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4.5 导学1　函数的零点与方程的解
知识点一　函数的零点与方程的解
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 概念：使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2. 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系：
点拨：1.函数的零点是实数，而不是点.如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
2.并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点.
3.若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
例1　(1)(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　CD　)
A. x＝－2 B. x＝－
C. x＝ D. x＝2
【解析】由方程(x2－4)＝0，得x2－4＝0，或2x－1＝0，解得x＝±2，或x＝，又由2x－1≥0，解得x≥，∴方程(x2－4)＝0的解为x＝2，或x＝.
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋ax的零点为　0，－　.
【解析】由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0，或x＝－，∴函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0，－.
[反思感悟]　探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
知识点二　函数零点存在定理
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
函数零点存在定理
1. 条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条　连续不断　的曲线，且有　f(a)f(b)＜0　.
2. 结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内　至少有一个　零点，即　存在c∈(a，b)　，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
例2　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　A　)
A. (－3，－1)和(2，4)
B. (－3，－1)和(－1，1)
C. (－1，1)和(1，2)
D. (－∞，－3)和(4，＋∞)
【解析】易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24＜0，∴f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根.同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　C　)
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
【解析】方法一　∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴f(x)在(0，1)内有零点.
方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.如图所示，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1).
[反思感悟]　判断函数y＝f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
知识点三　函数零点个数的问题
例3　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　B　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【解析】当x≤0时，令f(x)＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，令f(x)＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝－x＋2(x＞0)的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点.综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 　.
【解析】函数f(x)＝的图象如图所示.
函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，由图知实数k的取值范围是.
[反思感悟]　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是(　C　)
A. (0，4) B. (4，0)
C. 4 D. 8
2. 函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　B　)
A. (1，＋∞) B.
C. D.
3. 对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　D　)
A. 方程f(x)＝0一定有一实数解
B. 方程f(x)＝0一定无实数解
C. 方程f(x)＝0一定有两实根
D. 方程f(x)＝0可能无实数解
4. 函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有　3　个. (共25张PPT)
五、函数的应用(二)
导学1　函数的零点与方程的解
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
1. 概念：使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
知 识 梳 理
知识点一　函数的零点与方程的解
f(x)＝0
2. 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系：
x轴
f(x)＝0
点拨：1.函数的零点是实数，而不是点.如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
2.并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点.
3.若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
例1　(1)(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　 　)
A. x＝－2 B. x＝－
C. x＝ D. x＝2
【解析】由方程(x2－4)＝0，得x2－4＝0，或2x－1＝0，解得x＝±2，或x＝，又由2x－1≥0，解得x≥，∴方程(x2－4)＝0的解为x＝2，或x＝.
CD
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋
ax的零点为____________.
【解析】由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0，或x＝－，∴函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0，－.
0，－
[反思感悟]　探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
知 识 点 二
函数零点存在定理
1. 条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有_____________.
2. 结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内______________零点，即______________，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
知 识 梳 理
知识点二　函数零点存在定理
连续不断
f(a)f(b)＜0
至少有一个
存在c∈(a，b)
例2　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间
是(　　)
A. (－3，－1)和(2，4) B. (－3，－1)和(－1，1)
C. (－1，1)和(1，2) D. (－∞，－3)和(4，＋∞)
A
【解析】易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24＜0，∴f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根.同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
C
【解析】方法一　∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴f(x)在(0，1)内有零点.
方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函
数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x
的图象交点的横坐标所在的区间.如图所示，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点
所在的区间为(0，1).
[反思感悟]　判断函数y＝f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
知 识 点 三
知识点三　函数零点个数的问题
例3　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
B
【解析】当x≤0时，令f(x)＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，令f(x)＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝－x＋2(x＞0)的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点.综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两
个不同的零点，则实数k的取值范围是___________.
【解析】函数f(x)＝
的图象如图所示.
函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，
等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个
不同的交点，由图知实数k的取值范围
是.

[反思感悟]　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
随 堂 巩 固
1. 函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是(　　)
A. (0，4) B. (4，0)
C. 4 D. 8
C
2. 函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)
A. (1，＋∞) B.
C. D.
B
3. 对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　　)
A. 方程f(x)＝0一定有一实数解
B. 方程f(x)＝0一定无实数解
C. 方程f(x)＝0一定有两实根
D. 方程f(x)＝0可能无实数解
D
4. 函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有__________个.
34.5 导学1　函数的零点与方程的解
知识点一　函数的零点与方程的解
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 概念：使　 　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2. 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系：
点拨：1.函数的零点是实数，而不是点.如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
2.并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝，y＝x2＋1均没有零点.
3.若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
例1　(1)(多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　 　)
A. x＝－2 B. x＝－
C. x＝ D. x＝2
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，则函数g(x)＝bx2＋ax的零点为　 　.
[反思感悟]　探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
知识点二　函数零点存在定理
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
函数零点存在定理
1. 条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条　 　的曲线，且有　 　.
2. 结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内　 　零点，即　 　，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
例2　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表所示：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　 　)
A. (－3，－1)和(2，4)
B. (－3，－1)和(－1，1)
C. (－1，1)和(1，2)
D. (－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　 　)
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
[反思感悟]　判断函数y＝f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
知识点三　函数零点个数的问题
例3　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　 　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 　.
[反思感悟]　判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 函数f(x)＝x2－8x＋16的零点是(　 　)
A. (0，4) B. (4，0)
C. 4 D. 8
2. 函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　 　)
A. (1，＋∞) B.
C. D.
3. 对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　 　)
A. 方程f(x)＝0一定有一实数解
B. 方程f(x)＝0一定无实数解
C. 方程f(x)＝0一定有两实根
D. 方程f(x)＝0可能无实数解
4. 函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有　 　个.

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