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4.4 导学4　不同函数增长的差异
知识点一　几个函数模型增长差异的比较
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
三种常见函数模型增长的差异
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝kx (k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 　单调递增　 　单调递增　 　单调递增　
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过　y＝kx(k＞0)　的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有　logax＜kx　
增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有　ax＞kx＞logax　
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　A　)
A. y＝2 024x B. y＝x2 024
C. y＝log2 024x D. y＝2 024x
【解析】比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　C　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y3，y1，y2
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数.
[反思感悟]　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，增长速度平缓.
知识点二　三类函数增长速度的比较
例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 023)，g(2 023)的大小.
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2，2 023＞x2，从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 023)＞g(2 023).
又g(2 023)＞g(6)，∴f(2 023)＞g(2 023)＞g(6)＞f(6).
[反思感悟]　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
知识点三　函数模型的选择问题
例3　某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示).
观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该公司的要求.
[反思感悟]　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　D　)
A. y＝x2 B. y＝log2x
C. y＝2x D. y＝2x
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则下列函数中，与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)(　B　)
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx
C. y＝ax2＋b D. y＝a＋
3. 甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则下列各图中，能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　B　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
4. 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　f(x)＞g(x)　. (共21张PPT)
四、对数函数
导学4　不同函数增长的差异
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
三种常见函数模型增长的差异
知 识 梳 理
知识点一　几个函数模型增长差异的比较
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝kx
(k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 ___________ ___________ ___________
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度不变
单调递增
单调递增
单调递增
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝kx
(k＞0)
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过______________的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有___________
增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有______________
y＝kx(k＞0)
logax＜kx
ax＞kx＞logax
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A. y＝2 024x B. y＝x2 024
C. y＝log2 024x D. y＝2 024x
【解析】比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
A
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量
依次是(　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y3，y1，y2
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数.
C
[反思感悟]　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，增长速度平缓.
知 识 点 二
知识点二　三类函数增长速度的比较
例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图
所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，
f(2 023)，g(2 023)的大小.
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2，2 023＞x2，从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2 023)＞g(2 023).
又g(2 023)＞g(6)，∴f(2 023)＞g(2 023)＞g(6)＞f(6).
[反思感悟]　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
知 识 点 三
知识点三　函数模型的选择问题
例3　某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，
y＝log5x，y＝1.02x的图象(如
图所示).
观察图象可知，在区间
[5，60]上，y＝0.2x，y＝
1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该公司的要求.
[反思感悟]　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
随 堂 巩 固
1. 下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　　)
A. y＝x2 B. y＝log2x
C. y＝2x D. y＝2x
D
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则下列函数中，与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)(　　)
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx
C. y＝ax2＋b D. y＝a＋
B
3. 甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则下列各图中，能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　　)
B
A. 　 B. C. 　 D.
4. 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为_____________.
f(x)＞g(x)4.4 导学4　不同函数增长的差异
知识点一　几个函数模型增长差异的比较
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
三种常见函数模型增长的差异
　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝kx (k＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 　 　 　 　 　 　
图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过　 　的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒有　 　
增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有　 　
例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　 　)
A. y＝2 024x B. y＝x2 024
C. y＝log2 024x D. y＝2 024x
(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　 　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y3，y1，y2
[反思感悟]　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，增长速度平缓.
知识点二　三类函数增长速度的比较
例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 023)，g(2 023)的大小.
[反思感悟]　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
知识点三　函数模型的选择问题
例3　某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求
[反思感悟]　建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(　 　)
A. y＝x2 B. y＝log2x
C. y＝2x D. y＝2x
2. 在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.00 －1.00 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则下列函数中，与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)(　 　)
A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx
C. y＝ax2＋b D. y＝a＋
3. 甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则下列各图中，能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
4. 已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　 　.

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