数进行分类讨论.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝的定义域是(　C　)
A. (0，2) B. (0，2]
C. (2，＋∞) D. [2，＋∞)
2. 函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域是(　C　)
A. (3，＋∞) B. (－∞，3)
C. [3，＋∞) D. (－∞，3]
3. 函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　C　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. a
4. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝ 　.

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