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4.5 导学2　用二分法求方程的近似解
知识点一　二分法的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上　连续不断　； (2)在区间端点的函数值满足　f(a)·f(b)＜0　
方法 (3)不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步　逼近零点　，进而得到零点近似值
点拨：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　ABC　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
【解析】根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，∵零点左右两侧的函数值不变号，∴不能用二分法求函数零点的近似值.
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是(　A　)
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
【解析】依题意可知，x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.
[反思感悟]　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧的函数值异号.
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
二分法求函数零点近似值的步骤
点拨：二分法求函数零点近似值的口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办 精确度上来判断.
例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，∴函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解.取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，∴方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表所示：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)＜0 f(0.75)＞0 f(0.687 5)＜0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，∴0.75可作为方程的一个正实数近似解.
[延伸探究]　若本例中的“精确度为0.1”改为“精确度为0.05”，结论又如何
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，∵f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0，且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，∴x＝0.72可作为方程的一个近似解.
[反思感悟]　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
知识点三　二分法的实际应用
例3　在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(结果精确到100 m范围内)
解：如图所示，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…，由此类推，每查一次，待查的线路长度便缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.
[反思感悟]　二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，零点不能用二分法求解的是(　C　)
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝ln x＋3
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x－1
2. 用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　C　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　C　)
A. (2，2.25) B. (2.25，2.5)
C. (2.5，2.75) D. (2.75，3)
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表所示：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为(　C　)
A. 1.5 B. 1.375
C. 1.437 5 D. 1.25(共24张PPT)
五、函数的应用(二)
导学2　用二分法求方程的近似解
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
知 识 点 一
知 识 梳 理
知识点一　二分法的概念
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上__________；
(2)在区间端点的函数值满足__________________
方法 (3)不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间__________，使
所得区间的两个端点逐步__________，进而得到零点近
似值
连续不断
f(a)·f(b)＜0
一分为二
逼近零点
点拨：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函
数零点近似值的是(　 　)
ABC
A. 　　 　B. C. D.
【解析】根据二分法的定义，知函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，∵零点左右两侧的函数值不变号，∴不能用二分法求函数零点的近似值.
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是(　　)
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
【解析】依题意可知，x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则
Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.
A
[反思感悟]　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧的函数值异号.
知 识 点 二
二分法求函数零点近似值的步骤
知 识 梳 理
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
点拨：二分法求函数零点近似值的口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办 精确度上来判断.
例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，∴函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解.取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，∴方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表所示：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)＜0 f(1)＞0 f(0.5)＜0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)＜0 f(1)＞0 f(0.75)＞0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)＜0 f(0.75)＞0 f(0.625)＜0
(0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)＜0 f(0.75)＞0 f(0.687 5)＜0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，∴0.75可作为方程的一个正实数近似解.
[延伸探究]　若本例中的“精确度为0.1”改为“精确度为0.05”，结论又如何
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，∵f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0，且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，∴x＝0.72可作为方程的一个近似解.
[反思感悟]　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
知 识 点 三
知识点三　二分法的实际应用
例3　在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(结果精确到100 m范围内)
解：如图所示，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…，由此类推，每查一次，待查的线路长度便缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.
[反思感悟]　二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
随 堂 巩 固
1. 下列函数中，零点不能用二分法求解的是(　　)
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝ln x＋3
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x－1
C
2. 用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
C
3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)
内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，
则方程的根落在区间(　　)
A. (2，2.25) B. (2.25，2.5)
C. (2.5，2.75) D. (2.75，3)
C
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表所示：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为(　　)
A. 1.5 B. 1.375
C. 1.437 5 D. 1.25
C4.5 导学2　用二分法求方程的近似解
知识点一　二分法的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上　 　； (2)在区间端点的函数值满足　 　
方法 (3)不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间　 　，使所得区间的两个端点逐步　 　，进而得到零点近似值
点拨：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
例1　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　 　)
A. 　　　　 B.
C. 　　　　 D.
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出零点的近似值，则c的值是(　 　)
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
[反思感悟]　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右两侧的函数值异号.
知识点二　用二分法求函数零点的近似值
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
二分法求函数零点近似值的步骤
点拨：二分法求函数零点近似值的口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办 精确度上来判断.
例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
[延伸探究]　若本例中的“精确度为0.1”改为“精确度为0.05”，结论又如何
[反思感悟]　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
知识点三　二分法的实际应用
例3　在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(结果精确到100 m范围内)
[反思感悟]　二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列函数中，零点不能用二分法求解的是(　 　)
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝ln x＋3
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x－1
2. 用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　 　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
3. 设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　 　)
A. (2，2.25) B. (2.25，2.5)
C. (2.5，2.75) D. (2.75，3)
4. 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表所示：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.05)为(　 　)
A. 1.5 B. 1.375
C. 1.437 5 D. 1.25

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